Sylvester tehetetlenségi tétele

A lineáris algebrában Sylvester tehetetlenségi tétele kijelentéseket tesz bilineáris formák együtthatómátrixairól, és azt állítja, hogy bizonyos tulajdonságok bázisváltás hatására sem tűnnek el.

A tételt a brit J. J. Sylvester matematikusról nevezték el.

Legyenn $V$ véges dimenziós komplex vektortér, és legyen $s\colon V\times V\rightarrow \mathbb {C}$ hermitikus szeszkvilineáris forma. Ekkor a $V_{0}$ elfajulási tér

$V_{0}:=\{v\in V:(\forall w\in V)\,s(v,w)=0\}$.

A tétel kimondja, hogy előáll a

$V=V_{+}\oplus V_{-}\oplus V_{0}$

direkt összeg, ahol $s(v,v)>0$ minden $v\in V_{+}\setminus \{0\}\qquad$ vektorra, és hasonlóan $\qquad s(v,v)<0$ minden $v\in V_{-}\setminus \{0\}$ vektorra.

Ez azt is jelenti, hogy választható bázis $V$-ben úgy, hogy az $s$ hermitikus szeszkvilineáris formát ábrázoló $A$ mátrix diagonális legyen:

$A:={\begin{pmatrix}1&0&0&0&\ldots &0&0&\ldots &0\\0&\ddots &0&&&&&&\vdots \\0&0&1&0&&&&&0\\0&&0&-1&0&&&&0\\\vdots &&&0&\ddots &0&&&\vdots \\0&&&&0&-1&0&&0\\0&&&&&0&0&0&0\\\vdots &&&&&&0&\ddots &0\\0&\ldots &0&0&\ldots &0&0&0&0\end{pmatrix}}$

Továbbá ennek a mátrixnak a főátlóján csak az 1, -1 és 0 számok fordulnak elő, és a főátlón kívül minden elem nulla.

Ha $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ szimmetrikus mátrix, és $S\in GL(n,\mathbb {R} )$ invertálható mátrix, akkor a tételből következik, hogy $A$ és $S^{T}AS$ pozitív és negatív sajátértékei multiplicitással megegyeznek. Ez nem triviális, hiszen egy négyzetes mátrix sajátértékei csak az $S^{-1}AS$ transzformációra invariánsak, nem pedig $S^{T}AS$-ra.

A tétel nem teljesül hermitikus bilineáris formákra.

Legyenek most az $V_{+}$, $V_{-}$ és $V_{0}$ alterek definiálva, mint korábban. Ekkor a tételből következik, hogy az

${\begin{aligned}r_{+}(s)&:=\dim(V_{+}),\\r_{-}(s)&:=\dim(V_{-}){\text{ und}}\\r_{0}(s)&:=\dim(V_{0})\end{aligned}}$

számok invariánsak az $s\colon V\times V\rightarrow \mathbb {C}$ hermitikus szeszkvilineáris formákra. Így például

$r_{+}(s)=\max\{\dim(W):W\subseteq V$ altér és $(\forall w\in W\setminus \{0\})\,s(w,w)>0\}$. Hasonló teljesül $r_{-}(s)$-re is. A direkt felbontásból következik az $r_{+}(s)+r_{-}(s)+r_{0}(s)=\dim(V)$ egyenlőség is. Az $\sigma (s):=\left(r_{+}(s),r_{-}(s),r_{0}(s)\right)$ hármast nevezik tehetetlenségi indexnek vagy (Sylvester)-szignatúrának is.

Forrás

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14., durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Trägheitssatz von Sylvester című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.