Bilineáris forma
Egy bilineáris forma a lineáris algebrában egy kétváltozós függvény, ami két vektorhoz egy skalárt rendel, és mindkét változójában lineáris. A változók származhatnak közös test fölötti különböző vektorterekből. Egy bilineáris forma egy leképezés. Egy bilineáris forma mindkét változójában lineáris forma, ezért egy kétváltozós multilineáris forma.
Definíció
[szerkesztés]Legyenek vektorterek ugyanazon test fölött. Általánosabban, legyen balmodulus és jobbmodulus ugyanazon gyűrű fölött.
Egy
leképezés bilineáris forma, hogyha mindkét változójában lineáris, ami azt jelenti, hogy
- ,
- ,
- ,
- .
ahol , és .
Szimmetriatulajdonságok V = W esetén
[szerkesztés]Egy lineáris formának a következő szimmetriatulajdonságai lehetnek:
Egy bilineáris forma szimmetrikus, ha
- minden -re.
- A szimmetrikus bilineáris formulák esetén teljesül a polarizációs formula. Innen következik, hogy a szimmetrikus bilineáris formát egyértelműen meghatározzák a értékei, ha a skalártest karakterisztikája 2-től különböző, .
Egy bilineáris forma alternáló, ha
- minden -re.
Egy bilineáris forma antiszimmetrikus vagy ferdén szimmetrikus, ha
minden -re.
Minden alternáló bilineáris forma ferdén szimmetrikus. Ha , például és esetén, akkor a megfordítás is teljesül: Minden antiszimmetrikus bilineáris forma alternáló. Általánosabban, kommutatív gyűrű fölötti modulusok esetén is ekvivalens a két tulajdonság, feltéve, ha a célmodulusnak nincs 2-torziója.
Példák
[szerkesztés]- Valós vektortéren értelmezett skalárszorzat egy nem elfajuló, szimmetrikus pozitív definit bilineáris forma.
- Egy komplex vektortéren értelmezett skalárszorzat nem bilineáris forma, hanem szeszkvilineáris forma. Ha a teret valós térként fogjuk fel, akkor
- szimmetrikus bilineáris forma és
- alternáló bilineáris forma.
- Kanonikus nem elfajuló bilineáris forma:
Elfajulási tér
[szerkesztés]Az elfajulási tér definíciója
[szerkesztés]Legyen bilineáris forma. Ekkor az
halmaz altér -ben; ez a bilineáris forma balmagja vagy balradikálja. A szimbólum azt jelenti, hogy a balmag elemei pontosan azok, amelyek a bilineáris forma értelmében ortogonálisak a teljes térre.
Analóg módon,
a jobbmag vagy jobbradikális. Ha a bilineáris forma szimmetrikus, akkor a bal- és a jobbmag egybeesik, és ez az altér elfajulási tere.
Az és írásmódok analóg definícióval használhatók az illetve részhalmazokra.
Nem elfajuló bilineáris formák
[szerkesztés]Minden lineáris forma definiál két lineáris leképezést:
és
A jobb- és a balmag ezeknek a leképezéseknek a magja:
Ha mindkét mag triviális, azaz és is injektív, akkor a bilineáris forma nem elfajuló. Ha ez nem teljesül, akkor a bilineáris forma elfajuló. Ha a és leképezések bijektívek, azaz izomorfizusok, akkor a bilineáris forma tökéletes párosítás. Véges dimenzióban ezek ekvivalensek, tehát a nem elfajuló és a tökéletes párosítás egymás szinonimájaként használható.
Így egy bilineáris forma nem elfajult, ha teljesülnek a következők:
- Minden vektorhoz létezik egy vektor úgy, hogy .
- Minden vektorhoz létezik egy vektor úgy, hogy
Ha egy bilineáris forma szimmetrikus, akkor pontosan akkor nem elfajuló, ha elfajulási tere a nullvektortér.
Koordinátaábrázolás
[szerkesztés]Véges dimenziós vektorterekben jelölje a megfelelő dimenziókat . Ekkor a tereknek van rendre egy-egy és bázisa.
Egy bilineáris forma erre a bázisra vonatkozóan ábrázolható mátrixszal úgy, hogy
- .
Ha és rendre az és vektorok koordinátavektorai, vagyis :, akkor
- ,
ahol a mátrixszorzás eredménye egy -es mátrix, tehát egy skalár.
Megfordítva, ha tetszőleges -es mátrix, akkor
egy -bilineáris forma.
Bázisváltás
[szerkesztés]Legyenek és rendre további bázisok -ben és -ben, illetve legyen az bázisról bázisra áttérés mátrixa. Ekkor mátrixa az új bázisban
- .
Ha , és , akkor és hasonló mátrixok.
Példák, tulajdonságok
[szerkesztés]- -ben a standardbázisban a skaláris szorzás mátrixa az egységmátrix.
- Ha , és és ugyanazt a bázist használja, akkor teljesülnek a következők:
- A mátrix pontosan akkor szimmetrikus, ha a bilineáris forma szimmetrikus
- A mátrix pontosan akkor ferdén szimmetrikus, ha a bilineáris forma antiszimmetrikus
- A mátrix pontosan akkor alternáló, ha a bilineáris forma alternáló.
- A leképezés bijekció a bilineáris formák tere és a - mátrixok között. Ha kanonikus módon definiáljuk az összeadást és skalárral szorzást a bilineáris formákon: , akkor ez a bijekció vektortérizomorfizmus is.
- Véges dimenziós vektorterekben a szimmetrikus bilineáris formákhoz van olyan bázis, amiben mátrixuk diagonális, feltéve, hogy . Pozitív definit bilineáris formák esetén ilyen bázis található a Gram–Schmidt ortogonalizációval.
- Ha , akkor található olyan bázis, ahol az átlón csak az 1, -1 és a 0 értékek szerepelnek. Ez Sylvester tehetetlenségi tétele.
További megjegyzések
[szerkesztés]- A bilineáris formák megfeleltethetők lineáris leképezéseknek; lásd tenzorszorzat.
- Ha egy leképezés nem a alaptestbe megy, hanem szintén egy vektortérbe, akkor a leképezés bilineáris leképezés.
- A bilineáris forma általánosítása több változóra multilineáris forma.
- Komplex számok fölött kevésbé a bilineáris formák jelentősek. Ott a szeszkvilineáris formák töltik be ugyanazt a szerepet,
mint valós test fölött a bilineáris formák. A skaláris szorzást is szeszkvilineáris formával értelmezik.
Forrás
[szerkesztés]- Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0
Fordítás
[szerkesztés]Ez a szócikk részben vagy egészben a Bilinearform című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.