Lineáris forma

Egy lineáris forma a lineáris algebrában egy lineáris leképezés, ami egy vektorteret a skalártestébe képez.

A funkcionálanalízisben topologikus valós vagy komplex vektorterek esetén többnyire folytonos lineáris funkcionálokat tekintenek lineáris formának.

Definíció

Legyen $K$ test, és legyen $V$ vektortér $K$ fölött. Egy $f\colon V\to K$ leképezés lineáris forma, ha minden $x,y\in V$ vektorra és $\alpha \in K$ skalárra

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ (additivitás);
$f(\alpha x)=\alpha f(x)$ (homogenitás).

Egy adott $V$ vektortér feletti lineáris formák szintén vektorteret alkotnak annak skalárteste fölött, a vektortér $V^{*}$ duális vektorterét.

Tulajdonságok

A lineáris formák általános tulajdonságai:

Ahogy a lineáris leképezéseket, úgy a lineáris formákat is meghatározzák az egy bázison felvett értékeik.
Vagy triviálisak (azonosan $0_{K}$ ) vagy szürjektívek.
Ha két lineáris formának ugyanaz a magja, akkor egymás skalárszorosai.

A lineáris funkcionálok speciális jellemzői:

Pontosan akkor folytonosak, ha magjuk zárt.
Abszolútértékük félnorma $V$ -n.
A $\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K}$ lineáris funkcionálok pontosan azok a $x\mapsto \langle v,x\rangle$ leképezések, ahol $v\in \mathbb {K} ^{n}$ egy vektor és $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ a standard skalárszorzat.

Lineáris forma, mint tenzor

Egy $f$ lineáris forma elsőfokú kovariáns tenzor; emiatt néha 1-formának is nevezik. Az 1-formák a differenciálformák bevezetésének alapját alkotják.

Kapcsolódó fogalmak

Ha $K=\mathbb {C}$ , és a második feltételt arra cseréljük, hogy $f(\alpha x)={\overline {\alpha }}f(x)$ , ahol ${\overline {\alpha }}$ a komplex konjugálás, akkor szemilineáris formához jutunk.

Egy többváltozós leképezés, ami minden változójában lineáris vagy szemilineáris, lehet szeszkvilineáris forma, bilineáris forma vagy multilineáris forma.

Források

[ http://eom.springer.de/L/l059210.htm Linear form. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010]

Gerd Fischer. Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger, 16., überarbeitete und erweiterte, Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 280–281. o. (2008)
Harro Heuser. [MR2380292 Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung], 4., Wiesbaden: B. G. Teubner (2006)
Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert. [MR0366944 Lineare Algebra I]. Berlin (u. a.): Springer Verlag (1974)
Walter Rudin: Functional Analysis, 2nd Ed., McGraw-Hill Inc., New York, 1991
Dirk Werner. Funktionalanalysis. 5., erw. Auflage. Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2005)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Linearform című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.