Szignatúra (lineáris algebra)

Egy szimmetrikus bilineáris forma szignatúrája egy olyan számhármas, ami független a bázisválasztástól. A definíciót Sylevester tehetetlenségi tétele alapozza meg, melyet JJ Sylvesterről neveztek el. Emiatt Sylvester-szignatúrának is nevezik.

A lineáris algebra mellett még a differenciálgeometria különböző területein is felbukkan.

Definíció

Legyen $V$ véges dimenziós valós vektortér, és legyen $s\colon V\times V\rightarrow \mathbb {R}$ szimmetrikus bilineáris forma. Sylvester tehetetlenségi tétele miatt választhatunk bázist úgy, hogy az ábrázoló mátrix így néz ki:

$A:={\begin{pmatrix}1&0&0&0&\ldots &0&0&\ldots &0\\0&\ddots &0&&&&&&\vdots \\0&0&1&0&&&&&0\\0&&0&-1&0&&&&0\\\vdots &&&0&\ddots &0&&&\vdots \\0&&&&0&-1&0&&0\\0&&&&&0&0&0&0\\\vdots &&&&&&0&\ddots &0\\0&\ldots &0&0&\ldots &0&0&0&0\end{pmatrix}}$.

Ez egy átlós mátrix, melynek főátlóján csak $1$, $-1$ és $0$ szerepel, a többi elem pedig nulla.

A továbbiakban jelölje $r_{+}(s)$ a mátrixban levő $1$-esek, $r_{-}(s)$ a -1-esek és $r_{0}(s)$ az átlón levő nullák számát! Ekkor $\sigma (s):=(r_{+}(s),r_{-}(s),r_{0}(s))$ az $s$ szimmetrikus bilineáris forma (Sylvester)-szignatúrája. Ez jóldefiniált, mivel minden szimmetrikus bilineáris forma esetén létezik ilyen bázis.

Ha az $A$ mátrix főátlóján nincsenek nullák, azaz a szimmetrikus bilineáris forma nem elfajuló, akkor néha elhagyják a nullára utaó elemet, és a $\sigma (s):=(r_{+}(s),r_{-}(s))$ párost nevezik szignatúrának. Ekkor nevezik ezt is szignatúrának:

$\operatorname {sign} (s):=r_{+}(s)-r_{-}(s)$

különösen nem elfajuló esetben. Néha a $r_{-}(s)$ mennyiséget indexnek nevezik.

A szignatúra fogalmát $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ szimmetrikus mátrixokra is kiterjesztik. Ez megegyezik $s(x,y)=x^{T}Ay,$ $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ szignatúrájával.

A Minkowski-metrika szignatúrája

Egy fontos példa a fizikából ismert Minkowski-metrika, ami a speciális relativitáselmélet szempontjából fontos. Ez egy szimmetrikus bilineráris forma, melynek ábrázolómátrixa

$\eta =\pm {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}$.

ahol $\eta _{00}$ az időkoordináta, aminek előjele különbözik a térkoordinátáktól. Ennek szignatúrája $(1,3)$, ahol az időnek pozitív az előjele. Írják úgy is, mint $(+,-,-,-)$, és az angol nyelvű szakirodalomban West Coast conventionnek nevezik. A $(3,1)$ fordított szignatúra, úgy is, mint $(-,+,+,+)$, és az angol nyelvű szakirodalomban East Coast conventionnek hívják.

A metrika szignatúrájának segítségével osztályozhatók a vektorok saját magukkal vett skalárszorzatuj alapján. Ha $u$ vektor, akkor $\eta (u,u)$ az önmagával vett skalárszorzata. Az $(-,+,+,+)$ konvenció szerint:

• $\eta (u,u)>0$ térszerű
• $\eta (u,u)=0$ fényszerű
• $\eta (u,u)<0$ időszerű

és a $(+,-,-,-)$ konvenció alapján:

• $\eta (u,u)>0$ időszerű
• $\eta (u,u)=0$ fényszerű
• $\eta (u,u)<0$ térszerű