Bilineáris forma

Egy bilineáris forma a lineáris algebrában egy kétváltozós függvény, ami két vektorhoz egy skalárt rendel, és mindkét változójában lineáris. A változók származhatnak közös $K$ test fölötti különböző $V,W$ vektorterekből. Egy bilineáris forma egy $B\colon V\times W\to K$ leképezés. Egy bilineáris forma mindkét változójában lineáris forma, ezért egy kétváltozós multilineáris forma.

Definíció

Legyenek $V,W$ vektorterek ugyanazon $K$ test fölött. Általánosabban, legyen $V$ balmodulus és $W$ jobbmodulus ugyanazon gyűrű fölött.

Egy

$B\colon V\times W\to K,\quad (v,w)\mapsto B(v,w)=\langle v,w\rangle$

leképezés bilineáris forma, hogyha mindkét változójában lineáris, ami azt jelenti, hogy

• $\langle v_{1}+v_{2},w\rangle =\langle v_{1},w\rangle +\langle v_{2},w\rangle$,
• $\langle v,w_{1}+w_{2}\rangle =\langle v,w_{1}\rangle +\langle v,w_{2}\rangle$,
• $\langle \lambda v,w\rangle =\lambda \langle v,w\rangle$,
• $\langle v,w\lambda \rangle =\langle v,w\rangle \lambda$.

ahol $v,v_{1},v_{2}\in V$, $w,w_{1},w_{2}\in W$ és $\lambda \in K$.

Szimmetriatulajdonságok V = W esetén

Egy $B\colon V\times V\to K$ lineáris formának a következő szimmetriatulajdonságai lehetnek:

Egy $B$ bilineáris forma szimmetrikus, ha

$B(x,y)=B(y,x)$

minden $x,y\in V$-re.

A szimmetrikus bilineáris formulák esetén teljesül a $2\cdot B(x,y)=B(x+y,x+y)-B(x,x)-B(y,y)$ polarizációs formula. Innen következik, hogy a szimmetrikus bilineáris formát egyértelműen meghatározzák a $B(x,x),x\in V$ értékei, ha a skalártest karakterisztikája 2-től különböző, $(\operatorname {char} (K)\neq 2)$.

Egy $B$ bilineáris forma alternáló, ha

$B(x,x)=0$

minden $x\in V$-re.

Egy $B$ bilineáris forma antiszimmetrikus vagy ferdén szimmetrikus, ha

$B(x,y)=-B(y,x)$

minden $x,y\in V$-re.

Minden alternáló bilineáris forma ferdén szimmetrikus. Ha $\operatorname {char} (K)\neq 2$, például $K=\mathbb {R}$ és $K=\mathbb {C}$ esetén, akkor a megfordítás is teljesül: Minden antiszimmetrikus bilineáris forma alternáló. Általánosabban, kommutatív gyűrű fölötti modulusok esetén is ekvivalens a két tulajdonság, feltéve, ha a célmodulusnak nincs 2-torziója.

Példák

• Valós vektortéren értelmezett skalárszorzat egy nem elfajuló, szimmetrikus pozitív definit bilineáris forma.
• Egy komplex $V$ vektortéren értelmezett skalárszorzat nem bilineáris forma, hanem szeszkvilineáris forma. Ha a $V$ teret valós térként fogjuk fel, akkor

$V\times V\to \mathbb {R} ,\quad (x,y)\mapsto \operatorname {Re} B(x,y)$ szimmetrikus bilineáris forma és

$V\times V\to \mathbb {R} ,\quad (x,y)\mapsto \operatorname {Im} B(x,y)$ alternáló bilineáris forma.

• Kanonikus nem elfajuló bilineáris forma:

$V\times V^{*}\to K,\quad (v,f)\mapsto \langle v,f\rangle =f(v).$

Elfajulási tér

Az elfajulási tér definíciója

Legyen $B\colon V\times W\to K$ bilineáris forma. Ekkor az

$^{\perp }W\colon =\left\{v\mid \forall w\in W\colon B(v,w)=0\right\}\subseteq V$

halmaz altér $V$-ben; ez a bilineáris forma balmagja vagy balradikálja. A $^{\perp }W$ szimbólum azt jelenti, hogy a balmag elemei pontosan azok, amelyek a bilineáris forma értelmében ortogonálisak a teljes $W$ térre.

Analóg módon,

$V^{\perp }\colon =\left\{w\mid \forall v\in V\colon B(v,w)=0\right\}\subseteq W$

a jobbmag vagy jobbradikális. Ha a $B\colon V\times V\to K$ bilineáris forma szimmetrikus, akkor a bal- és a jobbmag egybeesik, és ez az altér $B$ elfajulási tere.

Az $R^{\perp }$ és $^{\perp }S$ írásmódok analóg definícióval használhatók az $R\subseteq V$ illetve $S\subseteq W$ részhalmazokra.

Nem elfajuló bilineáris formák

Minden $B$ lineáris forma definiál két lineáris leképezést:

$B_{l}\colon V\to W^{*},\quad v\mapsto \left(w\mapsto B(v,w)\right)$

és

$B_{r}\colon W\to V^{*},\quad w\mapsto \left(v\mapsto B(v,w)\right).$

A jobb- és a balmag ezeknek a leképezéseknek a magja:

$\ker B_{l}={}^{\perp }W$

$\ker B_{r}=V^{\perp }$

Ha mindkét mag triviális, azaz $B_{l}$ és $B_{r}$ is injektív, akkor a bilineáris forma nem elfajuló. Ha ez nem teljesül, akkor a bilineáris forma elfajuló. Ha a $B_{l}$ és $B_{r}$ leképezések bijektívek, azaz izomorfizusok, akkor a bilineáris forma tökéletes párosítás. Véges dimenzióban ezek ekvivalensek, tehát a nem elfajuló és a tökéletes párosítás egymás szinonimájaként használható.

Így egy bilineáris forma nem elfajult, ha teljesülnek a következők:

• Minden $v\in V\setminus \{0\}$ vektorhoz létezik egy $w\in W$ vektor úgy, hogy $B(v,w)\neq 0$.
• Minden $w\in W\setminus \{0\}$ vektorhoz létezik egy $v\in V$ vektor úgy, hogy $B(v,w)\neq 0.$

Ha egy bilineáris forma szimmetrikus, akkor pontosan akkor nem elfajuló, ha elfajulási tere a nullvektortér.

Koordinátaábrázolás

Véges dimenziós $V,W,$ vektorterekben jelölje a megfelelő dimenziókat $\dim(V)=n,\dim(W)=m$. Ekkor a tereknek van rendre egy-egy $\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ és $\{f_{1},\ldots ,f_{m}\}$ bázisa.

Egy $B\colon V\times W\to K$ bilineáris forma erre a bázisra vonatkozóan ábrázolható $M_{B}\in K^{n\times m}$ mátrixszal úgy, hogy

${(M_{B})}_{ij}:=B(e_{i},f_{j})$.

Ha $x$ és $y$ rendre az $v\in V$ és $w\in W$ vektorok koordinátavektorai, vagyis :$v=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\;w=\sum _{j=1}^{m}y_{j}f_{j},\quad$, akkor

$B(v,w)=x^{T}M_{B}\,y={\begin{pmatrix}x_{1}\dots x_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B(e_{1},f_{1})&\cdots &B(e_{1},f_{m})\\\vdots &\ddots &\vdots \\B(e_{n},f_{1})&\dots &B(e_{n},f_{m})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}$,

ahol a mátrixszorzás eredménye egy $1\times 1$-es mátrix, tehát egy skalár.

Megfordítva, ha $M$ tetszőleges $n\times m$-es mátrix, akkor

$B_{M}(v,w):=x^{T}M\,y$

egy $B_{M}\colon V\times W\to K$-bilineáris forma.

Bázisváltás

Legyenek $e'$ és $f'$ rendre további bázisok $V$-ben és $W$-ben, illetve legyen ${}_{e'}{\mathbf {1} }_{e}$ az $e$ bázisról $e'$ bázisra áttérés mátrixa. Ekkor $B$ mátrixa az új bázisban

$A'={}_{e}{\mathbf {1} }_{e'}^{T}\cdot A\cdot {}_{f}{\mathbf {1} }_{f'}$.

Ha $V=W$, $e=f$ és $e'=f'$, akkor $A$ és $A'$ hasonló mátrixok.

Példák, tulajdonságok

• $\mathbb {R} ^{n}$-ben a standardbázisban a skaláris szorzás mátrixa az egységmátrix.
• Ha $V=W$, és $V$ és $W$ ugyanazt a bázist használja, akkor teljesülnek a következők:

• A mátrix pontosan akkor szimmetrikus, ha a bilineáris forma szimmetrikus
• A mátrix pontosan akkor ferdén szimmetrikus, ha a bilineáris forma antiszimmetrikus
• A mátrix pontosan akkor alternáló, ha a bilineáris forma alternáló.

• A $B\mapsto M_{B}$ leképezés bijekció a bilineáris formák $V\times W\to K$ tere és a $n\times m$-$K$ mátrixok között. Ha kanonikus módon definiáljuk az összeadást és skalárral szorzást a bilineáris formákon: $(\lambda B_{1}+B_{2})(v,w):=\lambda B_{1}(v,w)+B_{2}(v,w)$, akkor ez a bijekció vektortérizomorfizmus is.
• Véges dimenziós vektorterekben a szimmetrikus bilineáris formákhoz van olyan bázis, amiben mátrixuk diagonális, feltéve, hogy $\operatorname {char} (K)\neq 2$. Pozitív definit bilineáris formák esetén ilyen bázis található a Gram–Schmidt ortogonalizációval.
• Ha $K=\mathbb {R}$, akkor található olyan bázis, ahol az átlón csak az 1, -1 és a 0 értékek szerepelnek. Ez Sylvester tehetetlenségi tétele.

További megjegyzések

• A $V\times W\to K$ bilineáris formák megfeleltethetők $V\otimes W\to K$ lineáris leképezéseknek; lásd tenzorszorzat.
• Ha egy leképezés nem a $K$ alaptestbe megy, hanem szintén egy vektortérbe, akkor a leképezés bilineáris leképezés.
• A bilineáris forma általánosítása több változóra multilineáris forma.
• Komplex számok fölött kevésbé a bilineáris formák jelentősek. Ott a szeszkvilineáris formák töltik be ugyanazt a szerepet,

mint valós test fölött a bilineáris formák. A skaláris szorzást is szeszkvilineáris formával értelmezik.

Forrás

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Bilinearform című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.