Standard skalárszorzat

A standard skalárszorzat a matematikában általában használt skalárszorzat véges dimenziós valós, illetve komplex vektorterekben. Segítségével bevezethető a merőlegesség, a szög fogalma a koordinátageometriába, illetve általánosítható négy, illetve magasabb dimenziókba. Ahogy más skalárszorzatok, valós esetben a standard skalárszorzat pozitív definit szimmetrikus bilineáris forma, komplex esetben pozitív definit hermitikus szeszkvilineáris forma, én invariáns ortogonális, illetve unitér transzformációkra. A skalárszorzatból származtatható norma is, amivel definiálható a hossz és a távolság.

Valós eset

Definíció

Legyenek $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ vektorok úgy, hogy $x=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})^{T}$ és $y=(y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n})^{T}$. Ekkor standard skalárszorzatuk

$\langle x,y\rangle :=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\dotsb +x_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x^{T}y$,

ahol $x^{T}$ az $x$ vektor transzponáltja. Ennek a szorzatnak az eredménye egy valós szám. Alternatívan, a hegyes zárójelek mellett használják még az $x\cdot y$ jelölést is.

Példa

A háromdimenziós térben az $x=(1,2,{-}3)^{T}$ és $y=(5,{-}4,1)^{T}$ vektorok standard skalárszorzata

$\langle x,y\rangle =1\cdot 5+2\cdot (-4)+(-3)\cdot 1=5-8-3={-}6$.

Tulajdonságok

A standard skalárszorzat természetes módon teljesíti a skalárszorzat tulajdonságait. Bilineáris, azaz lineáris az első argumentumában

$\langle \lambda x,y\rangle =(\lambda x_{1})y_{1}+\dotsb +(\lambda x_{n})y_{n}=\lambda (x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n})=\lambda \langle x,y\rangle$   és

$\langle x+y,z\rangle =(x_{1}+y_{1})z_{1}+\dotsb +(x_{n}+y_{n})z_{n}=(x_{1}z_{1}+\dotsb +x_{n}z_{n})+(y_{1}z_{1}+\dotsb +y_{n}z_{n})=\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle$,

és a másodikban

$\langle x,\lambda y\rangle =x_{1}(\lambda y_{1})+\dotsb +x_{n}(\lambda y_{n})=\lambda (x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n})=\lambda \langle x,y\rangle$   és

$\langle x,y+z\rangle =x_{1}(y_{1}+z_{1})+\dotsb +x_{n}(y_{n}+z_{n})=(x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n})+(x_{1}z_{1}+\dotsb +x_{n}z_{n})=\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle$.

továbbá szimmetrikus, mivel

$\langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n}=y_{1}x_{1}+\dotsb +y_{n}x_{n}=\langle y,x\rangle$,

és pozitív definit, hiszen

$\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}\geq 0$ und

$\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}=0\Leftrightarrow x_{1}^{2}=\dotsb =x_{n}^{2}=0\Leftrightarrow x=0$.

Komplex eset

Legyenek $x,y\in \mathbb {C} ^{n}$ komplex vektorok egy véges dimenziós komplex vektortérben. Ekkor standard skalárszorzatuk kétféleképpen definiálható:

$\langle x,y\rangle :={\bar {x}}_{1}y_{1}+{\bar {x}}_{2}y_{2}+\dotsb +{\bar {x}}_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}y_{i}=x^{H}y$

illetve

$\langle x,y\rangle :=x_{1}{\bar {y}}_{1}+x_{2}{\bar {y}}_{2}+\dotsb +x_{n}{\bar {y}}_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y}}_{i}=y^{H}x$,

ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelöli, és $x^{H}$ az $x$ vektorhoz adjungált vektor. Mindkét konvenció szerint az eredmény egy komplex szám, melyek csak konjugálásban különböznek, mivel $x^{H}y=(y^{H}x)^{H}$.

Példák

Legyenek $x=(i,2-i)^{T}$ és $y=(i-1,2)^{T}$ vektorok a kétdimenziós komplex térben. Az első változat szerint

$\langle x,y\rangle ={\bar {i}}\cdot (i-1)+{\overline {(2-i)}}\cdot 2=-i\cdot (i-1)+(2+i)\cdot 2=(1+i)+(4+2i)=5+3i$

és a második változat szerint ennek konjugáltja,

$\langle x,y\rangle =i\cdot {\overline {(i-1)}}+(2-i)\cdot {\bar {2}}=i\cdot (-i-1)+(2-i)\cdot 2=(1-i)+(4-2i)=5-3i$.

Tulajdonságok

Teljesülnek a skalárszorzattól elvárt tulajdonságok. A következő tulajdonságokat az első változaton mutatjuk be; a másodikra hasonlók állnak fenn. Az első változat szerint az első tényezőben konjugálunk, úgyhogy szemilineáris az első argumentumában,

$\langle \lambda x,y\rangle =(\lambda x)^{H}y={\bar {\lambda }}(x^{H}y)={\bar {\lambda }}\langle x,y\rangle$   és

$\langle x+y,z\rangle =(x+y)^{H}z=x^{H}z+y^{H}z=\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle$,

illetve lineáris a másodikban:

$\langle x,\lambda y\rangle =x^{H}(\lambda y)=\lambda (x^{H}y)=\lambda \langle x,y\rangle$   und

$\langle x,y+z\rangle =x^{H}(y+z)=x^{H}y+x^{H}z=\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle$.

továbbá hermitikus, mivel

$\langle x,y\rangle =x^{H}y=(y^{H}x)^{H}={\overline {\langle y,x\rangle }}$,

és pozitív definit, hiszen

$\langle x,x\rangle =x^{H}x=|x_{1}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}\geq 0$ und

$\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x^{H}x=0\Leftrightarrow |x_{1}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}=0\Leftrightarrow |x_{1}|^{2}=\dotsb =|x_{n}|^{2}=0\Leftrightarrow x_{1}=\dotsb =x_{n}=0\Leftrightarrow x=0$,

ahol $|\cdot |$ a komplex abszolútérték. A második változat tulajdonságai hasonlóak, de az első tényező helyett a másodikban kell konjugálni, ami azt jelenti, hogy lineáris az első és szemilineáris a második argumentumban. Valós esetekre leszűkítve visszakapjuk a valós skalárszorzatot: a valós számok önmaguk konjugáltjai, az adjungálás pedig a transzponáltat adja.

Tulajdonságok

Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség

Mint minden skalárszorzat, úgy a standard skalárszorzat is teljesíti a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget, ami azt jelenti, hogy minden $x,y\in {\mathbb {K} }^{n}$ esetén, ahol ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ vagy ${\mathbb {K} }=\mathbb {C}$, teljesül, hogy

$\left|\langle x,y\rangle \right|^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$.

Valós esetben az abszolútérték jelek elhagyhatók. A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség a lineáris algebra és az analízis egyik központi egyenlőtlensége. Például következik belőle a $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon {\mathbb {K} ^{n}}\times {\mathbb {K} ^{n}}\rightarrow {\mathbb {K} }$ standard skalárszorzat folytonossága.

Eltolási tulajdonság

Minden $A\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ mátrixra és minden $x\in \mathbb {R} ^{n},y\in \mathbb {R} ^{m}$ vektorra:

$\langle Ax,y\rangle =(Ax)^{T}y=x^{T}A^{T}y=x^{T}(A^{T}y)=\langle x,A^{T}y\rangle$,

ahol $A^{T}$ az $A$ mátrix transzponáltja. Hasonlóan, minden $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ komplex mátrixra és $x\in \mathbb {C} ^{n},y\in \mathbb {C} ^{m}$ vektorra

$\langle Ax,y\rangle =(Ax)^{H}y=x^{H}A^{H}y=x^{H}(A^{H}y)=\langle x,A^{H}y\rangle$,

ahol $A^{H}$ az $A$-hoz adjungált mátrix.

Unitér invariancia

A valós skalárszorzat nem változik ortogonális transzformáció hatására, ami azt jelenti, hogy ha $A\in {\mathbb {R} }^{n\times n}$ ortogonális, akkor teljesül rá az

$\langle Ax,Ay\rangle =\langle x,A^{T}Ay\rangle =\langle x,A^{-1}Ay\rangle =\langle x,Iy\rangle =\langle x,y\rangle$,

eltolási tulajdonság, ahol $A^{-1}$ a mátrix inverze, és $I$ az $n\times n$-es egységmátrix. Az ortogonális transzformációk tipikusan origó körüli forgatások, illetve origón átmenő síkra való tükrözések. Analóg módon a komplex skalárszorzat invariáns az unitér transzformációkra, vagyis ha $A\in {\mathbb {C} }^{n\times n}$ unitér mátrix, akkor

$\langle Ax,Ay\rangle =\langle x,A^{H}Ay\rangle =\langle x,A^{-1}Ay\rangle =\langle x,Iy\rangle =\langle x,y\rangle$.

Származtatott fogalmak

Szög

A valós skalárszorzattal meghatározható két vektor közötti szög. Legyenek $x,y\in {\mathbb {R} }^{n}\setminus \{0\}$, ekkor az általuk közrezárt $\varphi$ szög

$\cos(\varphi )={\frac {\langle x,y\rangle }{{\sqrt {\langle x,x\rangle }}\,{\sqrt {\langle y,y\rangle }}}}={\frac {x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}}}\,{\sqrt {y_{1}^{2}+\dotsb +y_{n}^{2}}}}}$

A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség miatt a tört nevezője legalább akkora, mint a számláló abszolútértéke, így a $\varphi$ szög a $[0,\pi ]$ intervallumba esik, azaz $0^{\circ }$ és $180^{\circ }$ közötti. Hogyha $x$ és $y$ egységvektorok, akkor az általuk közrezárt szög koszinusza éppen a skalárszorzatuk. A komplex vektorok által közrezárt szögekre különböző definíciók léteznek.

Ortogonalitás

Ahogy a valós, úgy a komplex vektorok is ortogonálisak, ha standard skalárszorzatuk

$\langle x,y\rangle =0$

Ekkor a képlet alapján $\varphi =\arccos 0={\tfrac {\pi }{2}}=90^{\circ }$, ha egyik sem nullvektor. Ha pedig valamelyik nullvektor, akkor definíció szerint tetszőleges irányú, tehát tekinthetjük merőlegesnek a másik vektorra.

Ha tekintünk egy origón átmenő egyenest, síkot, vagy általánosabban egy $k$ dimenziós $U$ alteret az $n$ dimenziós valós vagy komplex térben, és $\{u_{1},\dotsc ,u_{k}\}$ ortonormált bázis $U$-ban, akkor

$y=\langle x,u_{1}\rangle u_{1}+\dotsb +\langle x,u_{k}\rangle u_{k}\in U$

a kiindulási tér egy $x$ vektorának ortogonális projekciója. Ekkor az $x-y$ különbségvektor $U$ ortogonális komplementerében van, tehát merőleges az $U$ altér minden vektorára, vagyis $\langle x-y,u\rangle =0$ minden $u\in U$ vektorra.

Norma

A standard skalárszorzat által indukált norma az

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}$

euklideszi norma. Ez jóldefiniált, mert egy vektor önmagával vett skalárszorzata mindig valós és nemnegatív. Valós esetben az abszolútérték elhagyható. Az euklideszi norma megfeleltethető a vektor hosszának.

Metrika

Az euklideszi normából, mint hosszúságból metrika származtatható, tehát távolságot is tudunk mérni:

$d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}={\sqrt {|x_{1}-y_{1}|^{2}+\dotsb +|x_{n}-y_{n}|^{2}}}$

Valós esetben az abszolútérték elhagyható. A metrikából topológia származtatható, $\mathbb {R} ^{n}$, illetve $\mathbb {C} ^{n}$ standard topológiája.

Általánosítások

Véges dimenzió

A skalárszorzat eddigi fogalma átvihető az $\mathbb {R} ^{n}$ illetve $\mathbb {C} ^{n}$ standard vektorterekről általánosabb véges $n$ dimenziós valós vagy komplex vektorterekre. Ha $\{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}$ ortonormált bázis $V$-ben egy tetszőleges $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ skalárszorzat szerint, akkor minden $v\in V$ előáll, mint

$v=\sum _{i=1}^{n}v_{i}e_{i}$ ahol   $v_{i}=\langle v,e_{i}\rangle$ minden $i=1,\dotsc ,n$-re,

ahol $v_{i}e_{i}$ a vektor komponensei, és $v_{i}\in {\mathbb {K} }$ a vektor koordinátái ebben a bázisban. A koordináták a vektor ortogonális vetületeinek hossza a bázisvektorok irányában. Ekkor a $v,w\in V$ vektorok skalárszorzata számítható, mint

$\langle v,w\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}v_{i}e_{i},\sum _{j=1}^{n}w_{j}e_{j}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}_{i}w_{j}\langle e_{i},e_{j}\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\bar {v}}_{i}w_{i}$

Ha a mátrixokat megfelelő hosszú vektorokként fogjuk fel, akkor a skalárszorzat felfogható a mátrixok Frobenius-skalárszorzataként.

Sorozatterek

A standard skalárszorzat általánosítható sorozatterekre, így végtelen dimenziós vektorterekre is; azonban nem jöhet számnításba az összes végtelen sorozatot tartalmazó vektortér, hiszen a skalárszorzatnak végesnek kell lennie. A jelen példa az $\ell ^{2}$ valós vagy komplex sorozatteret tekinti, melynek elemei azok az $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},\dotsc )\in {\mathbb {K} }^{\mathbb {N} }$ valós vagy komplex értékű sorozatok, melyekre

$\sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}|^{2}<\infty$

Legyen $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} },(b_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \ell ^{2}$ két ilyen sorozat, ekkor $\ell ^{2}$-skalárszorzatuk:

$\left\langle (a_{i}),(b_{i})\right\rangle _{\ell ^{2}}=\sum _{i=1}^{\infty }{\bar {a}}_{i}b_{i}$

Általánosabb, válaszhatunk a természetes számok helyett egy $I$ indexhalmazt, és tekintheti az $\ell ^{2}(I)$ tereket, amik az $I$-ben négyzetesen összegezhető sorozatok tere. Ekkor definiálható az

$\left\langle (a_{i}),(b_{i})\right\rangle _{\ell ^{2}(I)}=\sum _{i\in I}{\bar {a}}_{i}b_{i}$.

skalárszorzat. Ebből a másik komplex változat konjugálással, a valós eset pedig a konjugálás elhagyásával kapható.

Források

• Steffen Goebbels, Stefan Ritter. Mathematik verstehen und anwenden. Von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag (2011) 
• Jörg Liesen, Volker Mehrmann. Lineare Algebra, 3., Berlin, Heidelberg: Springer (2021) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Standardskalarprodukt című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.