Normált tér

A normált tér matematikai objektum, a lineáris algebra, az analízis és azon belül a funkcionálanalízis vizsgálja. A parciális differenciálegyenletek és az integrálegyenletek megoldásához használják. Fontos speciális esete a közönséges 3 dimenziós tér. Valójában a normált tér éppen ennek egy természetes általánosítása. A normált tér vektortér, amin norma is értelmezve van, azaz a vektoroknak van hosszuk. A norma metrikát indukált, ezzel a normált tér metrikus tér. A metrika topológiát indukál, ezzel a tér topologikus tér. Ha egy normált tér teljes, akkor teljes metrikus tér, avagy Banach-tér. Normált tér származhat skalárszorzatos vektortérből vagy félnormált térből faktortérként.

Definíció

A $(V,||\cdot ||)$ kettőst normált térnek nevezzük, ha $V$ vektortér a $\mathbb {K}$ számtest felett, ahol $\mathbb {K}$ a komplex vagy valós számok teste, a $||\cdot ||:V\to \mathbb {R}$ függvény pedig egy norma, amelyre teljesülnek az alábbi tulajdonságok:

1. $\forall {\vec {x}}\in V\ ||{\vec {x}}||\geq 0$ (szemidefinitség)
2. $||{\vec {x}}||=0\Leftrightarrow {\vec {x}}={\vec {0}}$ (definitség)
3. $\forall \alpha \in \mathbb {K} \ \forall {\vec {x}}\in V\ ||\alpha \cdot {\vec {x}}||=|\alpha |\cdot ||{\vec {x}}||$ (abszolút homogenitás)
4. $||{\vec {x}}+{\vec {y}}||\leq ||{\vec {x}}||+||{\vec {y}}||$ (szubadditivitás, háromszög-egyenlőtlenség)

Példák

Legegyszerűbb példák a véges dimenziós komplex és valós vektorterek, rajtuk az úgynevezett euklideszi normával. Ha ${\vec {x}}\in \mathbb {K} ^{n}$, akkor ennek euklideszi normája:

$||{\vec {x}}||_{E}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\ldots +|x_{n}|^{2}}}$

Más normák is értelmezhetőek ezen a vektortéren:

$||{\vec {x}}||_{\max }=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{n}|\}$

$||{\vec {x}}||_{p}={\sqrt[{p}]{|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\ldots +|x_{n}|^{p}}}$

Ha adott két normált tér, akkor egy köztük ható lineáris operátor normáját is lehet értelmezni. Legyen ugyanis $(X,||\cdot ||_{X}),\ (Y,||\cdot ||_{Y})$ két normált tér, ${\mathcal {A}}:X\to Y$ egy lineáris operátor. Ennek (operátor)normája:

$||{\mathcal {A}}||=\sup\{||{\mathcal {A}}({\vec {x}})||_{Y}:||{\vec {x}}||_{X}\leq 1\}$, feltéve hogy ez a szuprémum véges.

Az olyan lineáris operátorokat, amelyekre ez véges, korlátos lineáris operátoroknak nevezzük. Jegyezzük meg, hogy ezek az operátorok pontosan a folytonos lineáris operátorok!

Függvénytereken is lehet normát értelmezni. Legyen $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ mértéktér (vigyázat, az ${\mathcal {A}}$ itt már egy σ-algebra), és vegyük a következő függvényteret:

$L^{p}(X)=\{f:X\to \mathbb {K} :\int _{X}|f|^{p}d\mu <\infty \}$

Vezessünk be ezen egy ekvivalencia-relációt:

$f\sim g\Leftrightarrow \mu \left(\{x:f(x)\not =g(x)\}\right)=0$

Az ekvivalenciaosztályokat egy reprezentánsukkal szokás jelölni, míg a relációval faktorizált $L^{p}$-t szintén $L^{p}$-vel.

Legyen most $f\in L^{p}$, és ekkor

$||f||_{p}=\left(\int _{X}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}$.

Ennek valójában speciális esete a következő:

$f\in C([a,b])$ esetén $||f||_{\infty }=\sup\{f(x):x\in [a,b]\}$.

További példák:

• A valós vagy komplex számok az abszolútértékkel, mint normával: $({\mathbb {K} },|\cdot |)$
• Valós vagy komplex mátrixok a Frobenius-normával: $({\mathbb {K} }^{m,n},\|\cdot \|_{F})$
• Valós vagy komplex értékű korlátos függvények a szuprémumnormával: $(B,\|\cdot \|_{\sup })$
• Kompakt halmazon értelmezett valós vagy komplex értékű folytonos függvények a maximumnormával: $(C^{0},\|\cdot \|_{\max })$
• Az m-szer folytonosan differenciálható valós vagy komplex értékű korlátos függvények a C^m-normával: $(C^{m},\|\cdot \|_{C^{m}})$
• Két valós vagy komplex vektortér között menő korlátos lineáris operátorok tere az $({\mathfrak {L}}(V,W),\|\cdot \|_{{\mathfrak {L}}(V,W)})$ operátornormával

Tulajdonságok

Kapcsolat a metrikus terekkel

Minden $(V,||\cdot ||)$ normált tér metrizálható. Ha ugyanis ${\vec {x}},{\vec {y}}\in V$, akkor ezek távolságát, $\varrho ({\vec {x}},{\vec {y}})$-t definiálhatjuk a következőképp:

$\varrho ({\vec {x}},{\vec {y}})=||{\vec {x}}-{\vec {y}}||$

Ezzel egyben azt is látjuk, hogy a norma segítségével topológiát definiálhatunk, így van értelme már fentebb említett folytonosságról beszélni normált terek között. Fontos megjegyezni, hogy egyazon vektortéren két különböző norma nem feltétlen ad homeomorf topologikus struktúrát.

Ekvivalens normák

Legyen adva $(V,||\cdot ||_{1})$ és $(V,||\cdot ||_{2})$, azaz egyazon vektortéren két különböző norma. Azt mondjuk, hogy ők ekvivalensek, ha létezik olyan $0<a,b\in \mathbb {R}$, hogy minden ${\vec {x}}\in V$ esetén:

$a\leq {\frac {||{\vec {x}}||_{1}}{||{\vec {x}}||_{2}}}\leq b$

Ekkor $(V,||\cdot ||_{1})$ és $(V,||\cdot ||_{2})$ homeomorfak, ugyanis az $\operatorname {Id} :V\to V,\ \operatorname {Id} ({\vec {x}})={\vec {x}}$ függvény az inverzével együtt teljesíti a Lipschitz-feltételt.

Bizonyítható, hogy egy (valós vagy komplex) vektortér akkor és csak akkor véges dimenziós, ha tetszőleges két rajta értelmezett norma ekvivalens.

Normált terek szorzata

Legyen $(V,||\cdot ||_{V})$ és $(W,||\cdot ||_{W})$ két normált tér. A $V\times W=\{({\vec {v}},{\vec {w}}):{\vec {v}}\in V,{\vec {w}}\in W\}$ vektortéren szintén értelmezhető normált tér struktúra:

$||({\vec {v}},{\vec {w}})||_{1}=\max\{||{\vec {v}}||_{V},||{\vec {w}}||_{W}\}$

$||({\vec {v}},{\vec {w}})||_{2}=||{\vec {v}}||_{V}+||{\vec {w}}||_{W}$

Megmutatható, hogy a fenti két norma ekvivalens.

Speciális esetek

Skalárszorzatos vektorterek

Egy norma származhat skalárszorzatból. Minden skalárszorzatos vektortér normált tér a skalárszorzat által indukált normával:

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$

Egy norma pontosan akkor származik skalárszorzatból, ha teljesíti a paralelogrammaazonosságot. A teljes skalárszorzatos vektorterek Hilbert-terek.

Teljes terek

Egy normált tér teljes, ha a térben minden Cauchy-sorozat konvergens. Egy teljes normált tér Banach-tér. Minden normált tér teljessé tehető Cauchy-sorozatok ekvivalenciaosztályaival. Így Banach-teret kapunk, ami az eredeti teret sűrű altérként tartalmazza.

Általánosítások

Félnormált terek

Ha $\|\cdot \|$ félnorma, akkor félnormált térről van szó. Egy félnormált térből normált tér kapható faktortérképzéssel. Az $x$ és $y$ vektorok akkor tartoznak egy ekvivalenciaosztályba, ha $\|x-y\|=0$. A funkcionálanalízisben a normált terek mellett lokálisan konvex terekkel is foglalkoznak, melyek félnormák egy halmazával ellátott vektorterek.

Metrikus és topologikus terek

Minden norma metrikát indukál:

$d(x,y)=\|x-y\|$

Minden normált tér metrikus tér a $(V,d)$ metrikával, sőt, topologikus tér a norma által indukált topológiára: $(V,{\mathcal {T}})$. Így értelmezhetők normált terekben topológiai fogalmak, mint határérték, Cauchy-sorozat, folytonosság és kompaktság. Így egy $(x_{n})_{n}$ pontosan akkor tart az $x$ határértékhez, ha $\|x_{n}-x\|\rightarrow 0$. Maga a norma is folytonos az általa indukált topológiában.

A metrikus tér valódi általánosítása a normált térnek, ugyanis vannak $(X,d)$ metrikus terek, ahol:

• a $d$ metrika nem ábrázolható normával
• $X$-ben nincs vektortér struktúra értelmezve.

Ekvivalens normák ugyanazt az uniform struktúrát indukálják, és ezzel ugyanazt a topológiát is. Véges dimenziós vektorterekben minden norma ekvivalens; végtelen dimenzióban azonban ez nincs így.

Egy topologikus vektortér normálható, ha topológiája normával indukálható. Kolmogorov normálhatósági kritériuma szerint egy topologikus Hausdorff-tér topológiája pontosan akkor indukálható normával, ha nullvektorának van konvex korlátos környezete.

Abszolútértékes testek

A normált tér fogalma általánosítható, ha a valós vagy komplex test helyett általánosabban egy $(K,|\cdot |)$ testet veszünk, ahol $|\cdot |$ abszolútérték.

Források

• Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag, 1998, ISBN 0-387-98431-3
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-43586-7, Kapitel I.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Normierter Raum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.