Ugrás a tartalomhoz

Polarizációs formula

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A lineáris algebrában a polarizációs formulával egy szimmetrikus bilineáris forma, illetve egy hermitikus szeszkvilineáris forma ábrázolható a hozzájuk tartozó kvadratikus alak segítségével.

Alkalmazásának egy fontos esete a skalárszorzat és az általa indukált norma kapcsolata. Egy skalárszorzatos vektortérben az indukált norma számítása . A polarizációs formulával a skalárszorzat kiszámítható az általa indukált normából, ha a norma skalárszorzatból származik. A norma akkor származik skalárszorzatból, ha teljesíti a paralelogrammaazonosságot.

Valós eset

[szerkesztés]

Legyen vektortér az valós számok teste fölött, és legyen szimmetrikus bilineáris forma, azaz

minden , esetén. A hozzá tartozó kvadratikus alak

Megfordítva, az kvadratikus alak is meghatározza a hozzá tartozó szimmetrikus bilineáris formát. Ezt a kapcsolatot a polarizációs formula fejezi ki:

Ez nem teljesül minden bilineáris formára, tehát a nem szimmetrikus esetekben nem. Legyenek mátrixok, és legyenek bilineáris formák úgy, hogy

Ekkor és különböznek, de ugyanazt a kvadratikus alakot határozzák meg.

Komplex eset

[szerkesztés]

Legyen vektortér a komplex számok teste fölött, és legyen szeszkvilineáris forma. A hozzá tartozó kvadratikus alak a valós esethez hasonlóan

A szeszkvilineáris formát is meghatározza kvadratikus alakja. A polarizációs formula komplex esetben:

ha első argumentumában szemilineáris, és

ha második argumentumában szemilineáris.

Források

[szerkesztés]

Fordítás

[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Polarisationsformel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.