Háromszögű négyzetszámok

A 36 háromszögű négyzetszám háromszögszám- és négyzetszám-felírásában.

A matematika, közelebbről a számelmélet területén a háromszögű négyzetszámok olyan természetes számok, amik egyszerre háromszögszámok és négyzetszámok. Végtelen sok ilyen szám létezik, az első néhány: 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 (A001110 sorozat az OEIS-ben).

Explicit képletek

Jelölje $N_{k}$ a $k$ -adik háromszögű négyzetszámot, $s_{k}$ és $t_{k}$ pedig a hozzá tartozó négyzet és háromszög oldalait, így adódik:

N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}

.

Legyen egy $N={\frac {n(n+1)}{2}}$ háromszögszám háromszöggyöke $n$ . A definícióból és a kvadratikus formulából adódóan $n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}$ . Ezért $N$ akkor és csak akkor háromszögszám, ha $8N+1$ négyzetszám, és természetesen $N^{2}$ akkor és csak akkor négyzetszám és háromszögszám egyben, ha $8N^{2}+1$ négyzetszám, tehát ha léteznek olyan $x$ és $y$ egész számok, melyekre $x^{2}-8y^{2}=1$ . Ez a Pell-egyenlet egyik példája, ahol $n=8$ . Minden Pell-egyenletnek van egy triviális megoldása (1,0), ezt a nulladik megoldásnak nevezik, és indexe $(x_{0},y_{0})$ . Ha $(x_{k},y_{k})$ jelöli adott $n$ -re nézve bármely Pell-egyenlet k-adik nemtriviális megoldását, akkor a végtelen leszállás módszerével megmutatható, hogy $x_{k+1}=2x_{k}x_{1}-x_{k-1}$ és $y_{k+1}=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}$ . Ezért bármely Pell-egyenletnek, aminek létezik nem triviális megoldása (ha n nem négyzetszám), végtelen sok megoldása létezik. Az első nem triviális megoldás $n=8$ -ra könnyen megtalálható: (3,1). Az $(x_{k},y_{k})$ megoldás az $n=8$ Pell-egyenletre a következő módon ad meg egy háromszögű négyzetszámot annak négyzet- és háromszöggyökével: $s_{k}=y_{k},t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},$ és $N_{k}=y_{k}^{2}$ . Így tehát az első háromszögű négyzetszám, ami a (3,1)-ből adódik az 1, a következő, ami a (17,6) (=6×(3,1)-(1,0))-ból adódik, a 36.

Az N_k, s_k és t_k sorozatok az OEIS-ben itt találhatók: A001110, A001109, illetve A001108.

1778-ban Leonhard Euler meghatározta az explicit képletet:^[1] ^[2]

N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}

.

A fentiből következő, de esetenként kényelmesebben használható képletek még:

{\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}})^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2}})^{k}\right)\end{aligned}}

.

A megfelelő explicit képletek $s_{k}$ -ra és $t_{k}$ -ra nézve:^[2]

s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}

és

t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4}}

.

Pell-egyenlet

A háromszögű négyzetszámok keresése a következő módon redukálható a Pell-egyenlet megoldására.^[3] Minden háromszögszám felírható t(t + 1)/2 alakban. Ezért olyan t és s egész számokat keresünk, melyekre

{\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}

.

Némi átalakítással:

(2t+1)^{2}=8s^{2}+1,

majd helyettesítve $x=2t+1$ és $y=2s$ -et, a következő diofantoszi egyenlethez jutunk:

x^{2}-2y^{2}=1,

ami a Pell-egyenlet egy példánya. Ezt a konkrét darabot a $P_{k}$ Pell-számok a következőképpen oldják meg:^[4]

x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k}

;

ezért az összes megoldás kiolvasható a következőből:

s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}

.

Sok azonosság létezik a Pell-számokkal kapcsolatban, ezek a háromszögű négyzetszámokkal kapcsolatos identitásokká alakíthatók.

Rekurrencia-relációk

A háromszögű négyzetszámok definiálhatók rekurzív sorozatként, ahogy a hozzájuk kapcsolódó négyzetek és háromszögek oldalai is. Ezek^[5]

N_{k}=34N_{k-1}-N_{k-2}+2

, ahol

N_{0}=0{\text{ és }}N_{1}=1

;

N_{k}=\left(6{\sqrt {N_{k-1}}}-{\sqrt {N_{k-2}}}\right)^{2}

, ahol

N_{0}=0{\text{ és }}N_{1}=1

.

Továbbá^[1]^[2]

s_{k}=6s_{k-1}-s_{k-2}

, ahol

s_{0}=0{\text{ és }}s_{1}=1

;

t_{k}=6t_{k-1}-t_{k-2}+2

, ahol

t_{0}=0{\text{ és }}t_{1}=1

.

Más karakterizációk

Minden háromszögű négyzetszám felírható $b^{2}c^{2}$ alakban, ahol $b/c$ konvergál négyzetgyök 2 lánctört-alakjához.^[6]

A. V. Sylwester rövid bizonyítása arra nézve, hogy végtelen sok háromszögű négyzetszám létezik:^[7]

Ha az $n(n+1)/2$ háromszögszám négyzetszám, akkor a nagyobb

{\frac {{\bigl (}4n(n+1){\bigr )}{\bigl (}4n(n+1)+1{\bigr )}}{2}}=2^{2}\,{\frac {n(n+1)}{2}}\,(2n+1)^{2}

háromszögszám is négyzetszám.

Azért tudjuk ezt, mert három négyzetszám szorzataként áll elő: $2^{2}$ (a kitevő alapján), $(n(n+1))/2$ (az $n$ -edik háromszögszám, a kiindulási feltétel alapján) és $(2n+1)^{2}$ (a kitevő alapján). Négyzetszámok szorzata minden esetben négyzetszám lesz. Ez onnan is tudható, hogy a teljes négyzetnek levés szükséges és elégséges feltétele, hogy páros hatványon szerepeljenek a prímtényezők a prímtényezős felbontásban, és ez a tulajdonság két négyzetszám összeszorzásánál megmarad.

A $t_{k}$ háromszöggyökök váltakozva eggyel kisebbek egy négyzetszámnál és kétszeresei egy négyzetszámnak (páros k értékekre), illetve négyzetszámok és eggyel kisebbek egy négyzetszám kétszeresénél (páratlan k értékekre). Tehát, $49=7^{2}=2\cdot 5^{2}-1\quad 288=17^{2}-1=2\cdot 12^{2}$ és $1681=41^{2}=2\cdot 29^{2}-1$ . Mindegyik esetben a két négyzetgyök összeszorzása a következőt adja: $s_{k}:5\cdot 7=35,12\cdot 17=204$ és $29\cdot 41=1189$ .

$N_{k}-N_{k-1}=s_{2k-1}:36-1=35,1225-36=1189$ és $41616-1225=40391$ . Más szavakkal, két egymást követő háromszögű négyzetszám különbsége egy harmadik háromszögű négyzetszám négyzetgyökével egyezik meg.

A háromszögű négyzetszámokat előállítő függvény:^[8]

{\frac {1+z}{(1-z)(z^{2}-34z+1)}}=1+36z+1225z^{2}+\cdots

.

Numerikus adatok

Ahogy $k$ értéke egyre nő, a $t_{k}/s_{k}$ arány egyre jobban megközelíti a ${\sqrt {2}}\approx 1,41421$ -t, az egymást követő háromszögű négyzetszámok aránya pedig $(1+{\sqrt {2}})^{4}=17+12{\sqrt {2}}\approx 33,97056$ -t. Az alábbi táblázat bemutatja $k$ értékeit 0 és 7 között.

$k$	$N_{k}$	$s_{k}$	$t_{k}$	$t_{k}/s_{k}$	$N_{k}/N_{k-1}$
0	0	0	0
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1,33333	36
3	1225	35	49	1,4	34,02778
4	41 616	204	288	1,41176	33,97224
5	1 413 721	1189	1681	1,41379	33,97061
6	48 024 900	6930	9800	1,41414	33,97056
7	1 631 432 881	40 391	57 121	1,41420	33,97056

Jegyzetek

↑ ^a ^b History of the Theory of Numbers. Providence: American Mathematical Society, 16. o. [1920] (1999). ISBN 978-0-8218-1935-7
↑ ^a ^b ^c Euler, Leonhard (1813). „Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)” (latin nyelven). Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg 4, 3–17. o. (Hozzáférés: 2009. május 11.) „According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.”
↑ Pell's Equation, Problem Books in Mathematics. New York: Springer, 16–17. o. (2003). ISBN 978-0-387-95529-2. Hozzáférés ideje: 2009. május 10.
↑ An Introduction to the Theory of Numbers, 5th, Oxford University Press, 210. o. (1979). ISBN 0-19-853171-0 „Theorem 244”
↑ Weisstein, Eric W.: Square Triangular Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
↑ Mathematical Recreations and Essays. New York: Dover Publications, 59. o. (1987). ISBN 978-0-486-25357-2
↑ Pietenpol, J. L. (1962. február 1.). „Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers”. American Mathematical Monthly 69 (2), 168–169. o, Kiadó: Mathematical Association of America. DOI:10.2307/2312558. JSTOR 2312558.
↑ Plouffe, Simon: 1031 Generating Functions (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique, 1992. augusztus 1. [2013. február 6-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2009. május 11.)

További információk

Triangular numbers that are also square at cut-the-knot
Weisstein, Eric W.: Square Triangular Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld
Michael Dummett's solution

[Dickson-1] History of the Theory of Numbers. Providence: American Mathematical Society, 16. o. [1920] (1999). ISBN 978-0-8218-1935-7

[Euler-2] Euler, Leonhard (1813). „Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)” (latin nyelven). Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg 4, 3–17. o. (Hozzáférés: 2009. május 11.) „According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.”

[3] Pell's Equation, Problem Books in Mathematics. New York: Springer, 16–17. o. (2003). ISBN 978-0-387-95529-2. Hozzáférés ideje: 2009. május 10.

[4] An Introduction to the Theory of Numbers, 5th, Oxford University Press, 210. o. (1979). ISBN 0-19-853171-0 „Theorem 244”

[5] Weisstein, Eric W.: Square Triangular Number (angol nyelven). Wolfram MathWorld

[Ball-6] Mathematical Recreations and Essays. New York: Dover Publications, 59. o. (1987). ISBN 978-0-486-25357-2

[Sylwester-7] Pietenpol, J. L. (1962. február 1.). „Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers”. American Mathematical Monthly 69 (2), 168–169. o, Kiadó: Mathematical Association of America. DOI:10.2307/2312558. JSTOR 2312558.

[8] Plouffe, Simon: 1031 Generating Functions (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique, 1992. augusztus 1. [2013. február 6-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2009. május 11.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]