Társas számok

A társas számok vagy társasági számok (sociable numbers) olyan pozitív egész számok, melyek osztóösszeg-sorozatában osztóösszeg-kör található; tehát az elejétől kezdve állandóan egy periódus ismétlődik. A társas számok a tökéletes számok és barátságos számok általánosításának tekinthetők. Az első két társasszám-láncot 1918-ban Paul Poulet belga matematikus találta meg és nevezte el. Társas számok adott láncolatában minden szám előáll az előző szám valódi osztóinak összegeként. Ahhoz, hogy a szám társas legyen, a sorozatnak az elejétől kezdve ciklikusnak kell lennie, tehát vissza kell térnie a kiindulópontjához.

A sorozat periódusa vagy a társas számok halmazának rendje a ciklusban található különböző számok száma.

Ha a sorozat periódusa 1, 1 rendű társas számról vagy tökéletes számról beszélünk – például a 6 valódi osztói 1, 2 és 3, melyek összege 6-ot eredményez. A barátságos számpárok esetében a társas számok halmazának a rendje 2. Nem ismertek 3-adrendű társas számok.

Nyitott kérdés, hogy vajon minden szám osztóösszeg-sorozata egy társas szám alkotta körben vagy egy prímszámban (és így 1-gyel) végződik, vagy léteznek olyan számok, melyek sorozata soha nem áll meg és nem is periodikus (tehát korlátok nélkül növekszik).

Példa

Példa egy 4 periódusú társas számra:

$1264460$ ($=2^{2}\cdot 5\cdot 17\cdot 3719$) valódiosztó-összege:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860.

$1547860$ ($=2^{2}\cdot 5\cdot 193\cdot 401$) valódiosztó-összege:

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636.

$1727636$ ($=2^{2}\cdot 521\cdot 829$) valódiosztó-összege:

1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184.

$1305184$ ($=2^{5}\cdot 40787$) valódiosztó-összege:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.

Ismert társas számok

A következő táblázat összefoglalja a 2015 novemberében ismert társas számokat osztóösszeg-körük hossza alapján:

Sorozat hossza	Ismert sorozatok száma
1 (Tökéletes szám)	49
2 (Barátságos szám)	15 674 225
4	366
5	1
6	5
8	4
9	1
28	1

Gráfelméleti megjelenítés

Az osztóösszeg-sorozat megjeleníthető irányított gráfként. Tartozzon az $n$ egész számhoz $G_{n,s}$ irányított gráf, ahol $s(k)$ jelöli $k$ valódi osztóinak összegét. Ekkor a $G_{n,s}$ gráfban található körök asz $[1,n]$ intervallumban található társas számokat jelölik. A hurkok tökéletes számokat jelölnek, a kettő hosszúságú körök pedig barátságos számokat.

Jegyzetek

• P. Poulet, #4865, L'Intermédiaire des Mathématiciens 25 (1918), pp. 100–101.
• H. Cohen, On amicable and sociable numbers, Math. Comp. 24 (1970), pp. 423–429

További információk

• A list of known sociable numbers
• Extensive tables of perfect, amicable and sociable numbers
• Weisstein, Eric W.: Sociable numbers (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• A003416 (smallest sociable number from each cycle) and A122726 (all sociable numbers) in OEIS