Waring-probléma

A Waring-probléma az additív számelmélet egyik alapfeladata, azzal foglalkozik, hogy hány darab k-adik hatvány (nem negatív egész szám k-adik hatványa) szükséges egy tetszőleges pozitív egész összegként való előállításához. Itt k egynél nagyobb egész. Waring sejtése szerint minden k>1 számhoz van olyan g(k) szám, hogy minden természetes szám előáll g(k) k-adik hatvány összegeként. (Itt mindegy, hogy legfeljebb, vagy pontosan g(k) tagot követelünk, mert az összeget mindig kiegészíthetjük tetszőlegesen sok $0^{k}$ taggal). Hilbert 1909-ben igazolta, hogy g(k) létezik minden k-ra. Mára apró bizonytalanságtól eltekintve minden k-ra ismerjük g(k) értékét. Legkésőbb g(4)=19-t igazolták 1986-ban. Hilbert bizonyítási eljárásának jelentős leegyszerűsítése a magyar Kürschák József nevéhez fűződik.

Története, elnevezés

Edward Waring 1770-ben kiadott Meditationes Algebraicae című könyvében publikálta azt az észrevételét, hogy „Omnis integer numerus vel est cubus; vel e duobus, tribus, 4, 5, 6, 7, 8, vel novem cubus compositus: est etiam quadratoquadratus; vel e duobus, tribus etc. usque ad novemdecim compositus et sic deinceps.” azaz minden szám előáll kilenc köbszám, tizenkilenc negyedik hatvány stb. összegeként. A modern matematika ezt úgy fogalmazza meg, hogy minden $k\geq 2$ természetes számhoz megadható egy csak k-tól függő s(k) szám, hogy minden természetes szám előáll legfeljebb s(k) k-adik hatvány összegeként, azaz a k-adik hatványok sorozata bázist alkot. Hagyományosan g(k)-val jelölik s(k) legkisebb értékét.

Még 1770-ben igazolta Lagrange azt a régi sejtést, hogy minden természetes szám négy négyzetszám összege, azaz g(2)=4 (a négynégyzetszám-tétel).

Alsó becslés g(k)-ra

$g(k)\geq 2^{k}+\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2$

ahol $\lfloor x\rfloor$ az x szám alsó egészrészét jelöli.

Ez a korlát úgy adódik, hogy mutatunk egy számot, aminek az előállításához legalább ennyi k-adik hatvány szükséges. Legyen

$r=\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor .$

Ekkor az $n=r\cdot 2^{k}-1$ számot csak $1^{k}$ és $2^{k}$ tagokkal tudjuk előállítani, mivel $n<r\cdot 2^{k}<{\frac {3^{k}}{2^{k}}}\cdot 2^{k}=3^{k}$. De a tagok száma akkor a legkisebb, ha r-1 tag értéke $2^{k}$ és $2^{k}-1$ értéke 1. Azaz a tagok száma $2^{k}+r-2$.

g(4) létezik

Liouville igazolta, hogy g(4) létezik, pontosabban, hogy minden természetes szám előáll 53 negyedik hatvány összegeként. Ehhez a

$6(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})^{2}=\sum _{i<j}(x_{i}+x_{j})^{4}+(x_{i}-x_{j})^{4}$

azonosságot használta fel. A jobb oldalon a negyedik hatványok száma 12. Ebből, Lagrange tételét használva, következik, hogy minden $6n^{2}$ alakú szám felírható 12 negyedik hatvány összegeként. Ismét használva Lagrange eredményét, minden 6x alakú számot $6a^{2}+6b^{2}+6c^{2}+6d^{2}$ alakban írhatunk és ez, az előbbiek szerint 48 negyedik hatvány összege. Végül egy tetszőleges számot egy 6x alakú szám és legfeljebb 5 egyes segítségével felírva adódik Liouville tétele.

g(3) értéke

Először E. Maillet igazolta 1895-ben, hogy g(3) létezik, sőt $g(3)\leq 21$. Ezt sokak javítása után 1909-ben Arthur Wieferich javította a pontos g(3)=9 értékre (egy esetet, amit Wieferich elnézett, Kempner 1912-ben zárt le).

Azonosságok

Számos egyéb konkrét esetre igazolták g(k) létezését, ehhez nem egy esetben a fentihez hasonló azonosságokat használtak.

Fleck például $(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})^{3}$-öt ki tudta fejteni, mint

${\frac {1}{60}}\sum _{i<j<k}(x_{i}\pm x_{j}\pm x_{k})^{6}+{\frac {1}{30}}\sum _{i<j}(x_{i}\pm x_{j})^{6}+{\frac {3}{5}}\sum _{i}x_{i}^{6}$

és ebből már levezethető g(6) létezése.

Hurwitz $(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})^{4}$-ra igazolta, hogy egyenlő a következővel:

${\frac {1}{840}}\sum (x_{1}\pm x_{2}\pm x_{3}\pm x_{4})^{8}+{\frac {1}{5040}}\sum _{i<j<k}(2x_{i}\pm x_{j}\pm x_{k})^{8}+{\frac {1}{84}}\sum _{i<j}(x_{i}\pm x_{j})^{8}+{\frac {1}{840}}\sum _{i}(2x_{i})^{8}$

Hurwitz kimondta azt az általános sejtést is, hogy minden k-ra van

$(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})^{k}=\sum _{i=1}^{M}a_{i}(b_{i,1}x_{1}+b_{i,2}x_{2}+b_{i,3}x_{3}+b_{i,4}x_{4})^{2k}$

alakú azonosság, ahol az $a_{i}$-k pozitív racionális számok, a $b_{i,j}$-k pedig egészek.

Waring sejtésének igazolása

Waring sejtését először Hilbert igazolta 1909-ben. Először is arra adott egzisztenciabizonyítást, hogy létezik, Hurwitz fenti sejtésében megfogalmazott típusú azonosság. Ezután számos egyéb azonosság létezését vezette le, majd k-ra indukcióval igazolta a tételt. Módszere alkalmatlan volt arra, hogy g(k)-ra bármilyen korlátot kapjon. Az 1920-as években Hardy és Littlewood a körmódszer segítségével számos új eredményt ért el, többek közt a $g(k)=O(k2^{k})$ becslést. Módszerük azon alapult, hogy analitikus eszközökkel becsléseket adtak az

$x_{1}^{k}+\cdots +x_{s}^{k}=N$

egyenlet megoldásszámára. Eredményeiket erősen megjavította Vinogradov. Ennek nyomán Dickson, Pillai, Rubugunday és Niven lényegében meghatározta g(k) értékét minden $k\geq 6$-ra. Tételük szerint, ha

$3^{k}-2^{k}+2<(2^{k}-1)\left\lfloor {\frac {3^{k}}{2^{k}}}\right\rfloor$

akkor

$g(k)=2^{k}+\left\lfloor {\frac {3^{k}}{2^{k}}}\right\rfloor -2.$

Ha viszont

$3^{k}-2^{k}+2\geq (2^{k}-1)\left\lfloor {\frac {3^{k}}{2^{k}}}\right\rfloor$

akkor legyen

$N(k)=\left\lfloor {\frac {3^{k}}{2^{k}}}\right\rfloor \cdot \left\lfloor {\frac {4^{k}}{3^{k}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {4^{k}}{3^{k}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {3^{k}}{2^{k}}}\right\rfloor .$

Ekkor, ha $2^{k}<N(k)$, akkor

$g(k)=\left\lfloor {\frac {3^{k}}{2^{k}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {4^{k}}{3^{k}}}\right\rfloor +2^{k}-3$

ha pedig $2^{k}=N(k)$, akkor

$g(k)=\left\lfloor {\frac {3^{k}}{2^{k}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {4^{k}}{3^{k}}}\right\rfloor +2^{k}-2$

Stemmler (1964) szerint az első feltétel, így az első képlet teljesül minden $k\leq 200000$ értékre és Mahler 1957-ben igazolta, hogy véges kivétellel minden k értékre. Sejtjük, hogy k minden értékére teljesül.

Linnyik 1943-ban egy teljesen elemi bizonyítást publikált Hilbert tételére.

A g(4) = 19 egyenlőséget 1986-ban igazolta Balasubramanian, Dress, és Jean-Marc Deshouillers, g(5) = 37-et 1964-ben Chen Jingrun, végül g(6) = 73-at 1940-ben Subbayya Sivasankaranarayana Pillai.

G(k)

Korlátok
1 = G(1) = 1
4 = G(2) = 4
4 ≤ G(3) ≤ 7
16 = G(4) = 16
6 ≤ G(5) ≤ 17
9 ≤ G(6) ≤ 24
8 ≤ G(7) ≤ 33
32 ≤ G(8) ≤ 42
13 ≤ G(9) ≤ 50
12 ≤ G(10) ≤ 59
12 ≤ G(11) ≤ 67
16 ≤ G(12) ≤ 76
14 ≤ G(13) ≤ 84
15 ≤ G(14) ≤ 92
16 ≤ G(15) ≤ 100
64 ≤ G(16) ≤ 109
18 ≤ G(17) ≤ 117
27 ≤ G(18) ≤ 125
20 ≤ G(19) ≤ 134
25 ≤ G(20) ≤ 142

1909-ben Landau publikálta azt a meglepő eredményt, hogy minden elegendő nagy szám már 8 köbszám összegeként is felírható. 1939-ben L. E. Dickson ezt úgy pontosította, hogy csak 23 és 239 a kivételek. Linnyik 1943-ban azt is igazolta, hogy minden elég nagy szám legfeljebb 7 köbszám összege. Minden jel szerint minden elég nagy szám már 4 köbszámmal is előállítható, sőt azt sejtik, hogy 7373170279850 a legnagyobb szám, ami nem írható fel 4 köbszám összegeként. Négy köbszám biztosan szükséges végtelen sok számhoz: mivel a 3-mal nem osztható számok köbe 9-cel osztva $\pm 1$-et ad maradékul, ilyenek azok a számok, amelyek 9-cel vett maradéka 4 vagy 5. Mindenesetre Davenport igazolta, hogy a négy köbszámmal nem előállítható számok száma x-ig $O(x^{29/30+\varepsilon })$ és ezt Brüdern $O(x^{37/42+\varepsilon })$-ra javította.

E jelenségek vizsgálatára vezette be Hardy és Littlewood a G(k) értéket, ami a legkisebb olyan m számot jelenti, hogy minden elég nagy természetes szám előáll m darab k-adik hatvány összegeként. Ennek hátterében egyrészt az áll, hogy, mint a fenti példán is láttuk, k>2-re csak kis számokhoz szükséges g(k) k-adik hatvány, később ez leesik egy jóval kisebb értékre, másrészt az analitikus eljárásokkal kapott becslések csak igen nagy számokra adnak jó eredményeket. Tudjuk tehát, hogy G(2)=4, mert, mint könnyen látható, végtelen sok szám (a $4^{x}(8y+7)$ alakú számok) nem állíthatóak elő három négyzetszám összegeként.

G(k) pontos értéke a legtöbb esetben ismeretlen. A fentiek szerint G(3)-ról csak annyit tudunk hogy: $4\leq G(3)\leq 7$. Könnyen látható, hogy $G(k)\geq k+1$ minden k>1-re, ugyanis a k darab k-adik hatvány összegeként felírható számok sorozatának felső sűrűsége legfeljebb $1/k!$. Továbbá $G(2^{k})\geq 2^{k+2}$, ha $k\geq 3$, ugyanis a $(2^{k+3}-1)(2^{k+2})^{n}$ alakú számokhoz legalább ennyi $2^{k}$-adik hatvány kell. De ekkor $G(3\cdot 2^{k})\geq 2^{k+2}$-nek is teljesülnie kell, hiszen minden $3\cdot 2^{k}$-adik hatvány egyben $2^{k}$-adik hatvány is. Sejthető, hogy k>2-re a fenti korlátok adják meg G(k) pontos értékét.

G(4) értékét pontosan megadja Davenport egy tétele, ami szerint minden elég nagy szám, ha 16-tal osztva nem 14 vagy 15 maradékot ad, felírható 14 negyedik hatvány összegeként. Ebből következik, hogy G(4)=16 és tizenhat negyedik hatványra csak a $16^{k}A$ alakú számok felírására van szükség, ahol A egy véges halmaz eleme.

Hardy és Littlewood igazolta, hogy $G(k)\leq 2^{k}+1$. Ezt Vinogradov a $G(k)\leq 6k\log {k}+k\log 216$ becslésre javította. A legjobb eredmény T. D. Wooleytól származik: $G(k)\leq k\log k+k\log \log k+O(k)$. (Lásd például Vaughan könyvében.)