Origón átmenő sík

Három origón átmenő sík (zölddel, sárgával, szürkével) és egy origón átmenő egyenes (kékkel)

A matematikában az origón átmenő sík egy olyan sík, ami átmegy egy adott Descartes-féle koordináta-rendszer origóján. A koordináta-rendszerben kitüntetettek a koordinátasíkok. A többi síkhoz képest kompaktabb egyenlettel írhatók le, ami egyszerűsíti a metszet- és a távolságszámításokat is. Azok a vektorok, amelyek egy origón átmenő síkban fekszenek, kétdimenziós alteret alkotnak.

Definíció

A koordinátageometriában egy sík a háromdimenziós euklideszi tér pontjainak egy részhalmaza. Egy origón átmenő sík tartalmazza a rögzített Descartes-féle koordináta-rendszer $(0,0,0)$ origóját. Egy origón átmenő sík egyenlete

$ax+by+cz=0$

alakú, ahol $a,b$ és $c$ valós paraméterek, amelyek nem mind nullák.

Vektoriális ábrázolás

Az origón átmenő síkok is ábrázolhatók vektoregyenletekkel, ahol a sík minden pontját ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{3}$ helyvektorával ábrázoljuk. Az egyenlet paraméteres alakja:

${\vec {x}}=s{\vec {u}}+t{\vec {v}}$   ahol   $s,t\in \mathbb {R}$

ahol ${\vec {u}}$ és ${\vec {v}}$ a sík két lineárisan független vektora. Egy origón átmenő sík azokból a pontokból áll, amelyek helyvektorai előállnak két adott vektor lineáris kombinációjaként. A sík egyenletének normálformája háromdimenziós térben:

${\vec {n}}\cdot {\vec {x}}=0$

ahol ${\vec {n}}$ a sík normálvektora, és ${\vec {n}}\cdot {\vec {x}}$ két vektor skalárszorzata. Egy origón átmenő sík azokból a pontokból áll, melyek helyvektorai ortogonálisak az adott normálvektorra. Ha egy origón átmenő sík paraméteres alakban van megadva, akkor egy normálvektora az ${\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}$ vektoriális szorzattal számítható ki.

Példák

Koordinátasíkok három dimenzióban

A legalapvetőbb példák a koordinátasíkok:

$E_{12}\colon ~z=0$   illetve   ${\vec {x}}=s{\vec {e}}_{1}+t{\vec {e}}_{2}$    illetve    ${\vec {e}}_{3}\cdot {\vec {x}}=0$

$E_{13}\colon ~y=0$   illetvde   ${\vec {x}}=s{\vec {e}}_{1}+t{\vec {e}}_{3}$    illetve    ${\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {x}}=0$

$E_{23}\colon ~x=0$   illetve   ${\vec {x}}=s{\vec {e}}_{2}+t{\vec {e}}_{3}$    illetve    ${\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {x}}=0$

ahol ${\vec {e}}_{1}=(1,0,0)$, ${\vec {e}}_{2}=(0,1,0)$ és ${\vec {e}}_{3}=(0,0,1)$ egységvektorok.