Eukleidész-féle szám

Az Eukleidész-féle számok E_n = p_n# + 1 alakú pozitív egész számok, ahol p_n# az n-edik primoriális, tehát az első n prímszám szorzata.

Eukleidész bizonyítása

Eukleidész több mint 2000 évvel ezelőtt bebizonyította: végtelen sok prímszám létezik. A bizonyításban fontos szerep jut az Eukleidész-féle számnak.

A matematikában prímszámoknak (törzsszám) nevezik azokat a természetes számokat, amelyeknek csak két osztójuk van a természetes számok között (maga a szám és az 1). Eukleidész az Elemek IX. könyvében, a 20. tételben bizonyította, hogy a prímszámoknak nincs határa.

Eukleidész-féle számot úgy kapunk, hogy veszünk egy prímszámot, ez legyen P.

Összeszorozzuk egymással a P-nél nem nagyobb prímszámokat, és a szorzathoz még hozzáadunk 1-et. Képlettel, egy Eukleidész-féle szám, N:

$N=(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot ...\cdot P)+1$

Ha például a P=13 prímszámot vesszük, akkor az ahhoz tartozó Eukleidész-féle N szám nem prím, hanem összetett szám:

$N=(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13)+1=30031=59\cdot 509$

Az Eukleidész-féle számok között igen ritka a prímszám, a következő, az N=2 000 560 490 131, a P=31 értékhez tartozik. A rá következőt csak a P=379 számnál kapjuk….

A bizonyítás menete:

Vegyünk egy tetszőleges P prímszámot.

Azt szeretnénk bizonyítani, hogy P után is van még prímszám. Az Eukleidész-féle szám, N:

$N=(2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot ...\cdot P)+1$ vagy prím, vagy nem prím, hiszen nem ismerjük a P értékét. Ha N prímszám, akkor máris akadt P-nél nagyobb prím, hiszen N nyilván nagyobb P-nél. De akkor sincs veszve semmi, ha N összetett szám volna. Ha ugyanis N-et elosztjuk 2-vel, 3-mal, 5-tel, 7-tel, ….P-vel, mindig marad 1, vagyis ezek a prímek nem osztói az N-nek.

Az aritmetika alaptételéből tudható, hogy N-nek osztható kell lennie valamilyen prímszámmal, és mivel ez az osztó prímszám nem 2, nem 3, nem 7,…nem P, ezért nagyobbnak kell lennie P-nél. Ez lesz tehát az általunk keresett, P-nél nagyobb prímszám.

Ezzel tehát bebizonyítottuk, hogy bármely P prímszámnál van nagyobb prímszám---vagyis a prímszámok sorozata végtelen!.

Irodalom

• Tony Crilly: Nagy Kérdések, Matematika. (hely nélkül): Geographia Kiadó. 2007.  

További információk

• http://sdt.sulinet.hu/Player/Default.aspx?g=65a095ea-35dc-47db-9428-a01855ad1284&cid=fc131705-2f72-49bc-ab40-f83953455a25

Kapcsolódó szócikkek

• Prímoriálisprím
• Sűrűségfüggvény
• Skálaparaméter
• Az aritmetika alapjai
• Gumbel-eloszlás
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Burr-eloszlás