Lineáris forma
Egy lineáris forma a lineáris algebrában egy lineáris leképezés, ami egy vektorteret a skalártestébe képez.
A funkcionálanalízisben topologikus valós vagy komplex vektorterek esetén többnyire folytonos lineáris funkcionálokat tekintenek lineáris formának.
Definíció
[szerkesztés]Legyen test, és legyen vektortér fölött. Egy leképezés lineáris forma, ha minden vektorra és skalárra
- (additivitás);
- (homogenitás).
Egy adott vektortér feletti lineáris formák szintén vektorteret alkotnak annak skalárteste fölött, a vektortér duális vektorterét.
Tulajdonságok
[szerkesztés]A lineáris formák általános tulajdonságai:
- Ahogy a lineáris leképezéseket, úgy a lineáris formákat is meghatározzák az egy bázison felvett értékeik.
- Vagy triviálisak (azonosan ) vagy szürjektívek.
- Ha két lineáris formának ugyanaz a magja, akkor egymás skalárszorosai.
A lineáris funkcionálok speciális jellemzői:
- Pontosan akkor folytonosak, ha magjuk zárt.
- Abszolútértékük félnorma -n.
- A lineáris funkcionálok pontosan azok a leképezések, ahol egy vektor és a standard skalárszorzat.
Lineáris forma, mint tenzor
[szerkesztés]Egy lineáris forma elsőfokú kovariáns tenzor; emiatt néha 1-formának is nevezik. Az 1-formák a differenciálformák bevezetésének alapját alkotják.
Kapcsolódó fogalmak
[szerkesztés]Ha , és a második feltételt arra cseréljük, hogy , ahol a komplex konjugálás, akkor szemilineáris formához jutunk.
Egy többváltozós leképezés, ami minden változójában lineáris vagy szemilineáris, lehet szeszkvilineáris forma, bilineáris forma vagy multilineáris forma.
Források
[szerkesztés][ http://eom.springer.de/L/l059210.htm Linear form. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010]
- Gerd Fischer. Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger, 16., überarbeitete und erweiterte, Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 280–281. o. (2008)
- Harro Heuser. [MR2380292 Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung], 4., Wiesbaden: B. G. Teubner (2006)
- Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert. [MR0366944 Lineare Algebra I]. Berlin (u. a.): Springer Verlag (1974)
- Walter Rudin: Functional Analysis, 2nd Ed., McGraw-Hill Inc., New York, 1991
- Dirk Werner. Funktionalanalysis. 5., erw. Auflage. Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2005)
Fordítás
[szerkesztés]Ez a szócikk részben vagy egészben a Linearform című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.