Ugrás a tartalomhoz

Szemilineáris leképezés

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Szemilineáris forma szócikkből átirányítva)

Egy szemilineáris leképezés a lineáris algebrában egy vektortér leképezése egy másik vektortérbe, aminek ugyanaz a skalárteste. A leképezés egy testautomorfizmus erejéig különbözik a lineáris leképezéstől. Általánosabban, ferdetestek fölötti balvektorterek közötti leképezéseket tekintenek, amelyek ferdetest-monomorfizmus erejéig különböznek egy lineáris leképezéstől.

Minden lineáris leképezés szemilineáris. Megfordítva, egy test fölötti vektortér vagy balvektortér minden szemilineáris leképezése lineáris, ha a test merev, azaz nincs az identitástól eltérő automorfizmusa. Ilyenek például a valós számok mellett a prímtestek, a valósan zárt testek és az euklideszi testek. Egy szemilineáris forma egy vektortér szemilineáris leképezése skalártestébe, mint egydimenziós vektortérbe; vagy általánosabban, egy balvektortér szemilineáris leképezése skalárferdetestébe.

Rögzített bázis esetén egy szemilineáris leképezés egyértelműen felbontható egy lineáris leképezés és egy összes koordinátára elvégzett testautomorfizmus egymásutánjára.

A szűkebb értelemben vett geometrián kívüli alkalmazásokban, mint például a szeszkvilineáris formáknál, a legfontosabb esetek a komplex terek közötti leképezések, az automorfizmus a komplex konjugálás. Projektív terekben a szemilineáris leképezés nem lehet lineáris.

A szintetikus geometriában minden szemilineáris leképezés egy egyenestartó leképezés (kollinearitás) homogén részének ábrázolása egy legalább kétdimenzisós, desargues-i, egyenesenként több, mint két ponttal bíró affin geometriában; illetve egy legalább kétdimenziós, desaruges-i projektív geometria egy projektív geometriára vett leképezésének mátrixábrázolása, amennyiben mindkét tér rögzített koordináta-rendszerrel van ellátva. Itt az morfizmus származhat a ferdetest-monomorfizmus definíciójából és ábrázolásából, tehát ferdetestek közötti injektív gyűrűhomomorfizmusból. A képtér lehet egy -balvektortér egy bővebb ferdetest fölött, és az értékkészlet egy test fölött, ami izomorf egy résztestével.

Egy legalább kétdimenziós, desargues-i, affin vagy projektív tér bijektív, szemilineáris önleképezései ebben az értelemben éppen ezeknek a tereknek a kollineációinak a mátrixábárolásai, eltekintve egy ferdetest-automorfizmustól.

Definíció

[szerkesztés]

Egy (ferde)test fölötti (bal)vektortér egy leképezése egy szintén fölötti (bal)vektortérbe szemilineáris leképezés, ha létezik egy automorfizmus úgy, hogy teljesülnek a következők minden és -ra:

  • Additivitás: , más szóval: a Abel-csoport csoporthomomorfizmusa.
  • #

Ábrázolás

[szerkesztés]

Legyen ferdetest, és legyenek , , illetve  dimenziós balvektortér felett. Legyen szemilineáris leképezés. Ekkor tetszőleges bázisa, és tetszőleges bázisa esetén egyértelműen léteznek -es mátrixok és egy ferdetest-automorfizmus úgy, hogy tetszőleges koordinátavektorra a bázisban

teljesül, és

ha a képvektor a bázisban ábrázolva. Az , mátrixokat egyértelműen meghatározzák a bázisok, illetve az -hez való kapcsolatuk, azonban általában különböznek egymástól. Az automorfizmus mindkét ábrázolásban ugyanaz lehet, függetlenül a választott bázistól. Ezt az-fel való kapcsolat határozza meg, amennyiben az képre vonatkozik. Lásd még: kollineáció.

Példák, ellenpéldák

[szerkesztés]

Legyenek vektorterek a komplex számok fölött. Egy

leképezés pontosan akkor szeszkvilineáris forma, ha a leképezések minden rögzített vektorra lineáris, és a leképezés minden rögzített vektorra szemilineáris, a komplex konjugálással mint automorfizmussal.

Legyen ; ennek a testnek van egy

nemidentikus, involutorikus automorfizmusa, ami tetszőleges -es mátrixszal szemilineáris leképezést indukál a vektortérben annak standard bázisára vonatkozóan:

Ha reguláris, akkor ez a leképezés egy kollineációt ábrázol a fölötti affin térben.

Egy Lenz-IV osztályú projektív transzlációsík kollineációja nem ábrázolható szemilineáris leképezéssel, mivel a sík nem koordinátázható ferdetesttel.

Egy antiunitér operátor szemilineáris leképezés egy komplex Hilbert-téren a komplex konjugációra vonatkozóan, melyet egy unitér operátor és egy koordinátánkénti komplex konjugálás ad ki. Alternatívan, az antiunitér operátorok jellemezhetők, mint szemilineáris szürjektív izometriák. A kvantummechanikában szimmetriák matematikai leírására használják őket, lásd Wigner tétele.[1] Az időtükrözés egy példa egy efféle szimmetriára.

A szemilineáris leképezések csoportja

[szerkesztés]

Általános szemilineáris csoport

[szerkesztés]

Egy test fölötti vektortér invertálható szemilineáris leképezései csoportot alkotnak, az általános szemilineáris csoportot, melynek jelölése . Kifejezhető szemidirekt szorzatként:

ahol a vektortér általános lineáris csoportja és Galois-csoportja, mint egy prímtest bővítése. Ez utóbbi éppen testautomorfizmus-csoportja, mivel a testautomorfizmusok a prímtestet fixen hagyják.

Projektív szemilineáris csoport

[szerkesztés]

Egy test fölötti vektortér projektív szemilineáris csoportja az

szemidirekt szorzat, ahol a vektortér projektív lineáris csoportja, pedig testautomorfizmus-csoportja. Ez a csoport a projektív téren hat.

Általánosítás

[szerkesztés]

Általánosabban legyen gyűrű, és klegyen endomorfizmus. Ekkor egy additív leképezés -szemilineáris, ha

minden és -re.

Források

[szerkesztés]
  • Günter Pickert. Analytische Geometrie, 6., durchgesehene, Leipzig: Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig (1967) 
  • Hermann Schaal. Lineare Algebra und analytische Geometrie, Band II, 2. durchgesehene, Braunschweig: Vieweg (1980) 
  • Günter Scheja, Uwe Storch. Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der linearen Algebra, 2., überarb. und erw., Stuttgart: Teubner (1994) 
  • Uwe Storch, Hartmut Wiebe. Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. Mannheim/Leipzig/Wien/Zürich: BI-Wissenschafts-Verlag (1990) 

Jegyzetek

[szerkesztés]
  1. Edson de Faria, Welinton de Melo. Mathematical Aspects of Quantum Field Theory, 1., Cambridge University Press, 19. o. (2010) 

Fordítás

[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Semilineare Abbildung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.