Erősen bővelkedő számok
A számelméletben egy erősen bővelkedő szám olyan pozitív egész szám, aminek osztóinak összege nagyobb, mint bármely nála kisebb pozitív egész szám osztóinak összege.
Az erősen bővelkedő számokkal (és a természetes számok több hasonló csoportjával) elsőként S.S. Pillai foglalkozott 1943-ban.[1] Alaoglu és Erdős összegyűjtötték 104-ig az erősen bővelkedő számokat, és megmutatták, hogy az N számnál kisebb erősen bővelkedő számok száma log2 N körül van.
Formális definíció és példák
[szerkesztés]Formálisan, n természetes szám akkor és csak akkor erősen bővelkedő, ha minden természetes szám m < n-re,
ahol σ az osztóösszeg-függvényt jelöli. Az első néhány erősen bővelkedő szám a következő:
Az 5 például nem erősen bővelkedő szám, mivel σ(5) = 5+1 = 6 kisebb, mint a σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7, ellenben 8 erősen bővelkedő szám, mivel σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15, ami nagyobb az összes kisebb természetes számhoz tartozó σ értéknél.
Az erősen bővelkedő számok közül kizárólag az 1 és a 3 páratlan.[2]
Más számhalmazokkal való kapcsolata
[szerkesztés]Bár az első nyolc faktoriális erősen bővelkedő, ez nem minden faktoriálisra igaz. Például
- σ(9!) = σ(362880) = 1481040,
de létezik nála kisebb szám nagyobb osztóösszeggel,
- σ(360360) = 1572480,
ezért 9! nem erősen bővelkedő szám.
Alaoglu és Erdős megfigyelte, hogy valamennyi szuperbővelkedő szám egyben erősen bővelkedő is, és feltették a kérdést, hogy vajon létezik-e végtelen sok erősen bővelkedő szám, ami nem szuperbővelkedő is egyben. A kérdést 1969-ben pozitívan döntötte el Jean-Louis Nicolas.[3]
A megtévesztő név ellenére az erősen bővelkedő számok nem feltétlenül bővelkedő számok. Az első hét erősen bővelkedő szám közül egyik se bővelkedő.
7200 a legnagyobb hatványteljes szám, ami erősen bővelkedő is; a nála nagyobb erősen bővelkedő számok mind rendelkeznek olyan prímtényezővel, ami csak egyszer osztja őket. Ezért a 7200 egyben a legnagyobb erősen bővelkedő szám, aminek páratlan az osztóösszege.[4]
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Pillai, S. S. (1943). „Highly abundant numbers”. Bull. Calcutta Math. Soc. 35, 141–156. o., továbbá viszonylag korán Alaoglu és Erdős dolgozott a témán (1944) „On highly composite and similar numbers”. Transactions of the American Mathematical Society 56 (3), 448–469. o. DOI:10.2307/1990319. JSTOR 1990319.
- ↑ Lásd Alaoglu–Erdős,1944, p. 466. Alaoglu és Erdős erősebb állítást tesznek, miszerint valamennyi 210-nél nagyobb erősen bővelkedő szám osztható 4-gyel, de ez nem igaz: a 630 erősen bővelkedő, de nem osztható 4-gyel. Valójában a 630 az egyetlen ellenpélda; az összes nála nagyobb erősen bővelkedő szám 12-vel is osztható.
- ↑ Nicolas, Jean-Louis (1969). „Ordre maximal d'un élément du groupe Sn des permutations et "highly composite numbers"”. Bull. Soc. Math. France 97, 129–191. o.
- ↑ Alaoglu-Erdős (1944), pp. 464–466.
Fordítás
[szerkesztés]- Ez a szócikk részben vagy egészben a Highly abundant number című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Kapcsolódó szócikkek
[szerkesztés]Az egész számok oszthatóságon alapuló csoportosítása | ||
|---|---|---|
| Áttekintés |  | |
| Prímtényezős felbontás | ||
| Osztóösszegek | ||
| Sok osztóval rendelkező | ||
| Osztóösszeg-sorozattal kapcsolatos | ||
| Egyéb csoportok | ||