A lineáris algebrában egy -multilineáris forma egy aritású függvény, ahol a változók vektorok az ugyanazon test fölötti vektorterekből, és a függvény értéke skalár a testből; továbbá minden változójában lineáris. Általánosabb esetben, amikor a képtér egy egynél magasabb dimenziós vektortér, vagy pedig vektorterek helyett modulusokról van szó, akkor multilineáris leképezésről beszélünk.
Egy
leképezés multilineáris forma, ha minden és minden esetén teljesülnek a következő feltételek:
Minden esetén
és minden vektorra
- .
A multilineáris leképezések halmaza vektortér a test fölött. Ha , akkor .
Egy multilineáris forma alternáló, ha értéke nulla, valahányszor két argumentuma megegyezik. Azaz
minden vektorra.[1] Az alternáló lineáris formák ferdén szimmetrikusak, ami azt jelenti, hogy tetszőleges két változót felcserélve előjelet vált, vagyis
minden és minden esetén. A megfordítás csak akkor következik, ha a skalártest karakterisztikája 2-től különböző, így például esetén.[1] Általánosabban, ha az indexek permutációja, akkor
- ,
ahol a permutáció előjele.
Az alternáló multilineáris formák halmaza a vektortér altere. Egy fontos speciális eset a . Ekkor egydimenziós altér, melynek vektorai determinánsfüggvények.
Az összes által generált vektortéren algebra definiálható. Ez az algebra a Graßmann-algebra.
- A lineáris formák pontosan az 1-multilineáris formák.
- A bilineáris formák pontosan a 2-multilineáris formák. Az antiszimmetrikus bilineáris formák alternálók is, ha a skalártest karakterisztikája különbözik 2-től.
- Ha vektorból négyzetes mátrixot alkotunk, akkor a mátrix determinánsa alternáló, normált -multilineáris forma. Például háromdimenziós vektorok esetén a mátrix determinánsa:
alternáló 3-lineáris forma. A vektorok koordinátákkal ábrázolva:
.
- A kovariáns tenzorok multilineáris formák, és ha a vektorterek megegyeznek, azaz , akkor a -multilineáris formák -edfokú kovariáns tenzorok. Ekkor a -multilineáris formák teljesen antiszimmetrikus -edfokú tenzorok.
- Egy differenciálforma egy differenciálható sokaság egy pontjához a hozzátartozó érintőtér egy alternáló multilineáris formáját rendeli.
Forma (algebra)
Ez a szócikk részben vagy egészben a Multilinearform című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.