Standard skalárszorzat

A standard skalárszorzat a matematikában általában használt skalárszorzat véges dimenziós valós, illetve komplex vektorterekben. Segítségével bevezethető a merőlegesség, a szög fogalma a koordinátageometriába, illetve általánosítható négy, illetve magasabb dimenziókba. Ahogy más skalárszorzatok, valós esetben a standard skalárszorzat pozitív definit szimmetrikus bilineáris forma, komplex esetben pozitív definit hermitikus szeszkvilineáris forma, én invariáns ortogonális, illetve unitér transzformációkra. A skalárszorzatból származtatható norma is, amivel definiálható a hossz és a távolság.

Valós eset

Definíció

Legyenek $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ vektorok úgy, hogy $x=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})^{T}$ és $y=(y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n})^{T}$. Ekkor standard skalárszorzatuk

$\langle x,y\rangle :=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\dotsb +x_{n}y_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x^{T}y$,

ahol $x^{T}$ az $x$ vektor transzponáltja. Ennek a szorzatnak az eredménye egy valós szám. Alternatívan, a hegyes zárójelek mellett használják még az $x\cdot y$ jelölést is.

Példa

A háromdimenziós térben az $x=(1,2,{-}3)^{T}$ és $y=(5,{-}4,1)^{T}$ vektorok standard skalárszorzata

$\langle x,y\rangle =1\cdot 5+2\cdot (-4)+(-3)\cdot 1=5-8-3={-}6$.

Tulajdonságok

A standard skalárszorzat természetes módon teljesíti a skalárszorzat tulajdonságait. Bilineáris, azaz lineáris az első argumentumában

$\langle \lambda x,y\rangle =(\lambda x_{1})y_{1}+\dotsb +(\lambda x_{n})y_{n}=\lambda (x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n})=\lambda \langle x,y\rangle$   és

$\langle x+y,z\rangle =(x_{1}+y_{1})z_{1}+\dotsb +(x_{n}+y_{n})z_{n}=(x_{1}z_{1}+\dotsb +x_{n}z_{n})+(y_{1}z_{1}+\dotsb +y_{n}z_{n})=\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle$,

és a másodikban

$\langle x,\lambda y\rangle =x_{1}(\lambda y_{1})+\dotsb +x_{n}(\lambda y_{n})=\lambda (x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n})=\lambda \langle x,y\rangle$   és

$\langle x,y+z\rangle =x_{1}(y_{1}+z_{1})+\dotsb +x_{n}(y_{n}+z_{n})=(x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n})+(x_{1}z_{1}+\dotsb +x_{n}z_{n})=\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle$.

továbbá szimmetrikus, mivel

$\langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+\dotsb +x_{n}y_{n}=y_{1}x_{1}+\dotsb +y_{n}x_{n}=\langle y,x\rangle$,

és pozitív definit, hiszen

$\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}\geq 0$ und

$\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}=0\Leftrightarrow x_{1}^{2}=\dotsb =x_{n}^{2}=0\Leftrightarrow x=0$.