Szeszkvilineáris forma

Egy szeszkvilineáris forma a lineáris algebrában egy kétváltozós függvény, ami két vektorhoz hozzárendel egy skalárt, úgy, hogy az egyik változójában lineáris, a másikban szemilineáris. Az elnevezés a latin sesqui szóból származik, melynek jelentése másfél. Egy klasszikus példa a $f\colon \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C}$ komplex standard skalárszorzat:

$f((v_{1},\ldots ,v_{n}),(w_{1},\ldots ,w_{n}))={\overline {v}}_{1}w_{1}+\ldots +{\overline {v}}_{n}w_{n}$

ahol a felülvonás a komplex konjugálást jelenti.

A két argumentum származhat két különböző $V,W$ vektortérből, azonban ezeknek egy közös $K$ test fölöttinek kell lenniük. Egy $f\colon V\times W\to K$ szeszkvilineáris forma lineáris forma az egyik, és szemilineáris a másik argumentumban. Két konvenció él, melyek nem értenek egyet abban, hogy melyik argumentum a lineáris, és melyik a szemilineáris. A fizikában mindig az első argumentum szemilineáris.

Valós számok fölött a szeszkvilineáris forma egybeesik a bilineáris formával.

Definíció

Legyenek $V,W$ komplex vektorterek. Egy $S\colon V\times W\to \mathbb {C} ,\quad (v,w)\mapsto S(v,w)=\langle v,w\rangle$ leképezés szeszkvilineáris forma, ha szemilineáris az első argumentumában, és lineáris a másodikban, vagyis

• $\langle v_{1}+v_{2},w\rangle =\langle v_{1},w\rangle +\langle v_{2},w\rangle$
• $\langle \lambda v,w\rangle ={\overline {\lambda }}\;\langle v,w\rangle ;$

és

• $\langle v,w_{1}+w_{2}\rangle =\langle v,w_{1}\rangle +\langle v,w_{2}\rangle$
• $\langle v,\lambda w\rangle =\lambda \,\langle v,w\rangle .$

ahol $v,v_{1},v_{2}\in V$, $w,w_{1},w_{2}\in W$ és $\lambda \in \mathbb {C}$.

Néha ehelyett az első argumentumban írnak elő linearitást és a másikban szemilinearitást, ez a megkülönböztetés azonban csak formális jellegű.

Ez a definíció kiterjeszthető más testekre és modulusokra is, amennyiben az adott test vagy gyűrű bír egy kitüntetett $\lambda \mapsto {\overline {\lambda }}$ automorfizmussal vagy endomorfizmussal. Pozitív karakterisztikájú testekben ez a Frobenius-homomorfizmus.

A konstans nulla leképezés $S=0$ szeszkvilineáris forma. Szeszkvilineáris formák pontonkénti összege és pontonkénti skalárszorosa szintén szeszkvilineáris forma. Így a szeszkvilineáris formák komplex vektorteret alkotnak.

Hermitikus szeszkvilineáris forma

Egy $S\colon V\times V\to \mathbb {C}$ szeszkvilineáris forma hermitikus, ha

$S(v,w)={\overline {S(w,v)}}$

Ez a definíció analóg a szimmetrikus bilineáris formához. Az elnevezés Charles Hermite nevét őrzi.

Példák

Egy komplex vektortérben egy bázis szerinti standard skalárszorzat hermitikus szeszkvilineáris forma. Lásd még: Klein-tér.

Polarizáció

Állítás

Egy fontos képlet a polarizációs formula:

${\begin{aligned}4\cdot S(y,x)&=\sum _{k=0}^{3}\mathrm {i} ^{k}S(x+\mathrm {i} ^{k}y,x+\mathrm {i} ^{k}y)\\&=S(x+y,x+y)+\mathrm {i} S(x+\mathrm {i} y,x+\mathrm {i} y)-S(x-y,x-y)-\mathrm {i} S(x-\mathrm {i} y,x-\mathrm {i} y),\end{aligned}}$

ami azt mutatja, hogy egy szeszkvilineáris formát meghatározza az átlója, vagyis az $\langle \xi ,\xi \rangle$ értékei. Ez csak a szeszkvilineáris formára vonatkozik, bilineáris formákra nem igaz.

Speciális eset

A polarizációs formula közvetlen következménye, hogy $S$ pontosan akkor tűnik el, hogyha $S(x,x)=0$ minden $x$-re.

Másként, ha $S(x,y),T(x,y)$ szeszkvilineáris formák, és $S(x,x)=T(x,x)$ minden $x$-re, akkor $(S-T)(x,x)=0$, azaz $S=T$.

Ellenpélda

Bilineáris esetben a polarizációs formula nem teljesül. Ezt a következő példa mutatja: Legyen $V=W\cong \mathbb {R} ^{2}$, és legyen :$S(x,y):=x^{T}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}y=-x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}$. $S$ nyilván bilineáris, és $S(x,x)=-x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}=0$ minden $x\in \mathbb {R} ^{2}$-re. Másrészt $S((1,0),(0,1))=1$.

Következmény

Legyen $({\mathcal {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ Hilbert-tér, és legyen $T$ korlátos lineáris operátor. Ekkor $S(x,y):=\langle Tx,y\rangle$ korlátos szeszkvilineáris forma, ahol a korlátosság azt jelenti, hogy $|S(x,y)|\leq C\|x\|\cdot \|y\|$ (itt $C=\|T\|$). Másrészt a Fréchet–Riesz reprezentációs tételből következően minden korlátos szeszkvilineáris forma meghatároz egy korlátos $T$ operátort, úgy, hogy $S(x,y)=\langle Tx,y\rangle$ minden $x,y\in {\mathcal {H}}$-ra.

Speciálisan, $S$ pontosan akkor tűnik el, ha $T$ is eltűnik. Ha ugyanis $S=0$, akkor $\|Tx\|^{2}=S(x,Tx)=0$ minden $x\in {\mathcal {H}}$-ra, tehát $T=0$. A megfordítás közvetlenül adódik $S$ definíciójából.

A polarizációs formulából az is adódik, hogy az operátor pontosan akkor nulla, ha $\langle Tx,x\rangle =0$ minden $x$-re. Ez azonban csak a komplex számok fölött igaz. Valós számok fölött még azt is ki kell kötni, hogy $T$ önadjungált.

Általánosítás

A szeszkvilineáris forma modulusokra is kiterjeszthető, amennyiben van a nem feltétlenül kommutatív alapgyűrűnek antiautomorfizmusa. Legyenek $M,N$ modulusok ugyanazon $R$ gyűrű fölött, és legyen $\theta$ antiautomorfizmus $R$-en! Ekkor egy $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon M\times N\to R$ leképezés $\theta$-szeszkvilineáris forma, ha testszőleges $m,m_{1},m_{2}\in M$, $n,n_{1},n_{2}\in N$ és $\lambda \in R$ esetén teljesülnek a következő feltételek:

• $\langle m_{1}+m_{2},n\rangle =\langle m_{1},n\rangle +\langle m_{2},n\rangle$
• $\langle m,n_{1}+n_{2}\rangle =\langle m,n_{1}\rangle +\langle m,n_{2}\rangle$
• $\langle \lambda m,n\rangle =\lambda \langle m,n\rangle$
• $\langle m,\lambda n\rangle =\langle m,n\rangle \theta (\lambda )$

Forrás

• Siegfried Bosch. Lineare Algebra, 3., Heidelberg: Springer-Lehrbuch, 245–248. o. (2006) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Sesquilinearform című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.