Komplex számok
A komplex számok halmaza a valós számhalmaz olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás (a valós számok halmazával ellentétben, ahol negatív számnak nincs négyzetgyöke), valamint ennek folyományaként más, valósokon belül nem értelmezett műveletek is értelmezhetővé válnak. A valós szám fogalmának ilyen általánosítását a 16. századi algebrai problémák (casus irreducibilis) vetették fel, később a komplex számok a matematika más területein és a fizikában is alkalmazhatónak bizonyultak.[megj 1]
A komplex számok megalkotása
[szerkesztés]A komplex számok halmazát vagy betűvel jelöljük. Imaginárius (képzetes) egységnek az egyik olyan komplex számot nevezzük, amelynek a négyzete −1. Ennek jele i. (A másik komplex szám, melynek négyzete −1, a −i.)
A komplex számok származtatásának három lehetséges módja alább olvasható.
Halmazelméleti modell | Geometriai modell | Algebrai modell |
---|---|---|
,
azaz olyan rendezett párok, melyeknek elemei valós számok, tehát az Descartes-szorzat. |
, ahol az alakú leképezések közös kezdőponttal rendelkező síkbeli forgatva nyújtások (r a nagyítás mértéke, φ a szöge) | , azaz a valós együtthatójú polinomok x2+1 polinommal történő osztásának maradékai. (Pontosabban az polinomgyűrű (x2+1) szerinti maradékosztályai) |
Szorzás: | Szorzás: | Szorzás: |
Itt a függvénykompozíció ( ), konkrétan a síkbeli leképezések egymásutánja | a polinomok szorzása | |
Összeadás: | Összeadás: | Összeadás: |
a képpontba mutató vektorok összege | a polinomok összeadása | |
A szorzás egységeleme: | A szorzás egységeleme: | A szorzás egységeleme: |
1 := (1,0) | 1 := F0° = id (a nulla fokos forgatás) | 1 := az azonosan 1 polinom |
Az x2 = -1 egyenlet megoldása: | Az x2 = -1 egyenlet megoldása: | Az x2 = -1 egyenlet megoldása: |
(0,1)(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1 | F+90°F+90° = F180° = – id = – 1 | xx = x2 = (x2+1)-1 = 0-1 = -1 |
A három modellnek az a közös tulajdonsága, hogy mindegyik a valós számtest feletti 2 dimenziós vektortér, melyen egy szorzás is értelmezve van, ami az összeadással együtt testet alkot. Az ilyen algebrai struktúrát a valós számok testbővítésének nevezzük. Érvényes az a tétel, miszerint
- a valós számok testének egyetlen olyan valódi testbővítése van, mely kommutatív és véges dimenziós.
Ezt az (izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározott) testbővítést a komplex számok halmazának nevezzük. A komplex számok fenti három értelmezése tehát kölcsönösen egyértelmű és művelettartó módon megfeleltethető egymásnak. Az előbbi tétel következményeként kijelenthetjük, hogy a komplex számok bizonyos értelemben a számkörbővítés utolsó állomásának tekinthető. Tovább csak úgy bővíthető a számkör, ha feladjuk a szorzás kommutativitását (kvaterniók) illetve ezen túl a szorzás asszociativitását (oktoniók).
Halmazelméleti modell
[szerkesztés]A rendezett valós számpárok összessége alkotja a komplex számok halmazelméleti modelljét. Az összeadást ebben a modellben az
formulával definiáljuk;
a szorzást a kissé légbőlkapott
egyenlőséggel. Ellenőrizhető, hogy ez az (R×R, +, ) matematikai struktúra valóban testet alkot a
- 0 := (0,0) additív neutrális elem és a
- 1 := (1,0) multiplikatív neutrális elem
választásával.
Érdemes még felírni az additív inverz elemet:
és a mutiplikatív inverz elemet minden nem nulla elem esetén:
A valós számtestet az
- R R×R, a (a,0)
bijektív azonosítással kapjuk.
A kardinális kérdés, hogy melyik elem alkalmas -1 négyzetgyökének. A válasz (0,1) és (0,-1), mely közül i -vel jelöljük és imaginárius egységnek mondjuk a (0,1) elemet:
- (0,1)2 = (0,1)(0,1) = (00 – 11,10 + 01) = (-1,0) = -1
Ez a modell a komplex számok összeadási tulajdonságát teszi szemléletessé, visszavezetve azt a vektorösszeadásra.
Geometriai modell
[szerkesztés]A közös kezdőpontú, síkbeli forgatva nyújtások alkotják a komplex számok geometriai modelljét. Minthogy ezek egy (Descartes-féle derékszögű, ortonormált) koordináta-rendszer választásával azonosíthatók bizonyos lineáris leképezésekkel, érdemes rögtön a mátrixukra áttérni. A φ szöggel elforgató, r-szeresére nyújtó leképezés mátrixa:
vagy az a := rcos(φ), b := rsin(φ) választással:
- .
Az ilyen alakú leképezések illetve mátrixok alkotják a geometriai modellt.
Itt a műveletek a következők lesznek. Az összeadás a mátrixösszeadás:
A szorzás a leképezések kompozíciója, ami mátrixokkal felírva a mátrixszorzás:
Az additív neutrális elem a 0 szorosára nyújtó leképezés, illetve a nullmátrix, a multiplikatív egységelem a 0°-os elforgatás. Egy nemnulla elem multiplikatív inverze az ugyanolyan szögű, de ellenkező irányba forgató leképezés, melynek nyújtási tényezője az eredeti reciproka.
A +90°-os forgatás olyan leképezés, melyet egymás után kétszer végrehajtva az identitás leképezés ellentettjét, a 180°-os forgatást kapjuk, tehát megoldható az x2 = -1 egyenlet.
Ez a modell a komplex számok szorzási tulajdonságait teszi szemléletessé.
Algebrai modell
[szerkesztés]Algebrai modellnek az R[x] polinomgyűrű (x2+1) főideálja szerinti R[x] / (x2+1) faktorgyűrűjét értjük, mely ellenőrizhető, hogy testet alkot. Ez praktikusan azt jelenti, hogy a komplex számok ekkor a valós együtthatós polinomok x2+1 polinommal történő osztási maradékai, tehát legfeljebb elsőfokú polinomok, ahol a műveleteket (összeadás, szorzás) a maradékokkal kell végeznünk. Az algebrai modellben az x2+1 polinomot úgy tekinthetjük, mint ami azonos a 0 polinommal, hiszen ezt saját magával maradékosan elosztva nullát kapunk:
Ebből következik, hogy az elsőfokú x polinom (mint polinomosztási maradék) megoldása az
egyenletnek. Ezt nevezzük ebben az esetben az imaginárius egységnek, amit i-vel jelölünk, és amely jelölés alkalmazásával az x2+1-tel történő osztás minden maradéka előáll az
nevezetes algebrai alakban.
Ezek után az algebrai modellben minden azonosítás helyett az = jelet írhatjuk és figyelembe véve a polinomok és algebrai törtek műveleteit, minden testben végezhető műveletet ugyanúgy végezhetünk, mint a valós számok között, figyelve arra, hogy i azt az elemet jelöli, melyre
Számolás a komplex számok körében
[szerkesztés]Algebrai alak
[szerkesztés]Bárhogy is definiáljuk a komplex számok halmazát, benne megtaláljuk a multiplikatív egységelemet, az 1-et és az imaginárius egységet, az i-t. Ezek ketten bázist alkotnak a komplex számok kétdimenziós terében, ezért minden z ∈ komplex szám egyértelműen előállítható z = a1 + bi alakban, ahol a és b valós számok. Ennél fogva egyszerűbb áttérni a következő logikus jelölésre:
Mivel a és b a z által egyértelműen van meghatározva, ezért ezeknek nevet is adhatunk. a-t a z szám valós részének nevezzük és
-vel jelöljük, b-t a z szám imaginárius részének:
vegyük észre, hogy az elnevezésével ellentétben, a definíció alapján az imaginárius rész nem imaginárius, hanem valós szám. Tehát:
A komplex számok halmazán normát, vagy abszolút értéket is bevezethetünk, ha z = a + bi, akkor
- .
Geometriai ábrázolás
[szerkesztés]A geometriai ábrázolásban minden komplex szám a kétdimenziós sík egy vektorának feleltethető meg. Ez az ábrázolás a Gauss-féle számsík, vagy (hogy Gauss neve ne legyen túlterhelve és ennek az ábrázolási formának az első bevezetőjéről legyen elnevezve) Argand-diagram (Jean-Robert Argand). Így egy komplex számnak van hossza, ez pont az előzőekben definiált abszolút érték (mely az R2-beli euklideszi norma), és irányszöge, vagy arkusza, mely a valós tengellyel bezárt irányított szöge.
Trigonometrikus alak
[szerkesztés]A geometria és a halmazelméleti modell összevetéséből kiderül, hogy a z = a + bi komplex szám felírható
alakban, ahol r nemnegatív szám z modulusa, a φ radiánban megadott szögérték az árkusza. Ekkor persze
- és
- .
A fordított reláció a sugarat ugyan igen, de az árkuszt nem egyértelműen fejezi ki:
Illetve nem nulla a esetén:
Érdemes továbbá megemlíteni, hogy a komplex számokon értelmezett arg függvény az alábbi képlettel vezethető vissza az arctg2 függvényre:
Ennek az alaknak a komplex számok szorzásánál, hatványozásánál és a komplex számokból való gyökvonásnál vesszük hasznát. A z1 és z2 komplex számok triginometrius alakban felírt szorzata a geometriai modellhez hasonlóan:
A többtagú szorzás ugyanígy, speciális esetben a hatványozás:
amelyet r = 1 esetén felírva a Moivre-formulát kapjuk:
Exponenciális alak
[szerkesztés]Mivel a komplex test normált, ezért léteznek és igazolható módon konvergensek a következő sorok:
Ha a csupa páratlan tagot tartalmazó szinusz i-szeresét hozzáadjuk a csupa páros tagból álló koszinuszhoz, akkor az exponenciális olyan alakját kapjuk, melyben a változó i-vel van szorozva:
Mindez a valós z = φ-re is igaz, mely esetet Euler-formulának nevezzük:
Van, amikor a φ = π -re vonatkozó esetet nevezik Euler-formulának:
Tehát minden komplex szám előáll
alakban.
Az exponenciális alak segítségével a komplex számok szorzása, osztása és hatványozása a szokásos szabályok szerint folyik:
Feltéve, hogy r2 nem nulla:
Érdemes a nemnulla komplex számokat teljesen exponenciális alakban írni:
Ekkor a nemnulla z komplex szám komplex w kitevőjű hatványozása, ha v = φ0+iφ1, akkor
Gyökvonás komplex számokból
[szerkesztés]A gyökvonásról általában
[szerkesztés]Mielőtt továbblépnénk, jegyezzük meg, hogy az Euler-képlet segítségével egy komplex szám végtelen sokféleképpen felírható, mert az arkuszához formálisan akárhányszor hozzáadhatunk -t:
- ,
ahol k=0,1,2,…. Ez fontos, mert amikor -ből n-edik gyököt vonunk, akkor egy olyan komplex számot keresünk, amelynek arkuszát n-nel szorozva visszakapjuk az eredeti arkuszt. De a fenti megjegyzés szerint nem csak ilyen, hanem a következő arkuszok mind:
- ,
ahol k=0,1,2, … n-1. Tehát n különböző n-edik gyök létezik
- , ahol k=0,1,2, … n-1.
Valóban, ezek mind olyan komplex számok, melyekre igaz, hogy n-edik hatványuk éppen . Triviális példa az 1-szám. Ennek négyzetgyökei, mint az elemekből ismeretes , vagyis a következő két (komplex) szám és .
Példaképp most számoljuk ki a
komplex szám negyedik gyökeit. A mondottak szerint négy ilyen negyedik gyök van:
- ,
- ,
- és
- .
Valóban, például az utolsó gyököt a negyedik hatványra emelve:
.
Rendezés
[szerkesztés]A komplex számok körében nem lehetséges definiálni olyan ≤ rendezési relációt, mely „kompatibilis” az összeadás és szorzás műveletekkel, így nem alkotnak rendezett testet (bár egyéb módon a komplex számok teste rendezhető (például a lexikografikus rendezéssel), sőt a jólrendezési tétel alapján jólrendezhető is, csak az ilyen rendezések egyike sem lesz kompatibilis a hagyományos +, · műveletekkel).
A komplex számtest algebrai és topologikus jellemzései
[szerkesztés]Tétel – Frobenius tétele – A valós számok teste feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrák (algebraizomorfizmus erejéig) a következők:
- a valós számok teste,
- a komplex számok teste,
- a kvaterniók teste.
Ennek a tételnek a következménye, hogy a valós számok testbővítései közül egy definiáló tulajdonság segítségével kiválaszthatjuk a komplex számok testét. Mivel minden test nullosztómentes, ezért elegendő azt a megszorítást tenni, hogy véges dimenziós (1, 2, vagy 4), valódi bővítése R-nek (dim > 1) és kommutatív (tehát nem a kvaternió ferdetest), ekkor eljutunk a komplex számok testéhez.
Felvetődik a kérdés, hogy a valós számokra való hivatkozás nélkül is kijelölhető-e a testek közül a komplex számtest.
Tétel – A komplex számok karakterizációja, mint test – Testizomorfizmus erejéig egyetlen olyan test van, mely:
- karakterisztikája 0,
- a prímteste feletti transzcendencia foka kontinuum,
- algebrailag zárt.
Ez a komplex számok teste.
(A prímtest, a minimális résztest (igazolható, hogy ez egyértelműen létezik), a transzcendencia foka a transzcendencia-bázis számossága (jelen esetben kontinuum). Algebrailag zárt egy test, ha minden legalább elsőfokú polinomjának van gyöke a testben.)
Ezzel a karakterizációval elveszítjük a komplex számok topologikus tulajdonságait, melyek a valós számokkal való kapcsolatából erednek. A komplex számok testének, mint topologikus testnek a karakterizációját Pontrjagin határozta meg első ízben:
Tétel – Pontrjagin tétele – Összefüggő, lokálisan kompakt topologikus testből csak kétféle van az izomorfizmus erejéig, éspedig a valós számok teste és a komplex számok teste.
Ennek segítségével úgy jellemezhető a komplex számtest, mint olyan, a fenti tulajdonságokkal rendelkező test, melyben a nemnulla elemek összefüggő halmazt alkotnak (ellentétben a valósokkal).
p-adikus analógia és általánosítás
[szerkesztés]A racionális számokból a komplex számokat a következő módon kapjuk. Először teljessé tesszük a racionális számok testét a szokásos (arkhimédeszi) abszolút értékre nézve: ez a valós számok teste. Az így kapott test algebrai lezártja a komplex számok teste.
Ezzel analóg módon definiálható a komplex számok p-adikus analogonja: ez a p-adikus számok testének olyan bővítése, ami egyszerre teljes és algebrailag zárt. Valóban, a p-adikus számok teste a racionális számok teljessé tétele a (nemarkhimédeszi) p-adikus abszolút értékre nézve, ez tehát a valós számoknak felel meg az arkhimédeszi esetben. A p-adikus számok algebrai lezártjára egyértelműen kiterjed a p-adikus abszolút érték, viszont nem teljes erre nézve. Például megmutatható, hogy a
sor részletösszegei Cauchy-sorozatot alkotnak, de a sor nem konvergál a testben.[1] A teljessé tétele viszont szükségképpen teljes, és megmutatható, hogy itt a teljessé tétel során nem vész el az algebrai zártság sem. Az így kapott test tehát teljes és algebrailag zárt: ez a komplex p-adikus számok teste.[2]
Megmutatható, hogy a komplex számok teste izomorf a komplex p-adikus számok testével, viszont nem létezik és közötti topologikus izomorfizmus (azaz olyan testizomorfizmus, ami tiszteletben tartaná az egyes abszolút értékek által definiált topológiát).[3]
A komplex p-adikus számok fontos szerepet játszanak az aritmetikai geometriában és az algebrai számelméletben. Segítségükkel definiálhatók p-adikus L-függvények (ezek az L-függvények p-adikus avatarjai).[4][5] A komplex p-adikus számok felett megalkotható a komplex függvénytan analogonja, a p-adikus analízis: ennek egyik alkalmazása a Weil-sejtések egyikének Dwork-féle bizonyítása.[6]
A fenti konstrukció általánosítható: Kürschák József megmutatta, hogy bármely értékelt testnek létezik olyan bővítése, ami teljes és algebrailag zárt. Sőt, a minimális ilyen bővítést pontosan a fenti három lépés adja meg, azaz a testet először teljessé tesszük, majd algebrailag lezárjuk (az abszolút érték egyértelműen kiterjed erre), majd még egyszer teljessé tesszük.[7]
Alkalmazásai
[szerkesztés]A komplex számokat a gyakorlati és természettudományok igen széleskörűen alkalmazzák. Elsősorban a komplex függvények jelennek meg a gyakorlatban, de ezek értéke is komplex szám, aminek aztán fizikai értelmet adhatunk.
A legtipikusabb alkalmazás a rezgések és hullámok vizsgálata. Mivel ezeket szinusz és koszinusz függvények segítségével írjuk le, kézenfekvő az Euler-féle képlet alkalmazása. Ilyen módon a fázisszög is egyszerűen kiolvashatóvá válik a mozgást leíró függvényből. A rezgéseket Fourier-transzformáció segítségével tudjuk harmonikus rezgések összegére felbontani, amit szintén egyszerűbb komplex függvények segítségével megalkotni.
A Fourier-transzformációhoz hasonló Laplace-transzformáció a mérnöki alkalmazások során merül fel. Ennek szerepe, hogy bizonyos problémákat, különösen a differenciálegyenleteket hatékonyan és gyorsan tudjuk megoldani.
Igen speciális szerepet kapnak a komplex számok a modern fizikában, ugyanis a részecskéket leíró Schrödinger-egyenlet is komplex számokat alkalmaz. A függvényérték maga is általában komplex szám, így fizikai értéket nem a függvény, hanem az abszolútértéke, képvisel, jelesül egy részecske előfordulásának valószínűségét.
Programozási nyelvek, amelyekben található komplex aritmetika
[szerkesztés]- C: #include <complex.h>;
- C++: #include <complex>;
- C#: using System.Numerics;
- D: import std.complex;
- Fortran: alapból kezeli
- Go: import "math/cmplx"
- Julia: alapból kezeli
- Matlab: alapból kezeli
- Octave: alapból kezeli
- Perl: use Math::Complex;
- Python: alapból ismeri, illetve további függvényekhez import cmath
- Rust: use num_complex::Complex;
- R: alapból kezeli
Megjegyzések
[szerkesztés]- ↑ ld. pl. Stephen Hawking: Az idő rövid története Archiválva 2009. január 20-i dátummal a Wayback Machine-ben. Könyvében Hawking amellett is érvel, hogy a fizika számára a téridő megértésének, vagy legalábbis leírásának kulcsfontosságú lépése, hogy az időt képzetes mennyiségnek tekintsük, azaz komplex számokkal mérjük.
Kapcsolódó szócikkek
[szerkesztés]Jegyzetek
[szerkesztés]Források
[szerkesztés]- A PlanetMath complex szócikke Archiválva 2007. szeptember 30-i dátummal a Wayback Machine-ben
- A PlanetMath complex number szócikke Archiválva 2009. május 8-i dátummal a Wayback Machine-ben
- A MathWorld complex number szócikke
- A komplex számok története
- Komplex számok szemléltetőfilmjeinek letöltő oldala – az 5. és a 6. fejezet (130 és 190 MB, angol, francia, spanyol vagy arab nyelvű hanggal)
- ↑ Hamburg: Mike Hamburg: Construction of and Extension of p-adic Valuations to , 2004. október 10. (Hozzáférés: 2022. február 20.)
- ↑ Koblitz: Neal Koblitz. p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, második, Graduate Texts in Mathematics (angol nyelven), New York: Springer Science+Business Media. DOI: 10.1007/978-1-4612-1112-9 (1984). ISBN 978-0-387-96017-3
- ↑ Lang: Serge Lang. Cyclotomic Fields I and II – With an Appendix by Karl Rubin, Combined Second Edition, Graduate Texts in Mathematics (angol nyelven) (1990)
- ↑ Roquette: Peter Roquette (2003. december 15.). „On the History of Valuation Theory”. (Hozzáférés: 2022. február 20.)
További információk
[szerkesztés]- Láng Csabáné: Példák és feladatok. Egyetemi jegyzet. 1. Komplex számok; ELTE, Budapest, 2003
- Szeitz Judit: Komplex számok. Főiskolai jegyzet; ZMNE BJKMFK, Budapest, 2004
- Komplex analízis, 1-2.; Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 2004–2007
- Teodor Bulboacă–Németh Sándor; 1.; 2004
- Teodor Bulboacă–Salamon Júlia: 2. Feladatok és megoldások; 2007
- Takács Miklós: Komplex számok. Példatár; 3. jav. kiad.; Főiskolai, Dunaújváros, 2009
- Móricz Ferenc: Harmonikus analízis a komplex egységkörlapon; Polygon, Szeged, 2013 (Polygon jegyzettár)
- Kecskés Lajos: A halmaz peremén. Cirkálás a komplex végtelenben; Typotex, Budapest, 2021