Köbszámok
A köbszámok (teljes köbök, vagy teljes harmadik hatványok) az n3 = n·n·n alakban írható számok, ahol n egész. Figurális számok, ezen belül poliéderszámok: a kocka alakban elrendezett pontok darabszámaiként is definiálhatók. Elnevezésükben a köb a latin cubus, vagyis kocka szóból származik.
Az első néhány pozitív köbszám az 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000... ((A000578 sorozat az OEIS-ben))
A köbszámok tulajdonságai
[szerkesztés]- Végtelen sok köbszám van.
- Köbszám ellentettje is köbszám.
- Köbszámok szorzata is köbszám, mert (a·a·a)·(b·b·b)=(a·b)·(a·b)·(a·b), ami köbszám.
- A köbszámok a négyzetszámok többszörösei, de van olyan négyzetszám, amely köbszám is egyben. Ezek egészek hatodik hatványai.
- Két (nem feltétlenül különböző) pozitív köbszám összege sohasem köbszám. Ez a nagy Fermat-tétel 3 kitevőre vonatkozó speciális esetének következménye. (Többtagú összegek esetében viszont már lehetséges ez: n3-t önmagával összeadva (n3)2-szer, (n3)3 adódik, ami persze köbszám. De három köbszám összege is lehet köbszám, pl. 216=125+64+27, azaz 63=53+43+33.)
- Az első n pozitív köbszám összege az n-edik háromszögszám négyzete.[1]
- Ha a pozitív páratlan számok sorozatát egy, kettő, három, … hosszú blokkokra osztjuk, akkor az egyes blokkok összege rendre kiadja a pozitív köbszámokat:
- Az első n középpontos hatszögszám összege az n-edik köbszám:
(Az első néhány középpontos hatszögszám: 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271.)
- Minden természetes szám felírható legfeljebb kilenc nem negatív köbszám összegeként.
- Minden racionális szám felírható három olyan tört összegeként, amelyekben a számláló és a nevező is köbszám, és ennyire szükség is van.
- A pozitív köbszámok reciprokainak összege az Apéry-konstans (a névadója bizonyította be, hogy ez egy irracionális szám[2]), ami a Riemann-féle zéta-függvény által 3-ban felvett érték:
- Generátorfüggvény:
- Két pozitív köbszám össze sosem köbszám. Képlettel, az egyenlőség nem oldható meg a pozitív egészek halmazán. Ezt Leonhard Euler látta be 1753-ban. Három taggal azonban van megoldás csak pozitív egészekkel, például
- Ha modulo 9 nézzük a köbszámok sorozatát, akkor a ((A167176 sorozat az OEIS-ben)) periodikus sorozatot kapjuk. Ez abból adódik, hogy .
Tízes számrendszerben a köbszámok a következő végződésűek lehetnek: 000, 1, 8, 7, 4, 125, 375, 625, 875, 6, 3, 2 vagy 9 a következő szabályok szerint:
- Ha a szám utolsó számjegye 0, akkor a köbe 000-ra végződik és az azt megelőző számjegyek is köbszámot alkotnak.
- Ha a szám utolsó számjegye 1, akkor a köbe is 1-re végződik.
- Ha a szám utolsó számjegye 2, akkor a köbe 8-ra végződik, és az azt megelőző számjegyek 4-gyel oszható számot alkotnak.
- Ha a szám utolsó számjegye 3, akkor a köbe 7-re végződik.
- Ha a szám utolsó számjegye 4, akkor a köbe is 4-re végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel nem osztható páros számot alkotnak.
- Ha a szám utolsó számjegye 5, akkor a köbe 125-re, 375-re, 625-re vagy 875-re végződik.
- Ha a szám utolsó számjegye 6, akkor a köbe is 6-ra végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel osztva 1 maradékot adó páratlan számot alkotnak.
- Ha a szám utolsó számjegye 7, akkor a köbe 3-ra végződik.
- Ha a szám utolsó számjegye 8, akkor a köbe 2-re végződik és az azt megelőző számjegyek 4-gyel osztva 3 maradékot adó páratlan számot alkotnak.
- Ha a szám utolsó számjegye 9, akkor a köbe is 9-re végződik.
Harmadrendű számtani sorozat
[szerkesztés]Az első néhány köbszám:
1 8 27 64 125
Az 1 és 8 különbsége 7, 8 és 27 különbsége 19, 27 és 64 különbsége 37, 64 és 125 különbsége pedig 61. 7 és 19 között a különbség 12, 19 és 37 között 18, 61 és 37 között 24. 12 és 18 között pedig 6, 18 és 24 között 6. Ez egy szabály, melyet a sorozat folytatása is követ.
Ez nem csoda, hiszen köbszámok sorozatát az n3 = n·n·n polinom írja le, ami harmadfokú polinom. A számtani sorozat rendje megegyezik annak a polinomnak a rendjével, ami leírja. Megfordítva, a polinommal leírható sorozatok általánosított számtani sorozatok.
Generátorfüggvény
[szerkesztés]Minden valós számsorozathoz formális hatványsor rendelhető, . Ez az adott számsorozat generátorfüggvénye. Ebben az összefüggésben a köbszámok sorozatát nullától kezdik:
Ezzel a köbszámok generátorfüggvénye
ahol .
Fordítás
[szerkesztés]- Ez a szócikk részben vagy egészben a Kubikzahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Gyemidovics, B. P.: Matematikai analízis feladatgyűjtemény. Tankönyvkiadó, Bp., 1971. 8. o.
- ↑ Weisstein, Eric W.: Apéry constant (angol nyelven). Wolfram MathWorld
Források
[szerkesztés]- Weisstein, Eric W.: Köbszámok (angol nyelven). Wolfram MathWorld
- Hardy, G. H. & Wright, E. M. (1980), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0198531715
További információk
[szerkesztés]- Piezas, Tito III; Weisstein, Eric W.: Diophantine Equation--3rd Powers (angol nyelven). Wolfram MathWorld