Polarizációs formula

A lineáris algebrában a polarizációs formulával egy szimmetrikus bilineáris forma, illetve egy hermitikus szeszkvilineáris forma ábrázolható a hozzájuk tartozó kvadratikus alak segítségével.

Alkalmazásának egy fontos esete a skalárszorzat és az általa indukált norma kapcsolata. Egy skalárszorzatos vektortérben az indukált norma számítása $\|v\|={\sqrt {\langle v,\,v\rangle }}$. A polarizációs formulával a skalárszorzat kiszámítható az általa indukált normából, ha a norma skalárszorzatból származik. A norma akkor származik skalárszorzatból, ha teljesíti a paralelogrammaazonosságot.

Valós eset

Legyen $V$ vektortér az $\mathbb {R}$ valós számok teste fölött, és legyen $\alpha \colon V\times V\to \mathbb {R}$ szimmetrikus bilineáris forma, azaz

${\begin{aligned}\alpha (v_{1}+v_{2},w)&=\alpha (v_{1},w)+\alpha (v_{2},w)\\\alpha (c\cdot v,w)&=c\cdot \alpha (v,w){\text{ s }}\\\alpha (v,w)&=\alpha (w,v)\end{aligned}}$

minden $v,v_{1},v_{2},w\in V$, $c\in \mathbb {R}$ esetén. A hozzá tartozó $q\colon V\to \mathbb {R}$ kvadratikus alak

$q(v):=\alpha (v,v),\;v\in V.$

Megfordítva, az $\alpha$ kvadratikus alak is meghatározza a hozzá tartozó szimmetrikus bilineáris formát. Ezt a kapcsolatot a polarizációs formula fejezi ki:

${\begin{aligned}\alpha (v,w)&={\frac {1}{2}}\left(q(v+w)-q(v)-q(w)\right),\quad v,w\in V\\&={\frac {1}{2}}\left(q(v)+q(w)-q(v-w)\right),\quad v,w\in V\\&={\frac {1}{4}}\left(q(v+w)-q(v-w)\right),\quad v,w\in V.\end{aligned}}$

Ez nem teljesül minden bilineáris formára, tehát a nem szimmetrikus esetekben nem. Legyenek $A:={\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}\quad {\text{s}}\quad B:={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ mátrixok, és legyenek $\alpha ,\beta \colon \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ bilineáris formák úgy, hogy

$\alpha (v,w):=v^{T}Aw\quad {\text{s}}\quad \beta (v,w):=v^{T}Bw,\quad v,w\in \mathbb {R} ^{2}.$

Ekkor $\alpha$ és $\beta$ különböznek, de ugyanazt a kvadratikus alakot határozzák meg.

Komplex eset

Legyen $V$ vektortér a $\mathbb {C}$ komplex számok teste fölött, és legyen $\alpha \colon V\times V\to \mathbb {C}$ szeszkvilineáris forma. A hozzá tartozó $q\colon V\to \mathbb {C}$ kvadratikus alak a valós esethez hasonlóan

$q(v):=\alpha (v,v),\;v\in V.$

A szeszkvilineáris formát is meghatározza kvadratikus alakja. A polarizációs formula komplex esetben:

$\alpha (v,w)={\frac {1}{4}}\left(q(v+w)-q(v-w)\right)-{\frac {i}{4}}\left(q(v+iw)-q(v-iw)\right),\quad v,w\in V,$

ha $\alpha$ első argumentumában szemilineáris, és

$\alpha (v,w)={\frac {1}{4}}\left(q(v+w)-q(v-w)\right)+{\frac {i}{4}}\left(q(v+iw)-q(v-iw)\right),\quad v,w\in V,$

ha $\alpha$ második argumentumában szemilineáris.

Források

• Oswald Riemenschneider: Lineare Algebra und Analytische Geometrie (pdf; 809 kB)- Vorlesungsskript, Uni Hamburg 2005, S. 82
• Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen. Berlin: Springer Spektrum (2018). ISBN 978-3-662-55599-6/hbk 978-3-662-55600-9/ebook

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Polarisationsformel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.