Kvadratikus forma

A matematikában a kvadratikus forma egy függvény, ami bizonyos értelemben az $x\mapsto x^{2}$ másodfokú függvényhez hasonlóan működik. Például a kizárólag másodfokú tagokból álló polinomok kvadratikus formák. Erre egy példa egy vektor hosszának négyzete: ${\vec {v}}=(x,y,z,\dots )$:

$|{\vec {v}}|^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\dots$

Kvadratikus formákkal a lineáris algebrán kívül is találkozhatunk. A geometriában metrikákat vezethetünk be velük, illetve az elemi geometriában kúpszeleteket írhatunk le vele. A racionális és az egész számok felett a számelméleti vizsgálódások klasszikus tárgya, ahol is kvadratikus formákkal ábrázolható számokat karakterizálnak.

Motiváció

Egy $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ skalárszorzattal ellátott $V$ valós vektortér normált térré tehető, amennyiben egy $x$ vektor normáját úgy értelmezzük, mint $\|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ (indukált norma). Azonban a négyzetgyökvonás miatt nehezebb ezt a képletet általánosítani, és kapcsolatba hozni bilineáris formákkal, és más skalártestek fölötti vektorterekre általánosítani; ezért inkább a négyzetgyökvonás nélküli $q\colon x\mapsto \langle x,x\rangle$ leképezést tekintjük, és vizsgáljuk más testekben és vektorterekben. Ezeket az összefüggéseket találjuk:

${\begin{array}{ll}q(ax)=a^{2}q(x)&\mathrm {minden} \quad a\in K{\text{ s }}x\in V\\q(x+y)+q(x-y)=2q(x)+2q(y)&\mathrm {minden} \quad x,y\in V\end{array}}$

A fenti feltételeknek megfelelő $q\colon V\to K$ leképezéseket bilineáris formák nélkül is vizsgálhatjuk, és tovább általánosíthatjuk őket egységelemes kommutatív gyűrűk fölötti modulusokra. Gyakran vizsgált skalárgyűrű az egész számok $\mathbb {Z}$ gyűrűje, illetve a $\mathbb {Z} ^{n}$ modulus, különösen a $\mathbb {Z} ^{2}$ modulus.

Definíció

n határozatlanú kvadratikus forma

Egy $A$ egységelemes kommutatív gyűrű fölötti ($n$ határozatlanú) kvadratikus forma egy ($n$ határozatlanú) homogén másodfokú polinom $A$-beli együtthatókkal.

Az algebrában a forma fogalmát Legendre vezette be.

Speciális esetek

• Az $n=2$ esetben binér kvadratikus formákról beszélünk. Egy binér kvadratikus forma egy $aX^{2}+bXY+cY^{2}$ alakú polinom, ahol $a,b,c\in A$.

• Az $n=3$ esetben ternér kvadratikus formákról van szó, melyek alakja $aX^{2}+bXY+cXZ+dY^{2}+eYZ+fZ^{2}$, ahol $a,\dotsc ,f\in A$.

Kvadratikus formák modulusok fölött

Általánosabban a kvadratikus formákat modulusok fölött definiálják. Legyen $M$ modulus; ekkor egy $M$ fölötti kvadratikus forma egy $q\colon M\to A$ leképezés a következő tulajdonságokkal:

• Minden $a\in A$ és $x\in M$ esetén $q(ax)=a^{2}q(x)$.
• Definiáljuk a $b(x,y):=q(x+y)-q(x)-q(y)$ $b\colon M\times M\to A$ leképezést, ami lineáris mindkét argumentumában, vagyis bilineáris forma $M$ fölött. Ez automatikusan szimmetrikus, vagyis $b(x,y)=b(y,x)$. Ez a $q$-hoz tartozó szimmetrikus bilineáris forma.

Egy fenti értelemben vett kvadratikus forma a modulusok fölötti definíció szerint kvadratikus forma $A^{n}$ fölött.

Kvadratikus modulus

Egy kvadratikus modulus egy $(M,q)$ pár, ahol $M$ egy A fölötti modulus, és $q$ kvadratikus forma $M$ fölött.

Legyen $b$ a $q$-hoz tartozó szimmetrikus bilineáris forma. Ekkor az $x,y\in M$ elemek $q$-ortogonálisak, illetve $b$-ortogonálisak, ha $b(x,y)=0$

Kvadratikus tér

Egy $(V,q)$ kvadratikus modulus kvadratikus tér, ha $V$ vektortér. Ekkor a hozzá tartozó skalárgyűrű test.

Tulajdonságok

A következőkben feltételezzük, hogy a $2$ invertálható az $A$ gyűrűben. Ez kizárja a további jellemzésből a 2 karakterisztikájú gyűrűket. Mivel a valós és a komplex számok karakterisztikája különbözik 2-től, és a 2 invertálható mindkettőben, így ennek a feltételnek megfelel.

Hozzárendeljük a $\textstyle q(x)=\sum _{1\leqslant i\leqslant j\leqslant n}q_{ij}x_{i}x_{j}$ kvadratikus formához a $Q=(q_{ij}$, $i\leqslant j$ háromszögmátrixot, ahol a fennmaradó elemek nullák. Ezzel $q(x)$ felfogható úgy is, mint $x^{T}Qx$, és úgy is, mint $x^{T}Q^{T}x$.

Kapcsolat a szimmetrikus bilineáris formákkal: Van egy egy-egyértelmű megfeleltetés az $n$ határozatlanú kvadratikus formák és az $A^{n}$ fölötti bilineáris formák között:

Egy $q$ kvadratikus formához megkapható a hozzá tartozó $B$ szimmetrikus bilineáris forma polarizációval:

$B(x,y)={\frac {1}{2}}\left(q(x+y)-q(x)-q(y)\right).$

Megfordítva

$q(x)=B(x,x).$

Formálisan nézve ez a konstrukció csak egy polinomfüggvényt ad; azonban ténylegesen polinom kapható, ha a bilineáris formát mátrixszal ábrázoljuk, vagy kiterjesztjük tetszőleges $A$-algebrára.

Formák ekvivalenciája: Ha $S$ $n$ soros mátrix, akkor az $y=Sx$ helyettesítéssel egy $y^{T}(S^{T}QS)y$ kvadratikus formához jutunk. Ha $S$ invertálható, akkor az új formából visszakaphatjuk a régit. Összességében definiálható egy $\Gamma$ mátrixcsoport a kvadratikus formákon vett ekvivalenciareláció bevezetésével. Ezek a $\Gamma$-ekvivalens kvadratikus formák.

Definitség: Valós vagy komplex formák esetén alkalmazhatók a mátrixkritériumok a $Q+Q^{T}$ mátrixra, így állítások tehetők arra, hogy a forma milyen előjelű értékeket vesz fel $\mathbb {R} ^{n}$-en. Ennek megfelelően lehet a kvadratikus forma pozitív definit, negatív definit, illetve indefinit. Ha nullvektortól különböző értékeken is felvehet nullát, akkor lehet pozitív szemindefinit, negatív szemindefinit vagy indefinit.

Példák

Valós kvadratikus formák

Legyen $V$ valós vektortér; ekkor Sylvester tehetetlenségi tétele miatt minden $q\colon V\to \mathbb {R}$ kvadratikus forma diagonizálható, tehát létezik olyan $e_{1},\dotsc ,e_{n}$ bázis $V$-ben, úgy, hogy

$q(\lambda _{1}e_{1}+\dotsb +\lambda _{n}e_{n})=\lambda _{1}^{2}+\dotsb +\lambda _{a}^{2}-\lambda _{a+1}^{2}-\dotsb -\lambda _{a+b}^{2}$

alkalmas $a,b$-re, ahol $a+b\leq n$. Egy kvadratikus forma izomorfizmusosztályát meghatározza $a+b$ rangja, és $a-b$ szignatúrája.

Kvadratikus formák számtestek fölött

A $\mathbb {Q}$ fölötti kvadratikus formákat Minkowski osztályozta. Hasse kiterjesztette ezt a klasszifikációt számtestekre. Pontosabban, két kvadratikus forma akkor és csak akkor izomorf, ha minden teljessé tételük (valós, komplex, p-adikus) izomorf, lásd Hasse–Minkowski-tétel.

Kvadratikus formák egész számok fölött

Azt mondják, hogy az egész számok fölött két pozitív definit kvadratikus forma, $(V,q),(V^{\prime },q^{\prime })$ neme megegyezik, ha minden $n\in \mathbb {N}$-re az $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ skalárral bővítés (vagyis tenzorszorzás $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$-nel) izomorf kvadratikus formákat kapunk $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$-en. Az ugyanolyan nemű izomorfiaosztályok számát Smith–Minkowski–Siegel súlyformulájával lehet meghatározni.

Elemi számelmélet

Sok eredmény van arra, hogy egy adott, egész számok fölötti kvadratikus formula felvehet-e egy adott értéket. Ehhez meg kell jegyezni, hogy

• $\operatorname {SL} _{n}(\mathbb {Z} )$ az n soros, egészeket tartalmazó 1 determinánsú mátrixok csoportja
• $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ az n soros, egészeket tartalmazó ±1 determinánsú mátrixok csoportja

melyek önmagukra képezik a $\mathbb {Z} ^{n}$ rácsot és a $\mathbb {Z} ^{n}$-beli relatív prímek halmazát, így a további eredmények ekvivalens kvadratikus formák egész családjaira állnak fenn.

Ismert példák:

• $x^{2}+y^{2}$ alakú négyzetszámok: Az $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ egyenlet egészeken vett megoldásai pitagoraszi hármasok. A legismertebb példa az $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ egyenlőség. Ez a végtelen sok megoldás közül a legkisebb. A fenti paraméteres leíráson túl a pitagoraszi hármasokról további információk találhatók a szakirodalomban.

• Az $w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$ alakú számok: A kvadratikus forma első ismert példája, amivel minden természetes szám előállítható. Ez a négynégyzetszám-tétel.

• Az $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$ egyenlet egész megoldásai, ahol $a,b,c$ egészek, páronként relatív prímek, négyzetmentesek, és nem mind ugyanolyan előjelűek. Csak olyan nem triviális megoldások léteznek, hogy $-ab{\pmod {c}}$, $-bc{\pmod {a}}$ és $-ca{\pmod {b}}$ kvadratikus maradékok. Ez Legendre eredménye.

• Az $x^{2}+y^{2}$ alakú prímszámok: Ezek pontosan a 2 és a $\equiv 1{\pmod {4}}$ alakú prímszámok. Történelmi jelentőségű megfigyelés, Fermatra megy vissza. Egy modern bizonyítás megtalálható a Das BUCH der Beweise 4. fejezetében.

• Az $x^{2}+xy+y^{2}$ alakú prímszámok: Ezek a 3 és az $\equiv 1{\pmod {3}}$ alakú prímszámok.

• Az $x^{2}+ny^{2}$ alakú prímszámok: Cox könyve foglalkozik a kérdéssel..

Ha két kvadratikus forma mátrix alkalmazásával átvihető egy másikba, akkor egy egész szám pontosan akkor ábrázolható az egyik kvadratikus forma értékével, ha a másik értékével is ábrázolható. Ez közvetlenül adódik a definícióból: $(Aq)(x_{1},\dotsc ,x_{n})=q(A^{-1}x_{1},\dotsc ,A^{-1}x_{n})$. A számelmélet szempontjából a $q$ és az $Aq$ kvadratikus formák ekvivalensek, és felmerül a kérdés, hogy találjunk egy lehetőleg egyszerű reprezentációs rendszert az $n$ változós kvadratikus formák számára modulo $\operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )$ hatására. A kétváltozós kvadratikus formák esetén Gauß is foglalkozott a témával, a Disquisitiones Arithmeticae 5. fejezetében, 260 oldalon át, ami a könyv fő része.

Mai nyelven szólva, ez azt jelenti pozitív definit kvadratikus formák esetén, hogy a cél találni egy fundamentális tartományt $\operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )$ hatásához az $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )/O(n)$ szimmetrikus téren (a pozitív definit kvadratikus formák terén).

Az SL(2,ℤ) hatásának fundamentális tartományai a hiperbolikus síkon

Az $n=2$ esetben a $\operatorname {GL} (2,\mathbb {R} )/O(2)$ pozitív definit binér kvadratikus formák azonosíthatók a hiperbolikus síkkal. Az ábra a hiperbolikus sík felbontását mutatja $\operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )$ szerinti fundamentális tartományokra. Egy ilyen fundamentális tartomány (mint például az ábrán szürkére színezett) a binér kvadratikus formák egy reprezentánsrendszerét adja, úgy, hogy minden pozitív definit binér kvadratikus forma ekvivalens egy kvadratikus formával a kvadratikus tartományból, így ugyanazokat az egész számokat ábrázolja.

Hasonló, kapcsolódó problémák a kvadratikus formák terén kívül a nagy Fermat-tétel és a Waring-probléma.

Kapcsolódó fogalom

Egy kvadratikus forma (projektív) nullhelyeinek halmaza a kvádrika.

Lásd még

• Forma (algebra)

Források

• Martin Kneser, Rudolf Scharlau: Quadratische Formen. Springer Verlag, 2002, ISBN 3-540-64650-7 (Vorlesungen von Kneser in den 1970er und 1980er Jahren in Göttingen, neu herausgegeben von Scharlau)
• Winfried Scharlau: Quadratic and Hermitian Forms. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 270. Springer Verlag, 1985
• John Milnor, Dale Husemöller: Symmetric bilinear forms. Springer Verlag, 1973

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Quadratische Form című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.