Ugrás a tartalomhoz

Multilineáris forma

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A lineáris algebrában egy -multilineáris forma egy aritású függvény, ahol a változók vektorok az ugyanazon test fölötti vektorterekből, és a függvény értéke skalár a testből; továbbá minden változójában lineáris. Általánosabb esetben, amikor a képtér egy egynél magasabb dimenziós vektortér, vagy pedig vektorterek helyett modulusokról van szó, akkor multilineáris leképezésről beszélünk.

Definíció

[szerkesztés]

Egy

leképezés multilineáris forma, ha minden és minden esetén teljesülnek a következő feltételek:

Minden esetén

és minden vektorra

.

A multilineáris leképezések halmaza vektortér a test fölött. Ha , akkor .

Alternáló multilineáris formák

[szerkesztés]

Egy multilineáris forma alternáló, ha értéke nulla, valahányszor két argumentuma megegyezik. Azaz

minden vektorra.[1] Az alternáló lineáris formák ferdén szimmetrikusak, ami azt jelenti, hogy tetszőleges két változót felcserélve előjelet vált, vagyis

minden és minden esetén. A megfordítás csak akkor következik, ha a skalártest karakterisztikája 2-től különböző, így például esetén.[1] Általánosabban, ha az indexek permutációja, akkor

,

ahol a permutáció előjele.

Az alternáló multilineáris formák halmaza a vektortér altere. Egy fontos speciális eset a . Ekkor egydimenziós altér, melynek vektorai determinánsfüggvények.

Az összes által generált vektortéren algebra definiálható. Ez az algebra a Graßmann-algebra.

Példák

[szerkesztés]
  • A lineáris formák pontosan az 1-multilineáris formák.
  • A bilineáris formák pontosan a 2-multilineáris formák. Az antiszimmetrikus bilineáris formák alternálók is, ha a skalártest karakterisztikája különbözik 2-től.
  • Ha vektorból négyzetes mátrixot alkotunk, akkor a mátrix determinánsa alternáló, normált -multilineáris forma. Például háromdimenziós vektorok esetén a mátrix determinánsa:

alternáló 3-lineáris forma. A vektorok koordinátákkal ábrázolva:

.

  • A kovariáns tenzorok multilineáris formák, és ha a vektorterek megegyeznek, azaz , akkor a -multilineáris formák -edfokú kovariáns tenzorok. Ekkor a -multilineáris formák teljesen antiszimmetrikus -edfokú tenzorok.
  • Egy differenciálforma egy differenciálható sokaság egy pontjához a hozzátartozó érintőtér egy alternáló multilineáris formáját rendeli.

Lásd még

[szerkesztés]

Forma (algebra)

Jegyzetek

[szerkesztés]

Források

[szerkesztés]

Fordítás

[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Multilinearform című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.