Origón átmenő sík

Három origón átmenő sík (zölddel, sárgával, szürkével) és egy origón átmenő egyenes (kékkel)

A matematikában az origón átmenő sík egy olyan sík, ami átmegy egy adott Descartes-féle koordináta-rendszer origóján. A koordináta-rendszerben kitüntetettek a koordinátasíkok. A többi síkhoz képest kompaktabb egyenlettel írhatók le, ami egyszerűsíti a metszet- és a távolságszámításokat is. Azok a vektorok, amelyek egy origón átmenő síkban fekszenek, kétdimenziós alteret alkotnak.

Definíció

A koordinátageometriában egy sík a háromdimenziós euklideszi tér pontjainak egy részhalmaza. Egy origón átmenő sík tartalmazza a rögzített Descartes-féle koordináta-rendszer $(0,0,0)$ origóját. Egy origón átmenő sík egyenlete

$ax+by+cz=0$

alakú, ahol $a,b$ és $c$ valós paraméterek, amelyek nem mind nullák.

Vektoriális ábrázolás

Az origón átmenő síkok is ábrázolhatók vektoregyenletekkel, ahol a sík minden pontját ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}$ helyvektorával ábrázoljuk. Az egyenlet paraméteres alakja:

${\vec {x}}=s{\vec {u}}+t{\vec {v}}$   ahol   $s,t\in \mathbb {R}$

ahol ${\vec {u}}$ és ${\vec {v}}$ a sík két lineárisan független vektora. Egy origón átmenő sík azokból a pontokból áll, amelyek helyvektorai előállnak két adott vektor lineáris kombinációjaként. A sík egyenletének normálformája háromdimenziós térben:

${\vec {n}}\cdot {\vec {x}}=0$

ahol ${\vec {n}}$ a sík normálvektora, és ${\vec {n}}\cdot {\vec {x}}$ két vektor skalárszorzata. Egy origón átmenő sík azokból a pontokból áll, melyek helyvektorai ortogonálisak az adott normálvektorra. Ha egy origón átmenő sík paraméteres alakban van megadva, akkor egy normálvektora az ${\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}$ vektoriális szorzattal számítható ki.

Példák

Koordinátasíkok három dimenzióban

A legalapvetőbb példák a koordinátasíkok:

$E_{12}\colon ~z=0$   illetve   ${\vec {x}}=s{\vec {e}}_{1}+t{\vec {e}}_{2}$    illetve    ${\vec {e}}_{3}\cdot {\vec {x}}=0$

$E_{13}\colon ~y=0$   illetvde   ${\vec {x}}=s{\vec {e}}_{1}+t{\vec {e}}_{3}$    illetve    ${\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {x}}=0$

$E_{23}\colon ~x=0$   illetve   ${\vec {x}}=s{\vec {e}}_{2}+t{\vec {e}}_{3}$    illetve    ${\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {x}}=0$

ahol ${\vec {e}}_{1}=(1,0,0)$, ${\vec {e}}_{2}=(0,1,0)$ és ${\vec {e}}_{3}=(0,0,1)$ egységvektorok.

Tulajdonságok

Metszet

Két különböző origón átmenő sík metszete mindig origón átmenő egyenes, vagyis egy

${\vec {x}}=a{\vec {u}}$  ,   $a\in \mathbb {R}$,

ahol ${\vec {u}}$ az egyenes irányvektora. Ha az origón átmenő síkok normálvektorai ${\vec {n}}_{1}$ és ${\vec {n}}_{2}$, akkor a metszésvonal egy irányvektora

${\vec {u}}={\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2}$

vagyis a normálvektorok vektoriális szorzata. Három, origón átmenő sík metszete akkor és csak akkor az origó, ha normálvektoraik lineárisan függetlenek. A tér három vektora lineárisan független, ha nincs olyan origón átmenő sík, ami tartalmazza.

Pont távolsága

Egy ${\vec {v}}$ helyvektorú pont távolsága egy ${\vec {n}}$ normálvektorú $U$ origón átmenő síktól számítható, mint:

$d({\vec {v}},U)={\frac {|{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}|}{\|{\vec {n}}\|}}$,

ahol $\|{\vec {n}}\|$ az ${\vec {n}}$ vektor hossza. Ez a távolság a pontból a síkra bocsátott merőleges pont és sík közötti szakaszának hossza. A ${\vec {p}}$ talppont helyvektora a ${\vec {v}}$ vektor merőleges vetülete az origón átmenő síkra, és számítható, mint:

${\vec {p}}={\vec {v}}-{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {n}}}}\,{\vec {n}}$

Pont tükrözése

Egy ${\vec {v}}$ helyvektorú pont tükörképe egy origón átmenő síkra úgy kapható, hogy a pontból a síkra bocsátott merőleges pont és talppont közötti ${\vec {p}}-{\vec {v}}$ szakaszát megkétszerezzük. Ezzel egy ${\vec {v}}$ vektor ${\vec {w}}$ tükörképe

${\vec {w}}={\vec {v}}+2({\vec {p}}-{\vec {v}})={\vec {v}}-2{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {n}}}}\,{\vec {n}}$

ahol ${\vec {n}}$ ismét az origón átmenő sík normálvektora.

Vektortér struktúra

A háromdimenziós tér vektorainak halmaza vektorteret alkot, az euklideszi teret. Egy origón átmenő síkban levő vektorok az euklideszi tér alterét alkotják:

$U=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\vec {x}}=s{\vec {u}}+t{\vec {v}}~{\text{,}}~s,t\in \mathbb {R} \}=\{{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}=0\}$.

Ez az altér éppen az origón átmenő síkot kifeszítő, egymástól lineárisan független ${\vec {u}}$ és ${\vec {v}}$ vektorok lineáris burka, illetve a sík egy ${\vec {n}}$ normálvektorának lineáris burkának ortogonális komplementere. Az origón átmenő síkok pontosan az euklideszi tér kétdimenziós alterei.

Minden $E$ síkhoz, ami nem tartalmazza az origót, létezik pontosan egy párhuzamos origón átmenő $U$ sík. Ezáltal minden $E$ sík az euklideszi tér affin altere:

$E={\vec {z}}+U=\{{\vec {z}}+{\vec {x}}\mid {\vec {x}}\in U\}$

ahol ${\vec {z}}$ egy $E$-beli pont helyvektora.

Általánosítások

Általánosabban, magasabb dimenzióban is tekinthetők a síkok. Ekkor egy origón átmenő sík az $\mathbb {R} ^{n}$ tér egy kétdimenziós altere. Paraméteres alakja, mint három dimenzióban:

${\vec {x}}=s{\vec {u}}+t{\vec {v}}$   ,   $s,t\in \mathbb {R}$

ahol ${\vec {u}},{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ lineárisan függetlenek. A megfelelő normálegyenlet:

${\vec {n}}\cdot {\vec {x}}=0$

ahol ${\vec {n}}\in \mathbb {R} ^{n}$, origón átmenő hipersíkot definiál, melynek dimenziója $n-1$.

Források

• Kenneth Eriksson, Donald Estep, Claes Johnson. Angewandte Mathematik: Body and Soul 1. Springer (2006) 
• Mike Scherfner, Torsten Volland. Mathematik für das erste Semester. Springer (2012) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ursprungsebene című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.