Szög

A szög mint félegyenespár

A szög mint a sík része

Forgásszög

A szög mint síkgeometriai fogalom. A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget alkot. A szög jelentheti a félegyenesek által határolt síkrészeket (szögtartomány), illetve magukat a félegyeneseket is (a szög szárai, szögvonal). Azt, hogy a két szögtartomány közül melyikről van szó, a szárak közé rajzolt körívvel jelezzük. A félegyenesek közös pontját a szög csúcsának, a félegyeneseket a szög szárainak nevezzük. Szokták szögnek hívni a szögtartományt, és beszélnek forgásszögekről is, melyek forgatáskor keletkeznek, és a teljesszögnél is nagyobbak lehetnek. Forgásszögeknél szokás előjeles szögekről is beszélni. A pozitív előjel az óramutató járásával ellentétes forgásirányt jelöli.

A szög mint mennyiség. A síkszög arányszám: a szögcsúcs köré írt körvonalból a szög szárai által kimetszett ív hosszának és a hozzá tartozó sugár hosszának aránya. Ehhez hasonlóan a térszög is arányszám: a térszög csúcsa köré írt gömbfelületből a szög által kimetszett gömbfelület területének és a gömbsugárhossz négyzetének aránya. A térszögtől való megkülönböztetés miatt a síkbeli szöget síkszögnek is nevezzük. A síkszög mint mennyiség definiálható forgásszögként is, így lehet előjeles is, vagy a teljesszögnél nagyobb.

Definíciók

Pótszögek

Alapvetően a szögnek kétféle definíció létezik: az előjel nélküli és az előjeles. A nem irányított szög előjel nélküli, az irányított előjeles. A bevezetésben említett definíció használatos például a koordináta-rendszerek és a koordináta-rendszer tengelyei esetén. A szög félegyenespárként való meghatározás esetén a félegyenesek egy közös pontból indulnak:

Ha $f$, $g$ egyenesek, amelyek az $S$ pontban metszik egymást, akkor az $S$ pont az $f$, $g$ egyeneseket félegyenesekre osztja. Ekkor ezek a félegyenesek az $S$ ponttal együtt szöget alkotnak. Az $S$ pont a szög csúcsa, az $f$, $g$ egyenesek $S$ pontból induló félegyenesei a szög szárai.

A szög, pontosabban a szögtartomány a síknak az a része, melyet egy pontból kiinduló két félegyenes határol. Ezek a szögtartomány határa, míg a szögtartomány többi része a szög belseje.

Az iskolai tanítás során ezt a változatot használják, ezzel kiemelik azt, hogy a szögnek területe van. A belső, illetve a külső tér elhatárolásával a háromszög-geometria bevezetését szolgálja. A háromszög definiálható három szögtartomány metszeteként.

Az eddigi definíciók előjel nélküli szöget definiáltak. A következőkben előjeles szögeket is definiálunk.

Az is mondható, hogy a szög egy félegyenes végpontja körüli forgatásával keletkezik. Megkülönböztetésként ezt a szöget forgásszögnek is nevezik. A forgás irányára két lehetőség van:

• Balra forgatáskor az óramutató járásával ellentétes irányba forog
• Jobbra forgatáskor az óramutató járásával megegyező irányba forog

Az elforgatás (maga a folyamat és nem a végeredmény) lehet nagyobb is mint, a teljesszög. Az ilyen szög nagysága lehet nullától kisebb is és teljes szögtől, azaz 360°-tól illetve 2π radiántól nagyobb is (több, mint egy kör elforgatás). A szög fogalmának ily módon való kiterjesztése a trigonometrikus függvényeknél, a matematikai analízisben jelentős. A matematikában az óramutatóval ellentétes irány számít pozitívnak. Ha csak másként nem jelzik, akkor a forgatást ebbe az irányba végzik.

A geodéziában nem használnak előjelet, és a forgatás iránya mindig az óramutató járása szerinti. Az óra analógjára a szögeket 0-tól 24 h-ig, vagy 0 gontól 400 gonig mérik. Minden geodéziai műszert óramutató járása szerinti irányba forgatnak.

A szögek felosztása

• Nullszög: 0°.
• Hegyesszög: 0°-nál nagyobb, de 90°-nál kisebb szög.
• Gér: nyolcadkörívhez tartozó szög, 45°, π/4 radián.
• Derékszög: negyedkörívhez tartozó szög, 90°, π/2 radián. Mellékszögével egyenlő nagyságú.
• Tompaszög: 90°-nál nagyobb, de 180°-nál kisebb szög.
• Egyenesszög: félkörívhez tartozó szög, szárai egyenest alkotnak. Az egyenesszög két derékszög összege, 180°, π radián.
• Konvex szögek: az egyenesszögnél kisebb szögek, tehát a hegyesszögek, a tompaszögek és a derékszög konvex szögek.
• Konkáv szögek: más néven homorúszögek; az egyenesszögnél nagyobb szögek (az ábrán az ABC szög).
• Teljes szög: egész körívhez tartozó szög; a két szögszár egybeesik, és a belső tartománnyal együtt felöleli az egész síkot. 360°, 2π radián.

Jelölések

Mellékszögek

Az ISO 80000-2 szerint a szögeket a következőképpen adjuk meg:

• A szöget görög kisbetűkkel jelöljük, mint $\alpha$ vagy $\beta$.
• Az $\angle fg$ szöget két félegyenes, egyenes vagy él zárja közre. Irányát az $f$ irányából a $g$ irányába számítjuk.
• Három ponttal megadott szög esetén mindig a középső pont a szög csúcsa. Jelölése ABC szög, $\angle ABC$ vagy ${\widehat {ABC}}$. Ez a szög az $[BA]$ és $[BC]$ félegyenesek közé zárt szögek közül az, ami $[BA]$ $[BC]$-re való matematikailag pozitív irányú forgatásával keletkezik.
• Az angol nyelvű szakirodalomban szokásos még a $\angle B$ illetve ${\hat {B}}$ jelölés.

A nem irányított szög jelölése »∠« (HTML ∠/∠, TeX \angle, Unicode U+2220). Irányított szög jelölésére használható még  »∡« (HTML ∡/∡, TeX \measuredangle, U+2221). Mindkét jel megtalálható a Unicode-kódtáblában. A fekvő szög jelölés angol-amerikai; az Európában használt jel összetéveszthető az angol-amerikai »∢« U+2222 térszöget jelölő jellel. A szög és a meredekség jelölésére használható  »∠« is.

Speciálisan, a derékszöget jelölik úgy is, mint:

• »∟«, derékszög alakban felrajzolva
• »⦝«, szög ívvel és ponttal
• »⊾«, szög ívvel
• »⦜«, szög négyzettel
• $\perp$, ortogonális

Szögpárok

Váltószögek

• Mellékszögek: két olyan szög, amelyeknek egy-egy szára azonos, a másik kettő pedig egyenest alkot. Egymást egyenesszöggé egészítik ki.
• Kiegészítő szögek: két olyan szög, amelyek összege egyenesszög.
• Pótszögek: két olyan szög, amelyek összege derékszög.
• Párhuzamos szárú szögek: Mint a neve is mondja, a száraik párhuzamos egyeneseken vannak. A párhuzamos szögek lehetnek:
•     1) egyállású szögek: A száraik páronként párhuzamosak és egyenlő irányításúak (egyenlő nagyságúak)
•     2) váltószögek: A száraik páronként párhuzamosak és ellenkező irányításúak (egyenlő nagyságúak)
•          (speciális esetben) Csúcsszögek: csúcsuk azonos, és mindkét száruk egymás szárainak meghosszabbítása. Azonos nagyságúak
•    3) társszögek: A száraik páronként párhuzamosak és egyik pár egyező a másik ellenkező irányítású (egymás kiegészítőszögei)
• Merőleges szárú szögek: Mint a neve is mondja, a száraik egymásra merőleges egyeneseken vannak (egyenlő nagyságúak vagy egymás kiegészítőszögei)

További elnevezések

• Belső szög: egy sokszög szögpontjában találkozó két oldal által bezárt szög.
• Külső szög: egy sokszög szögpontjában találkozó oldal és a szomszédjának ama szögponton túl való meghosszabbítása által közbezárt szög.

A szögek mérése

Merőleges szárú szögek a)

Merőleges szárú szögek b)

A θ szög méréséhez egy körívet húzunk, melynek középpontja a szög csúcsa. Legyen a körív hossza s, a kör sugara pedig r, k pedig egy választott együttható. Ekkor a szög mértéke:

$\theta ={\frac {s}{r}}(k)$

amely független a kör méretétől, mivel a körív és a sugár aránya állandó.

A szögeket dimenzió nélkülinek szokták tekinteni, mivel két hosszúság hányadosaként jelenik meg. Ennek ellenére a szögeket többféle mértékegységben fejezik ki attól függően, hogy milyen értéket választottunk a k együtthatónak.

• A fok, amelyet egy felső helyzetű körrel jelölnek (°), a teljes kör 1/360-ad része, tehát a teljes kör mértéke 360°. A fok 1/60-ad része az ívperc, melynek jelölése:  ′ . Az ívperc 1/60-ad része az ívmásodperc, melynek jelölése:  ″  A θ szög fokban való meghatározásához:

$(k)={\frac {180}{\pi }}$

• Egy radián a mértéke annak a szögnek, amelynél a hozzá tartozó körív és sugár hányadosa 1. (vagyis k = 1 a fenti képletben). A teljes kör mértéke 2π radián. Egy radián 180/π fok, azaz közelítőleg 57,2958 fok. A radián rövidítése rad, de ezt jellemzően nem szokták kiírni a matematikai szövegekben, ahol az alapértelmezett mértékegység a radián. Ezt a választást az indokolja, hogy ezzel egyszerűbbek lesznek a képletek, és nem kerülnek bele mindenféle váltószámok. Lásd: [1] A radián a szögek mértékegysége az SI rendszerben.
• Léteznek más egységek is. Ezekről a Mértékegységek átszámítása#Szög tartalmaz adatokat.

Szögmérték	Mértékegység	1 teljesszög =	Mértékegység jele
–	Teljesszög	1
Ívmérték	Radián	2π	rad
Fok	Fok (perc, másodperc)	360	° ( ′ ″ )
Geodéziai szögmérték	Gradián (újfok)	400	gon (grad)
Időmérték	Óra, perc, másodperc	24	h m s
–	Tengerészeti vonás	32	¯
–	Tüzérzeti vonás	6400	mil ( A‰ )
–	Százalék	nem lineáris	%, ‰

Síkszögek a térben

Lapszög

A térelemek által bezárt síkszögek is értelmezhetők.

• A párhuzamos egyenesek, síkok által bezárt szög a nullszög.
• Egy sík és az abban fekvő egyenes szöge is nullszög.
• Két metsző egyenes által bezárt szög a keletkezett szögek közül a kisebb, ami legfeljebb 90 fok.
• Két kitérő egyenes szöge megegyezik az eltoltjaik által bezárt szöggel.
• Egy metsző egyenes-sík pár szöge az egyenes és a síkra vett merőleges vetülete által bezárt szög.
• Két egymást metsző sík által meghatározott szög megegyezik azzal a szöggel, amit a síkban levő, a metszésvonalukra merőleges egyenesek bezárnak. Ezt a szöget nevezik lapszögnek.

Térszögek

Térszög helyett térszögletet is mondanak. A térszögek nagyságát általában szteradiánban mérik, ami a radián térbeli megfelelője, de néha felbukkannak más mértékegységek is. Térszög található poliéderek csúcsánál. Lásd: Mértékegységek átszámítása#Térszög Egy szteradiánnyi szög a csúcsa köré írt r sugarú gömb felszínéből r² területet metsz ki. A teljes gömbhöz tartozó térszög mértéke

$\Omega =4\cdot \pi \ \mathrm {sr} \approx 12{,}56637\ \mathrm {sr}$

• 
  Kanonikus térszög
• 
  Egy gúla térszöge

Szögek különböző geometriákban

Többnyire euklideszi geometriáról lévén szó, a szögeket is euklideszinek tekintjük. Azonban más geometriákban is vannak szögek.

A háromszögek szögei és oldalai közötti kapcsolatokat egyenlőségek és egyenlőtlenségek írják le. A különböző geometriákban ezek az összefüggések különböznek. Euklideszi geometriában ismert összefüggés, hogy hosszabb oldallal szemben nagyobb szög van. Emellett a szinusztétel és a koszinusztétel pontos egyenlőséget is megad. A háromszögeket szögeik csak hasonlóság erejéig határozzák meg. A háromszögek szögeinek összege egyenesszög.

Gömbi geometriában a gömbi szinusztétel és a gömbi koszinusztétel érvényesül, illetve vannak még más tételek is. A háromszögeket szögeik egybevágóságig meghatározzák. A háromszögek szögeinek összege egyenesszögnél nagyobb.

Hiperbolikus geometriában a hiperbolikus szinusztétel és a hiperbolikus koszinusztétel ad összefüggést. A háromszögeket szögeik egybevágóságig meghatározzák. A háromszögek szögeinek összege egyenesszögnél kisebb.

• 
  Gömbháromszög szögei
• 
  Háromszög szögei hiperbolikus geometriában

Szögek számítása

Derékszögű háromszög

Derékszögű háromszög az $\alpha$ és $\beta$ hegyesszögekkel

Ha egy derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög adott, akkor a másik egyértelműen meghatározott, mivel a szögek összege 180 fok, és ebben a derékszög kitesz 90 fokot, azért ha a hegyesszögek $\alpha$ és $\beta$, akkor $\alpha +\beta =90^{\circ }$.

Ha ismertek az $a$, $b$ és $c$ oldalhosszak, akkor a hegyesszögek kiszámolhatók szögfüggvényekkel és árkuszfüggvényekkel. Ha a hegyesszögek $\alpha$ és $\beta$, akkor teljesül, hogy

$\alpha =\arcsin \left({\frac {a}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {b}{c}}\right)=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {b}{a}}\right)=\operatorname {arcsec} \left({\frac {c}{b}}\right)=\operatorname {arccsc} \left({\frac {c}{a}}\right)$

$\beta =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\operatorname {arccot} \left({\frac {a}{b}}\right)=\operatorname {arcsec} \left({\frac {c}{a}}\right)=\operatorname {arccsc} \left({\frac {c}{b}}\right)$

Általános háromszög

Háromszög az $\alpha$, $\beta$ és $\gamma$ belső szögekkel

Ha egy háromszög szögei $\alpha$, $\beta$ és $\gamma$, akkor $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$. Ezért két szög meghatározza a harmadikat.

Ha ismert két oldal hossza és az egyikkel szemközti szög, akkor a másik oldallal szemközti szög szinusztétellel számítható. Teljesül például, hogy $\sin(\alpha )={\frac {a\cdot \sin \beta }{b}}$. Az árkusz szinusz függvénnyel $\alpha =\arcsin \left({\frac {a\cdot \sin \beta }{b}}\right)$.

Mindhárom oldal ismeretében a koszinusztétellel kiszámíthatók a szögek. Teljesül például, hogy $\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b\cdot c}}$. Az árkusz koszinusz függvénnyel $\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2\cdot b\cdot c}}$.

Ha derékszögű koordináta-rendszerben a háromszög csúcsaival van megadva, akkor a belső szögek két vektor közötti szögként számíthatók. Legyenek a csúcsok $A$, $B$, $C$! Ekkor ${\vec {b}}={\overrightarrow {AB}}$ és ${\vec {c}}={\overrightarrow {AC}}$ az $A$ pontból kiinduló vektorok, így $\alpha =\arccos {\frac {{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}{|{\vec {b}}||{\vec {c}}|}}$. Itt ${\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$ skaláris szorzat és $|{\vec {b}}||{\vec {c}}|$ a vektorok hossza.

Tetraéder szögei

Szabályos tetraéder, lapjain a szögek $\alpha =60^{\circ }$-osak; a tetraéderszög $\tau =\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)\approx 109^{\circ }\;28^{\prime }\;16^{\prime \prime }$; a lapszög $\beta =\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)\approx 70^{\circ }\;31^{\prime }\;44^{\prime \prime }$ és az élek és lapok közötti szög $\gamma =\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 54^{\circ }\;44^{\prime }\;8^{\prime \prime }$

A tetraéderben előforduló szögek:

• a lapokon, mint háromszögeken levő szögek
• a lapok lapszögei
• a csúcsoknál levő térszögek

Egyenesek hajlásszöge

Ha egy egyenes egyenlete egy sík derékszögű koordináta-rendszerében $ax+by=c$, akkor hajlásszögét az $x$ tengelyhez $\alpha$-val jelölve:

$\operatorname {tg} \alpha ={\frac {a}{b}}$.

Ez következik a tangens definíciójából. Az árkusz tangens használatával

$\alpha =\operatorname {arctg} {\frac {a}{b}}$.

Ha a tangens nem létezik, akkor $b=0$, ami azt jelenti, hogy az egyenes párhuzamos az $x$ tengellyel, így hajlásszöge az $x$ tengelyhez 0.

Két egyenes metszésszöge

Legyenek $g_{1}=\{\mathbf {p_{1}} +\lambda \mathbf {r_{1}} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}$ és $g_{2}=\{\mathbf {p_{2}} +\lambda \mathbf {r_{2}} \mid \lambda \in \mathbb {R} \}$ egyenesek egy sík derékszögű koordináta-rendszerében a $\mathbf {p_{1}}$ és $\mathbf {p_{2}}$ pontokkal és $\mathbf {r_{1}}$ és $\mathbf {r_{2}}$ lineárisan független irányvektorokkal. Ha szögük $\theta$, akkor

$\theta =\arccos {\frac {\mathbf {r_{1}} \cdot \mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} ||\mathbf {r_{2}} |}}$.

Az egyenesek merőlegesek, ha metszésszögük derékszög, tehát $\theta =90^{\circ }$. Ez ekvivalens azzal, hogy irányvektoraik skalárszorzata 0. Ez azt jelenti, hogy $\mathbf {r_{1}} \cdot \mathbf {r_{2}} =0$.

Ha a két egyenes $a_{1}x+b_{1}y=c_{1}$ és $a_{2}x+b_{2}y=c_{2}$ alakban van megadva, és egymással bezárt szögük $\theta$, akkor az általuk közrezárt szög az $x$ tengellyel bezárt hajlásszögekből számítható:

$\theta =\alpha _{1}-\alpha _{2}$.

Alkalmazva az addíciós tételt a tangensre:

$\operatorname {tg} \theta =\operatorname {tg} (\alpha _{1}-\alpha _{2})={\frac {\operatorname {tg} \alpha _{1}-\operatorname {tg} \alpha _{2}}{1+\operatorname {tg} \alpha _{1}\operatorname {tg} \alpha _{2}}}$.

Mivel $\operatorname {tg} \alpha _{1}={\tfrac {a_{1}}{b_{1}}}$ és $\operatorname {tg} \alpha _{2}={\tfrac {a_{2}}{b_{2}}}$, azért következik, hogy:

${\frac {\operatorname {tg} \alpha _{1}-\operatorname {tg} \alpha _{2}}{1+\operatorname {tg} \alpha _{1}\operatorname {tg} \alpha _{2}}}={\frac {{\frac {a_{1}}{b_{1}}}-{\frac {a_{2}}{b_{2}}}}{1+{\frac {a_{1}a_{2}}{b_{1}b_{2}}}}}={\frac {a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}$.

Egybevetve

$\operatorname {tg} \theta ={\frac {a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}$.

Alkalmazva az árkusz tangenst kapjuk, hogy

$\theta =\operatorname {arctg} {\frac {a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}}$.

Az egyenesek pontosan akkor merőlegesek, ha $a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=0$. Ekkor az egyenletek nincsenek definiálva.

Egyenes és sík metszésszöge

Legyen $\alpha$ az ${\vec {x}}$ irányvektorú egyenes és az ${\vec {n}}$ normálvektorú sík metszésszöge. Ekkor

$\sin \alpha ={\frac {|{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}|}{|{\vec {n}}||{\vec {x}}|}}$

A $g$ egyenes és az $E$ sík által bezárt $\alpha$ szög. A $g$ egyenes vetülete az $E$ síkra a $p$ egyenes. ${\begin{aligned}&\,\gamma =\beta =90^{\circ }-\alpha \\\Rightarrow \,&\sin(\alpha )=\sin(90^{\circ }-\gamma )=\cos(\gamma )={\frac {|n\cdot x|}{|n||x|}}\end{aligned}}$

Két sík által bezárt szög: $\alpha =\beta =\gamma$

Két sík metszésszöge

Legyen ${\vec {n}}$ és ${\vec {m}}$ a két sík normálvektora! Ekkor a két sík metszésszöge

$\cos \alpha ={\frac {|{\vec {n}}\cdot {\vec {m}}|}{|{\vec {n}}||{\vec {m}}|}}$.

Nevezetes szögek szerkesztése

Vannak szögek, amik megszerkeszthetők körzővel és vonalzóval. Ezek közül a legnevezetesebbek a derékszög, a 60, a 30 és a 72 fokos szögek, valamint az ezekből felezéssel, összeadással, kivonással kapható szögek. Az így keletkezett szögek mellett szerkeszthetők a szabályos 17-szögből kapható szögek is. Az algebra eredményei szerint a szögek általában nem harmadolhatók; nevezetesen, a 60 fokos szög nem harmadolható körzővel és vonalzóval.

Műveletek szögekkel

Szögek összeadása, kivonása

Szögek összeadása

Szögek kivonása

Összeadáskor úgy mérjük fel a szögeket, hogy körívet húzunk az első szögbe, amit meghosszabbítunk úgy, hogy a másik szög is odaférjen. Ezután a másik szögbe ugyanezzel a környílással körívet húzunk. A körív és a szög szárainak metszéspontjai közötti távolságot felmérjük az első szög melletti meghosszabbított körívre. Meghúzzuk a második szögszárat a csúcspontból a metszésponthoz.

Kivonáskor hasonlóan járunk el. Úgy mérjük fel a szögeket, hogy körívet húzunk a nagyobb szögbe. Ezután a másik szögbe ugyanezzel a környílással körívet húzunk. A körív és a szög szárainak metszéspontjai közötti távolságot felmérjük a nagyobb szögtartományban befelé. Meghúzzuk a második szögszárat a csúcspontból a metszésponthoz. Így kapjuk a szögek különbségét.

Szögek felosztása

Szögfelezés, szögfelező (pirossal)

Szögfelezés: egy, a csúcsból húzott körívvel elmetsszük a szög két szárát, majd a kapott metszéspontokból ugyanakkora környílással köríveket húzunk úgy, hogy messék egymást. A szög csúcsát összekötjük a metszésponttal. Így elfeleztük a szöget.

Szögharmadolás euklideszi szerkesztéssel nem lehetséges, azonban közelítő szerkesztések lehetségesek. Továbbá vannak más eszközök is, például a Tomahawk rajzeszköz, melyek lehetővé teszik a szögharmadolást.

Tetszőleges arányú osztáshoz olyan segédeszköz kell, amivel szögek és szakaszok egymással arányosan egymásra képezhetők. Ilyen például egy arkhimédészi spirál vagy Hippiász-féle kvadratiksz. Így a szakaszok és a szögek felosztása kölcsönösen átvihetők egymásba. Ezek az eszközök használhatók olyan sokszögek megrajzolásához, melyek nem szerkeszthetők körzővel és vonalzóal.

A 60 fokos, és a belőle kapható szögek

60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott pontján át

60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott pontján át

Legyen az egyenes $g_{1}$, és a pont $P$!

• A $P$ pont körül kört húzunk, melynek metszéspontjait $g_{1}$-gyel jelölje $A$ és $B$.
• Ugyanezzel a sugárral kört vonunk az $A$ vagy a $B$ pont köré. Az első körrel vett egyik metszéspontot jelölje $C$.
• A $PC$ egyenes áthalad a $P$ ponton, és 60 fokos szöget zár be a $g_{1}$ egyenessel.

60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott külső ponton át

60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott külső ponton át

Legyen ismét az egyenes $g_{1}$, és a pont $P$!

• Merőlegest bocsátunk a $P$ pontból $g_{1}$-re. Innen kapjuk az $A$ és $B$ kör-egyenes szimmetrikus metszéspontokat, a $P$-vel átellenes $C$ pontot. A talppontot a továbbiakban $M$ jelöli.
• Kört húzunk $M$ körül úgy, hogy átmenjen a $P$ ponton. Ez a kör a továbbiakban $k_{1}$.
• Ugyanekkora sugárral $C$ körül is kört húzunk, ez a $k_{2}$ kör. A két kör metszéspontjai $D$ és $E$, melyek össztekötő egyenese a ${\overline {CM}}$ szakasz felezőmerőlegese.
• A $PDE$ háromszög egyenlő oldalú, melynek $P$-n átmenő oldalai $g_{1}$-et 60 fokban metszik.

Egy alternatív szerkesztésmód:

• Húzunk egy kört a $P$ pont körül úgy, hogy messe a $g_{1}$ egyenest. Az egyik metszéspontot megjelöljük, ez lesz az $A$ pont.
• Ugyanezzel a sugárral kört húzunk az $A$ pont körül, ennek egyik metszéspontja a $B$ pont.
• $B$ körül kört húzunk ugyanezzel a sugárral, ami a $P$ körüli kört a $C$ pontban metszi.
• A $C$ pont körül kört húzunk, ennek metszéspontja a $P$ pont körüli körrel a $D$ pont.
• A $PD$ egyenes 60 fokban metszi a $g_{1}$ egyenest.

A 60 fokos szög szerkesztése

60 fokos szög szerkesztése adott egyeneshez adott külső ponton át (egy alternatív szerkesztési mód)

• Meghúzunk egy egyenes szakaszt
• Kijelölünk rajta egy O pontot
• Húzunk O-ból egy körívet, ami metszi az egyenes szakaszt; a metszéspont legyen A
• A körző szögnyílását változatlanul hagyva húzunk A-ból egy körívet, hogy messe az O középpontú körívet. Legyen ez a metszéspont B
• Az AOB hegyesszög 60 fokos lesz.

A 60 fokos szögből felezéssel kapható a 30 fokos szög. Derékszög nyerhető egy 60 és egy 30 fokos szög egymás mellé másolásával, vagy az egyenesszög megfelezésével.

Ezekkel a szögekkel szerkeszthetők szabályos hatszögek, szabályos háromszögek, téglalapok és négyzetek.

A 90 fokos szög (derékszög) szerkesztése

Derékszög szerkesztésekor egy előre megadott, vagy felvett szakasz felezőmerőlegesét szerkesztjük meg.

Merőleges állítása egyenesre annak egy pontjában

Merőleges állítása egyenesre külső pontból

Merőleges állítása egyenesre annak egy pontjában

Nevezzük az egyenest $g$-nek, és az adott pontot $P$-nek!

• Húzunk egy tetszőleges sugarú kört $P$ középponttal. A kört $g$ két pontban metszi.
• Egyforma sugarú köröket húzunk a metszéspontok körül. A sugarat akkorának kell választani, hogy ezek a körök messék egymást.
• Összekötjük a két kör metszéspontjait. Az így kapott szakasz a $g$ egyenest a $P$ pontban merőlegesen metszi.

Merőleges állítása egyenesre külső pontból

Legyen ismét $g$ az egyenes, és az adott pont $P$!

• Húzunk egy kört $P$ középponttal és akkora távolsággal, ami nagyobb, mint a pont és az egyenes távolsága. A kört $g$ két pontban metszi.
• Egyforma sugarú köröket húzunk a metszéspontok körül. A sugarat akkorának kell választani, hogy ezek a körök messék egymást.
• Összekötjük a két kör metszéspontjait. Az így kapott egyenes merőlegesen metszi a $g$ egyenest, és átmegy a $P$ ponton.

Merőleges állítása adott metszéspont nélkül

Merőleges szerkesztése Thalész-körrel

Legyen az egyenes továbbra is $g$!

• A $g$ egyenesen tetszőlegesen felvesszük a különböző $M_{1}$ és $M_{2}$ pontokat.
• Húzunk két kört egyforma sugárral $M_{1}$ és $M_{2}$ körül, hogy messék egymást. A két metszéspontot összekötve merőlegest kapunk a $g$ egyenesre.

Diszkusszió

Nem kell a teljes köröket felrajzolni. Elég csak akkora köríveket behúzni, hogy a metszéspontok megtalálhatók legyenek.

Minél messzebb vesszük fel a segédpontokat, annál pontosabb lehet a szerkesztés, hiszen annál kisebb hatása van a behúzott vonalak vastagságának. Viszont ha nagy a távolság, akkor a körök laposabb szögben metszik egymást, ami növeli a pontatlanságot.

Szakaszfelező merőleges

Szakaszfelező merőleges

Hasonló szerkesztéssel lehet kijelölni szakaszfelező merőlegest: a szakasz végpontjai körül köröket húzunk egyforma sugárral, és összekötjük ezek metszéspontjait.

30 fokos szög szerkesztése

Habár 30 fokos szög megkapható a 60 fokos szög felezésével, azért 30 fokos szög egyszerűbben is szerkeszthető.

Adott egyenest adott pontjában 30 fokban metsző egyenes szerkesztése

Adott egyenest adott pontjában 30 fokban metsző egyenes szerkesztése

Legyen az egyenes $g_{1}$, az adott pont $P$!

• Felveszünk egy tetszőleges $A$ pontot az egyenesen, és kört húzunk $A$ középponttal a $P$ ponton át. Adódik a $B$ metszéspont.
• Kört húzunk a $B$ pont körül ugyanezzel a sugárral, és legyen a két kör egyik metszéspontja $C$.
• A $PC$ egyenes $g_{1}$-et 30 fokban metszi.

Adott egyenest adott külső ponton átmenő, 30 fokban metsző egyenes szerkesztése

Legyen az egyenes $g_{1}$, az adott pont $P$!

• Tetszőleges sugárral kört húzunk $P$ körül, ami $g_{1}$-et az $A$, $B$ pontokban metszi.
• Az $A$ pont körül $AP$ sugárral kört húzunk. Hasonlóan, $B$ körül ugyanezzel a sugárral kört húzunk. A két kör túloldali metszéspontját jelölje $C$.
• A $PC$ egyenes metszéspontja $g_{1}$-gyel $D$.
• ${\overline {CD}}$ sugárral kört húzunk $C$ és $D$ körül is. Adódik az $E$ pont.
• $P$-t $E$-vel összekötve adódik az $F$ pont.
• ${\overline {FP}}$ sugárral kört húzunk $F$ körül, a $g_{1}$-gyel vett metszéspont $G$.
• ${\overline {GF}}$ sugárral kört rajzolunk a $G$ pont körül, ez a $g_{1}$ egyenest a $H$ pontban metszi.
• A $HP$ egyenes $g_{1}$-et 30 fokban metszi.

Egy alternatív szerkesztésmód a 60 fokos szög alternatív szerkesztésén alapul. Az ottani jelölésekkel az ötödik kör $D$ középpontú, $P$-n átmenő kör, a 30 fokban metsző egyenes a $PE$ egyenes.

Adott egyenest adott külső ponton átmenő, 30 fokban metsző egyenes szerkesztése

Adott egyenest adott külső ponton átmenő, 30 fokban metsző egyenes szerkesztése, alternatív szerkesztési módszer

A szabályos ötszögből kapható szögek

Szabályos ötszög szerkeszthető, így a 72, a 108 és az 54 fokos szögek. Ezekkel tovább bővül a szerkeszthető szögek köre.

Szabályos ötszög szerkeszthető például adott a oldalhosszból:

• Felvesszük az adott oldalhosszt A és B végpontokkal, "a" szakaszhossz.
• Megszerkesztjük AB felezőmerőlegesét
• Felmérjük a felezőmerőlegesre az "a" szakaszhosszt; az így kimetszett pont Q
• Az AQ szakasz meghosszabbítására felmérjük az "a" hossz felét; az így kimetszett pont R. Az AR szakasz hossza adja az ötszög átlójának hosszát, d-t
• Az AB felezőmerőlegesből az A-ból húzott d sugarú körív kimetszi D-t. Ezzel megkaptuk a szabályos ötszög egy oldala és egy átlója által bezárt szöget
• Az ötszög hiányzó két csúcsa a már meglevő csúcsokból húzott a sugarú körívekkel.

Ezzel megkapjuk a szabályos ötszög belső szögeként a 108 fokos szöget, ennek kiegészítő szögeként a 72 fokos szöget, és felezéssel az 54 fokos szöget.

72°, 54° és 18° szabályos ötszögben: ${\overline {EF}}={\overline {EC}}$, ${\overline {BH}}={\overline {CG}}$

Általános szögszerkesztések

A 3°-os szög többszörösei szerkeszthetők. Az ábra néhány példát mutat erre.
A 9° és a 3° szerkesztéséhez szükség van a 30° és a szabályos ötszög szerkesztésére

Szerkeszthetők a fenti szögek, 90°, 60°, 72° illetve 54°; ezek összegei, különbségei, és felezéssel (ami tetszőleges számszor megismételhető) további szögek kaphatók. Például 3° kapható a következőképpen: $72^{\circ }/2\rightarrow 36^{\circ }/2\rightarrow 18^{\circ }-15^{\circ }=3^{\circ }$. Általában szerkeszthetők azok a szögek, melyek szinusza (koszinusza) előáll egész számokból alapműveletekkel és négyzetgyökvonásokkal. Ez teljesül például minden olyan szögre, ami a 3°-os szög egész számú többszöröse:

• $\sin(0^{\circ })=\cos(90^{\circ })=0$
• $\sin(3^{\circ })=\cos(87^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)-2\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)$
• $\sin(6^{\circ })=\cos(84^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-\left({\sqrt {5}}+1\right)\right)$
• $\sin(9^{\circ })=\cos(81^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)-2\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)$
• $\sin(12^{\circ })=\cos(78^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\right)$
• $\sin(15^{\circ })=\cos(75^{\circ })={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)$
• $\sin(18^{\circ })=\cos(72^{\circ })={\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)$
• $\sin(21^{\circ })=\cos(69^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left(-{\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)+2\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)$
• $\sin(24^{\circ })=\cos(66^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left(-{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)\right)$
• $\sin(27^{\circ })=\cos(63^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left(-{\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)+2\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)$
• $\sin(30^{\circ })=\cos(60^{\circ })={\frac {1}{2}}$
• $\sin(33^{\circ })=\cos(57^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)+2\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)$
• $\sin(36^{\circ })=\cos(54^{\circ })={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}$
• $\sin(39^{\circ })=\cos(51^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)-2\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)$
• $\sin(42^{\circ })=\cos(48^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-\left({\sqrt {5}}-1\right)\right)$
• $\sin(45^{\circ })=\cos(45^{\circ })={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {2}}$
• $\sin(48^{\circ })=\cos(42^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)\right)$
• $\sin(51^{\circ })=\cos(39^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)+2\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)$
• $\sin(54^{\circ })=\cos(36^{\circ })={\frac {1}{4}}\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)$
• $\sin(57^{\circ })=\cos(33^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left(-{\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)+2\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)$
• $\sin(60^{\circ })=\cos(30^{\circ })={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {3}}$
• $\sin(63^{\circ })=\cos(27^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)+2\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)$
• $\sin(66^{\circ })=\cos(24^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {5}}+1\right)\right)$
• $\sin(69^{\circ })=\cos(21^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)+2\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)$
• $\sin(72^{\circ })=\cos(18^{\circ })={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}$
• $\sin(75^{\circ })=\cos(15^{\circ })={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)$
• $\sin(78^{\circ })=\cos(12^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {5}}-1\right)\right)$
• $\sin(81^{\circ })=\cos(9^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)+2\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}\right)$
• $\sin(84^{\circ })=\cos(6^{\circ })={\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\cdot \left({\sqrt {5}}+1\right)\right)$
• $\sin(87^{\circ })=\cos(3^{\circ })={\frac {1}{16}}\cdot \left({\sqrt {2}}\cdot \left({\sqrt {3}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {5}}-1\right)+2\cdot \left({\sqrt {3}}+1\right)\cdot {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)$
• $\sin(90^{\circ })=\cos(0^{\circ })=1$

A szögfelezés kifejezhető a felezési tételekkel:

$\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}$ és $\cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}$

Az összeadások, kivonások követhetők az addíciós tételekkel:

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \;\cos \beta \pm \cos \alpha \;\sin \beta$ und $\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \;\cos \beta \mp \sin \alpha \;\sin \beta$

Kiszámítható, hogy a 17-szög középponti szögének koszinusza:

$\cos {\frac {360^{\circ }}{17}}={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right)}}-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right)}}}}\right)\ \approx 0{,}93247222940435580457$,

ami szerkeszthetőségét igazolja.

Tételek a szögekről

• Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között: a háromszögben a legnagyobb oldallal szemben van a legnagyobb szög
• Kerületi és középponti szögek tétele: a középponti szög a hozzá tartozó kerületi szög kétszerese
  • Speciális eset: Thalész-tétel: egy kör átmérőjéből a kör pontjai derékszögben látszanak
• Pitagorasz-tétel a derékszögű háromszögekről: a két befogó négyzetösszege az átfogó négyzete
• Befogótétel és magasságtétel

Kerületi szög, középponti szög és húr-érintő szög

Trigonometria

A trigonometrikus függvények vagy szögfüggvények eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldalának hányadosa közötti összefüggést írják le.

A szögfüggvényeknek a derékszögű háromszög két oldalának hányadosa és a szög összefüggésén kívül az egységsugarú körben tekintett forgásszög-végpontok metszeteivel (vetületeivel, koordinátáival) is definiálhatók. Ez utóbbi definíció már 90°, azaz π/2-nél nagyobb, sőt negatív (mindent összevéve, tetszőleges valós) argumentumokra is működik.

A szögfüggvények segítségével pontosíthatók az összefüggések a háromszögek oldalai és szögei között:

• Szinusztétel: egy háromszög oldalainak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával. $a\,:\,b\,:\,c\;=\;\sin \,\alpha \;:\;\sin \,\beta \;:\;\sin \,\gamma$ A háromszög oldalai és szögei közötti összefüggés pontos alakja
• Koszinusztétel: :$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,$ A Pitagorasz-tétel általánosítása

Kapcsolódó szócikkek

• Szögmértékek

Források

Nézd meg a szög címszót a Wikiszótárban!

• Matematikai kisenciklopédia, Gondolat Kiadó, Budapest, 1968
• Belső szög. In A Pallas nagy lexikona. Szerk. Bokor József. Budapest: Arcanum – FolioNET. 1998. ISBN 963 85923 2 X  

• Szögek értelmezése térben
• Síkszög, lapszög, térszög
• Nevezetes szögpárok
• Szögfelezés; 60, 30 és 90 fokos szögek szerkesztése
• Szabályos ötszög szerkesztése adott oldalhosszból Archiválva 2009. december 29-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között
• Középponti és kerületi szögek tétele Archiválva 2010. április 19-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Thalész-tétel Archiválva 2011. február 28-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Befogó- és magasságtétel
• Szinusztétel
• Koszinusztétel
• José Matos: [The Historical Development of the Concept of Angle] (A szög fogalmának történeti fejlődése ). (PDF, angol nyelv). The Mathematics Educator Online, 1. évf. 1. sz. Beill. 2010. szeptember 19.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Winkel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.