Skalárszorzat által indukált norma

Egy skalárszorzat által indukált norma, skalárszorzatos norma, röviden skalárszorzatnorma a matematikában egy olyan norma, mely számítható skalárszorzatból. Véges dimenziós valós vagy komplex skalárszorzatos vektorterekben ez éppen az euklideszi norma. Általában minden prehilberttérben van skalárszorzatból származó norma, amivel a prehilberttér normált tér. Egy norma pontosan akkor származik skalárszorzatból, hogyha teljesíti a paralelogrammaazonosságot. Emellett a skalárszorzatból származó normák teljesítik a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget, és invariánsak az unitér transzformációkra.

Definíció

Ha $V$ vektortér a valós vagy komplex számok ${\mathbb {K} }$ teste felett, ellátva a $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ skalárszorzattal, akkor $(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ skalárszorzatos vektortér. Ekkor egy $v\in V$ vektor normája:

$\|v\|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }}$,

vagyis a vektor önmagával vett skalárszorzatának négyzetgyöke. Ezzel a norma jóldefiniált, mivel a vektorok önmagukkal vett skalárszorzata valós és nemnegatív.

Ezzel a normával $V$ normált tér; sőt, a norma által indukált $d$ metrikával $(V,d)$ metrikus tér, és a ${\mathcal {T}}$ normatopológiával $(V,{\mathcal {T}})$ topologikus tér

Példák

Fontos példák a következők:

• Véges dimenziós vektorterekben az euklideszi norma
• Az ℓ² négyzetesen összegezhető sorozatterekben az ℓ²-norma
• Az L² négyzetesen integrálható függvények terében az L²-norma
• A H^s Szoboljev-térben a Szoboljev-norma
• A Frobenius-norma a mátrixok terén
• A Hilbert–Schmidt-operátorok terén a Hilbert–Schmidt-norma

Tulajdonságai

Háromszög-egyenlőtlenség

A $\|v\|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }}$ skalárszorzat által indukált leképezés norma, tehát teljesíti a definitséget, az abszolút homogenitást és a háromszög-egyenlőtlenséget.

Normaaxiómák

A három normaaxióma a definitség, az abszolút homogenitás és a háromszög-egyenlőtlenség.

A definitség következik a négyzetgyökvonás nullhelyének egyértelműségéből minden $v\in V$ vektorra:

$\|v\|=0\;\Leftrightarrow \;{\sqrt {\langle v,v\rangle }}=0\;\Rightarrow \;\langle v,v\rangle =0\;\Leftrightarrow \;v=0$,

az abszolút homogenitás $v\in V$ és $\alpha \in \mathbb {K}$ esetén:

$\|\alpha v\|^{2}=\langle \alpha v,\alpha v\rangle ={\bar {\alpha }}\alpha \langle v,v\rangle =|\alpha |^{2}\|v\|^{2}$

és a háromszög-egyenlőtlenség minden $v,w\in V$-re a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségből:

${\begin{aligned}\|v+w\|^{2}&=\langle v+w,v+w\rangle =\langle v,v\rangle +\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle +\langle w,w\rangle =\|v\|^{2}+\langle v,w\rangle +{\overline {\langle v,w\rangle }}+\|w\|^{2}\\&=\|v\|^{2}+2\operatorname {Re} \langle v,w\rangle +\|w\|^{2}\leq \|v\|^{2}+2\,\|v\|\,\|w\|+\|w\|^{2}=\left(\|v\|+\|w\|\right)^{2}\,,\end{aligned}}$

ahol $\operatorname {Re}$ a komplex szám valós része, és a két utolsó lépésben négyzetgyököt kell vonni.

Paralelogrammaazonosság

Paralelogrammaazonosság

A skalárszorzatból származó norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot:

$\|v+w\|^{2}+\|v-w\|^{2}=2(\|v\|^{2}+\|w\|^{2})$

minden $v,w\in V$ vektorra. Megfordítva a Jordan–Neumann-tétel szerint, ha egy $\|\cdot \|$ norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot, akkor van skalárszorzat, ami indukálja. A skalárszorzat a polarizációs formulával számítható, valós esetben:

$\langle v,w\rangle ={\frac {1}{4}}(\|v+w\|^{2}-\|v-w\|^{2})$.

Unitér invariancia

Egy skalárszorzatból származó norma invariáns az unitér transzformációkra. Ha $U\colon V\rightarrow W$ unitér transzformációja a $V$ vektortérnek egy $W$ skalárszorzatos vektortérbe, a hozzá tartozó normával, akkor

$\|Uv\|=\|v\|$,

mivel

$\|Uv\|^{2}=\langle Uv,Uv\rangle =\langle U^{\ast }Uv,v\rangle =\langle v,v\rangle =\|v\|^{2}$

közvetlen következménye, ahol $U^{\ast }$ az $U$-hoz adjungált operátor. Egy unitér transzformáció tehát nem változtatja a vektor normájának értékét. Véges dimenziós esetben ezek a nullvektor körüli forgatások.

Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenség

A skalárszorzatból származó norma teljesíti a Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenséget:

$\left|\langle v,w\rangle \right|\leq \|v\|\,\|w\|$,

ahol az egyenlőség pontosan azt jelenti, hogy a $v$, $w$ lineárisan összefüggnek. A Cauchy–Schwarz-egyenlőtlenségből azonnan adódik, hogy:

${\frac {\langle v,w\rangle }{\|v\|\,\|w\|}}\leq 1$,

amiből két valós vektor közötti $\varphi$ szög meghatározható:

$\cos(\varphi )={\frac {\langle v,w\rangle }{\|v\|\,\|w\|}}$

Eszerint a szög mindig $[0,\pi ]$-be esik, vagyis $0^{\circ }$ és $180^{\circ }$ közé. Komplex vektorok szögére különböző definíciók vannak, köztük olyanok is, melyeknél a szög mindig valós.

Pitagorasz-tétel

Általában két vektor, $v,w\in V$ ortogonális, ha $\langle v,w\rangle =0$. Ortogonális vektorok esetén a Pitagorasz-tétel:

$\|v+w\|^{2}=\|v\|^{2}+\|w\|^{2}$,

ami közvetlenül adódik a háromszög-egyenlőtlenség levezetésének első részéből. A Pitagorasz-tétel kibővíthető véges sok, páronként ortogonális $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ vektorokra:

$\|v_{1}+\dotsb +v_{n}\|^{2}=\|v_{1}\|^{2}+\dotsb +\|v_{n}\|^{2}$.

Hilbert-terekben végtelen sorösszegre a Parseval-formula a megfelelője.

Általánosítás

Ha a skalárszorzat definitsége helyett csak pozitív szemidefinitséget írunk elő, akkor a skalárszorzat félnormát indukál. Minden $(\cdot ,\cdot )\colon V\times V\rightarrow {\mathbb {K} }$ pozitív szemidefinit Hermit-féle szeszkvilineáris alak, valós esetben szimmetrikus bilineáris alak minden $v\in V$-re

$p(v)={\sqrt {(v,v)}}$

félnorma. Ezzel a félnormával $(V,p)$ félnormált tér, ami azonban nem metrikus tér általában. Maradékosztály-képzéssel származtatható belőle norma, így normált tér, ami metrikus és topologikus tér is.

Például a véletlen valószínűségi változók terében a kovariancia bilineáris alak, és a véletlen valószínűségi változók terén skalárszorzatot ad azon a faktortéren, melyben azonosnak tekintik azokat a valószínűségi változókat, amelyek egymás konstansai. Ekkor a valószínűségi változók normája egyenlő a valószínűségi változó szórásával.

Források

• Herbert Amann, Joachim Escher. Analysis I. Basel: Birkhäuser (2006. augusztus 17.) 
• Albrecht Beutelspacher. Lineare Algebra, 6., Vieweg (2003. augusztus 17.) 
• Bronstein et al.. Taschenbuch der Mathematik, 7., Harri Deutsch (2008. augusztus 17.) 
• Harro Heuser. Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. Vieweg (2006. augusztus 17.) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Skalarproduktnorm című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.