Többszörösen tökéletes számok

A számelméletben a többszörösen tökéletes szám (multiply perfect number, multiperfect number vagy pluperfect number) a tökéletes szám fogalmának általánosítása.

Legyen k és n pozitív egész szám. Az n szám akkor és csak akkor k-tökéletes (vagy k-szorosan tökéletes), ha pozitív osztóinak összege, tehát az osztóösszeg σ(n) = k · n; egy szám tehát akkor tökéletes, ha 2-tökéletes. A k-tökéletes számokat (különösen k>2-re) többszörösen tökéletes számoknak nevezzük. 2014-es adat szerint k=1 és k=11 között ismerünk k-tökéletes számokat.^[1]

Beláthatók a következők:

Ha p prímszám, n p-tökéletes és p nem osztója n-nek, akkor pn (p+1)-tökéletes. Ebből az is következik, hogy n akkor és csak akkor olyan 3-tökéletes szám, ami 2-vel osztható, de 4-gyel nem, ha n/2 páratlan tökéletes szám – amilyenből egyetlen sem ismert.
Ha 3n 4k-tökéletes és 3 nem osztója n-nek, akkor n 3k-tökéletes.

A legkisebb k-tökéletes számok

A következő táblázat bemutatja a legkisebb k-tökéletes számokat k ≤ 11 -ig (A007539 sorozat az OEIS-ben):

k	A legkisebb k-tökéletes szám	Megtalálója	Vélhetően mindet megtalálták?^[1]	Becsült számuk^[1]
1	1	ókori	igen, bizonyítottan	1
2	6 = 2¹ · 3¹	ókori	nem, végtelen sok van	∞
3	120 = 2³ · 3¹ · 5¹	ókori	igen	6
4	30240 = 2⁵ · 3³ · 5¹ · 7¹	René Descartes, 1638 körül	igen	36
5	14182439040 = 2⁷ · 3⁴ · 5¹ · 7¹ · 11² · 17¹ · 19¹	René Descartes, 1638 körül	igen	65
6	154345556085770649600 = 2¹⁵ · 3⁵ · 5² · 7² · 11¹ · 13¹ · 17¹ · 19¹ · 31¹ · 43¹ · 257¹	Robert Daniel Carmichael, 1907	igen	245
7	141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 = 2³² · 3¹¹ · 5⁴ · 7⁵ · 11² · 13² · 17¹ · 19¹ · 23¹ · 31¹ · 37¹ · 43¹ · 61¹ · 71¹ · 73¹ · 89¹ · 181¹ · 2141¹ · 599479¹	TE Mason, 1911	csaknem biztosan	~515
8	≈2,34111439263306338... · 10¹⁶¹	Paul Poulet, 1929^[1]	talán igen	~1140
9	≈7,9842491755534198... · 10⁴⁶⁵	Fred Helenius^[1]	nem	~2200
10	≈2,86879876441793479... · 10⁹²³	Ron Sorli^[1]	nem	~4500
11	≈2,51850413483992918... · 10¹⁹⁰⁶	George Woltman^[1]	nem	~10 000

Például a 120 3-tökéletes, mert 120 osztóinak összege
1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3 · 120.

A k-tökéletes számok sorozata

Az alábbi táblázat bemutatja a k-tökéletes számok sorozatait k=6-ig.

k	Az első néhány k-szorosan tökéletes szám	OEIS
2	6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328, ...	A000396
3	120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160, ...	A005820
4	30240, 32760, 2178540, 23569920, 45532800, 142990848, ...	A027687
5	14182439040, 31998395520, 518666803200, 13661860101120, ...	A046060
6	154345556085770649600, 9186050031556349952000, 680489641226538823680000, ...	A046061

Tulajdonságok

Az X-nél kisebb többszörösen tökéletes számok darabszáma $o(X^{\epsilon })$ minden pozitív ε-ra.^[2]
Az egyetlen ismert többszörösen tökéletes szám az 1.

A k egyes értékei

Tökéletes számok

Bővebben: tökéletes számok

Az olyan n számok, amikre σ(n) = 2n, tökéletes számok.

3-tökéletes számok

Az olyan n számok, amikre σ(n) = 3n, 3-tökéletesek (triperfect). Egy páratlan 3-tökéletes számnak legalább 10⁷⁰-nek kellene lennie, legalább 12 különböző prímtényezővel, melyek legnagyobbika meghaladja a 10⁵-t.^[3]

6-tökéletes számok

Az ismert értékei itt találhatók. Valószínűleg a számuk véges, és a lista teljes.

Jegyzetek

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Flammenkamp
↑ Sándor et al (2006) p.105
↑ Sandor et al (2006) pp.108–109

Flammenkamp, Achim: The Multiply Perfect Numbers Page. (Hozzáférés: 2014. január 22.)
(1986) „Measuring the abundancy of integers”. Mathematics Magazine 59, 84–92. o. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690424.
Kishore, Masao (1987). „Odd triperfect numbers are divisible by twelve distinct prime factors”. J. Aust. Math. Soc. Ser. A 42 (2), 173–182. o. DOI:10.1017/s1446788700028184. ISSN 0263-6115.
(1999) „Problem 10617 (Divisors of sums of divisors)”. Am. Math. Monthly 106, 693. o. JSTOR 2589515.
(2000) „The abundancy ratio, a measure of perfection”. Math. Mag. 73, 307–310. o. JSTOR 2690980.
Sorli, Ronald M. (2003), Algorithms in the study of multiperfect and odd perfect numbers, <http://hdl.handle.net/2100/275>
(2003) „A simpler dense proof regarding the abundancy index”. Math. Mag. 76, 299–301. o. JSTOR 3219086.
Guy, Richard K.. Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag (2004). ISBN 978-0-387-20860-2
(2008) „Odd multiperfect numbers of abundancy 4”. J. Number Theory 126, 1566–1575. o. DOI:10.1016/j.jnt.2007.02.001.
Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag (2006). ISBN 1-4020-4215-9
Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic, 32–36. o. (2004). ISBN 1-4020-2546-7

További információk

[fl-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Flammenkamp

[HBI105-2] Sándor et al (2006) p.105

[3] Sandor et al (2006) pp.108–109

[1]

[2]

[3]

Sablon:Osztóosztályok m v sz Az egész számok oszthatóságon alapuló csoportosítása
Áttekintés	Prímfelbontás Osztó Unitary divisor Osztószám-függvény Osztóösszeg-függvényregul Prímtényező A számelmélet alaptétele Aritmetikus számok
Prímtényezős felbontás	Prím Összetett Félprím Téglalapszám Szfenikus Négyzetmentes Hatványteljes Teljes hatvány Achilles Sima Szabályos Durva Szokásos/szokatlan
Osztóösszegek	Tökéletes Majdnem tökéletes Kvázitökéletes Többszörösen tökéletes Féltökéletes Hipertökéletes Szupertökéletes Unitary perfect Áltökéletes Praktikus Erdős–Nicolas
Sok osztóval rendelkező	Bővelkedő Primitív bővelkedő Erősen bővelkedő Szuperbővelkedő Kolosszálisan bővelkedő Erősen összetett Kiváló erősen összetett Furcsa
Osztóösszeg-sorozattal kapcsolatos	Érinthetetlen Erősen érinthető Barátságos Társas Eljegyzett
Egyéb csoportok	Hiányos Friendly Solitary Sublime Osztóharmonikus Frugal Equidigital Extravagáns