Csillagtestszámok

Csillagtest formába pakolt 124 mágneses golyóbis

A számelméletben a csillagoktaéder-számok vagy csillagtestszámok olyan poliéderszámok, illetve figurális számok, melyek a sűrűn pakolt gömbökből összeálló csillagtestekben (Stella octangula) részt vevő gömbök számát reprezentálják. Az n-edik csillagtestszám $St_{n}$ a következő képlettel állítható elő:^[1]^[2]

St_{n}=n(2n^{2}-1).

Az első néhány csillagtestszám:

1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, 2651, 3444, 4381, 5474, 6735, 8176, 9809, 11646, 13699, 15980, 18501, 21274, 24311, 27624, 31225, 35126, 39339, 43876, 48749, 53970, 59551, 65504, 71841, 78574, 85715, 93276, 101269, 109706, 118599, 127960… (A007588 sorozat az OEIS-ben)^[1]

Kapcsolat más figurális számokkal

Ha $O_{n}$ az n-edik oktaéderszám és $Te_{n}$ az n-edik tetraéderszám, akkor

St_{n}=O_{n}+8Te_{n-1}.

Tulajdonságai, alkalmazásai

A csillagtestszámok generátorfüggvénye:^[3]

{\frac {z(z^{2}+10z+1)}{(z-1)^{4}}}.

Ljunggren egyenlete

Csak két olyan pozitív csillagtestszám létezik, ami egyben négyzetszám is, ezek az $1$ és a $9653449 = 3107 2 = (13 \cdot 239) 2$ , amik az $n = 1$ és $n = 169$ esetnek felelnek meg.^[1]^[4] A négyzetes csillagtestszámokat leíró elliptikus görbét,

m^{2}=n(2n^{2}-1)

a vele ekvivalens Weierstrass-alakba helyezve:

x^{2}=y^{3}-2y

a következő változócseréket hajtjuk végre: $x = 2 m$ , $y = 2 n$ . Mivel az $m 2$ két tényezője, $n$ és $2 n 2 - 1$ relatív prímek, ezért külön-külön is négyzetszámoknak kell lenniük, a változók egy második cseréjével, $X=m/{\sqrt {n}}$ és $Y={\sqrt {n}}$ pedig a következő Ljunggren-egyenlethez jutunk:

X^{2}=2Y^{4}-1.

^[4]

Siegel egy tétele kimondja, hogy minden elliptikus görbének csak véges számú egész megoldása lehet, Wilhelm Ljunggren (1942) pedig talált egy bonyolult bizonyítást arra, hogy az előbbi egyenlet egész gyökei éppen $(1,1)$ és $(239,13)$ , amik a két négyzetes csillagtestszámnak felelnek meg.^[5] Louis J. Mordell megsejtette, hogy a bizonyítás leegyszerűsíthető, és valóban, később több szerző is sikeresen leegyszerűsítette azt.^[4]^[6]^[7]

További információk

Weisstein, Eric W.: Stella Octangula Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Jegyzetek

↑ ^a ^b ^c "Sloane's A007588 : Stella octangula numbers: n*(2*n^2 - 1)", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. .
↑ Conway, John & Guy, Richard (1996), The Book of Numbers, Springer, p. 51, ISBN 978-0-387-97993-9, <https://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA51>.
↑ Wolfram Alpha: Stella octangula number
↑ ^a ^b ^c Siksek, Samir (1995), Descents on Curves of Genus I, Ph.D. thesis, University of Exeter, pp. 16–17, <http://www.warwick.ac.uk/~masgaj/theses/siksek_thesis.pdf> Archivált másolat. [2017. augusztus 9-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. július 17.).
↑ Ljunggren, Wilhelm (1942), "Zur Theorie der Gleichung x² + 1 = Dy⁴", Avh. Norske Vid. Akad. Oslo. I. 1942 (5): 27.
↑ Steiner, Ray & Tzanakis, Nikos (1991), "Simplifying the solution of Ljunggren's equation $X 2 + 1 = 2 Y 4$ ", Journal of Number Theory 37 (2): 123–132, doi:10.1016/S0022-314X(05)80029-0, <http://www.math.uoc.gr/~tzanakis/Papers/LjunggrenEq.pdf>. Hozzáférés ideje: 2016-07-17.
↑ Draziotis, Konstantinos A. (2007), "The Ljunggren equation revisited", Colloquium Mathematicum 109 (1): 9–11, DOI 10.4064/cm109-1-2.

Kim, Hyun Kwang, On Regular Polytope Numbers, <http://com2mac.postech.ac.kr/papers/2001/01-22.pdf>. Hozzáférés ideje: 2013-05-30 Archiválva 2010. március 7-i dátummal a Wayback Machine-ben

[A007588-1] "Sloane's A007588 : Stella octangula numbers: n*(2*n^2 - 1)", The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. .

[2] Conway, John & Guy, Richard (1996), The Book of Numbers, Springer, p. 51, ISBN 978-0-387-97993-9, <https://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&pg=PA51>.

[3] Wolfram Alpha: Stella octangula number

[Siksek-4] Siksek, Samir (1995), Descents on Curves of Genus I, Ph.D. thesis, University of Exeter, pp. 16–17, <http://www.warwick.ac.uk/~masgaj/theses/siksek_thesis.pdf> Archivált másolat. [2017. augusztus 9-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2016. július 17.).

[5] Ljunggren, Wilhelm (1942), "Zur Theorie der Gleichung x² + 1 = Dy⁴", Avh. Norske Vid. Akad. Oslo. I. 1942 (5): 27.

[6] Steiner, Ray & Tzanakis, Nikos (1991), "Simplifying the solution of Ljunggren's equation $X 2 + 1 = 2 Y 4$ ", Journal of Number Theory 37 (2): 123–132, doi:10.1016/S0022-314X(05)80029-0, <http://www.math.uoc.gr/~tzanakis/Papers/LjunggrenEq.pdf>. Hozzáférés ideje: 2016-07-17.

[7] Draziotis, Konstantinos A. (2007), "The Ljunggren equation revisited", Colloquium Mathematicum 109 (1): 9–11, DOI 10.4064/cm109-1-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]