Szignatúra (lineáris algebra)

Egy szimmetrikus bilineáris forma szignatúrája egy olyan számhármas, ami független a bázisválasztástól. A definíciót Sylevester tehetetlenségi tétele alapozza meg, melyet JJ Sylvesterről neveztek el. Emiatt Sylvester-szignatúrának is nevezik.

A lineáris algebra mellett még a differenciálgeometria különböző területein is felbukkan.

Definíció

Legyen $V$ véges dimenziós valós vektortér, és legyen $s\colon V\times V\rightarrow \mathbb {R}$ szimmetrikus bilineáris forma. Sylvester tehetetlenségi tétele miatt választhatunk bázist úgy, hogy az ábrázoló mátrix így néz ki:

A:={\begin{pmatrix}1&0&0&0&\ldots &0&0&\ldots &0\\0&\ddots &0&&&&&&\vdots \\0&0&1&0&&&&&0\\0&&0&-1&0&&&&0\\\vdots &&&0&\ddots &0&&&\vdots \\0&&&&0&-1&0&&0\\0&&&&&0&0&0&0\\\vdots &&&&&&0&\ddots &0\\0&\ldots &0&0&\ldots &0&0&0&0\end{pmatrix}}

.

Ez egy átlós mátrix, melynek főátlóján csak $1$ , $-1$ és $0$ szerepel, a többi elem pedig nulla.

A továbbiakban jelölje $r_{+}(s)$ a mátrixban levő $1$ -esek, $r_{-}(s)$ a -1-esek és $r_{0}(s)$ az átlón levő nullák számát! Ekkor $\sigma (s):=(r_{+}(s),r_{-}(s),r_{0}(s))$ az $s$ szimmetrikus bilineáris forma (Sylvester)-szignatúrája. Ez jóldefiniált, mivel minden szimmetrikus bilineáris forma esetén létezik ilyen bázis.

Ha az $A$ mátrix főátlóján nincsenek nullák, azaz a szimmetrikus bilineáris forma nem elfajuló, akkor néha elhagyják a nullára utaó elemet, és a $\sigma (s):=(r_{+}(s),r_{-}(s))$ párost nevezik szignatúrának. Ekkor nevezik ezt is szignatúrának:

\operatorname {sign} (s):=r_{+}(s)-r_{-}(s)

különösen nem elfajuló esetben. Néha a $r_{-}(s)$ mennyiséget indexnek nevezik.

A szignatúra fogalmát $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ szimmetrikus mátrixokra is kiterjesztik. Ez megegyezik $s(x,y)=x^{T}Ay,$ $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ szignatúrájával.

A Minkowski-metrika szignatúrája

Egy fontos példa a fizikából ismert Minkowski-metrika, ami a speciális relativitáselmélet szempontjából fontos. Ez egy szimmetrikus bilineráris forma, melynek ábrázolómátrixa

\eta =\pm {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}

.

ahol $\eta _{00}$ az időkoordináta, aminek előjele különbözik a térkoordinátáktól. Ennek szignatúrája $(1,3)$ , ahol az időnek pozitív az előjele. Írják úgy is, mint $(+,-,-,-)$ , és az angol nyelvű szakirodalomban West Coast conventionnek nevezik. A $(3,1)$ fordított szignatúra, úgy is, mint $(-,+,+,+)$ , és az angol nyelvű szakirodalomban East Coast conventionnek hívják.^[1]

A metrika szignatúrájának segítségével osztályozhatók a vektorok saját magukkal vett skalárszorzatuj alapján. Ha $u$ vektor, akkor $\eta (u,u)$ az önmagával vett skalárszorzata. Az $(-,+,+,+)$ konvenció szerint:

$\eta (u,u)>0$ térszerű
$\eta (u,u)=0$ fényszerű
$\eta (u,u)<0$ időszerű

és a $(+,-,-,-)$ konvenció alapján:

$\eta (u,u)>0$ időszerű
$\eta (u,u)=0$ fényszerű
$\eta (u,u)<0$ térszerű

Meghatározása

Ahhoz, hogy kiszámítsuk egy $s\colon V\times V\rightarrow \mathbb {R}$ szimmetrikus bilineáris forma szignatúráját, nem kell diagnoziálni az ábrázoló mátrixot. Legyen $B$ egy mátrix, ami az $s$ szimmetrikus bilineáris formát ábrázolja! Ekkor ez felfogható egy endomorfizmust ábrázoló mátrixként, és meghatározhatók a sajátértékei. Jelölje $r_{+}(s)$ a pozitív, az $r_{-}(s)$ a negatív sajátértékek számát, $r_{0}(s)$ pedig a 0 sajátérték multiplicitását! Ekkor

\sigma (s):=(r_{+}(s),r_{-}(s),r_{0}(s))

az $s$ szignatúrája.

Példa

Legyen $s(x,y)={\tfrac {1}{2}}x_{1}y_{2}+{\tfrac {1}{2}}y_{1}x_{2}$ szimmetrikus bilineáris forma! Ennek ábrázoló mátrixa a kanonikus bázisban

M_{\mathcal {K}}(s)={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}

Ha ezt a mátrixot $\mathbb {R} ^{2}$ önadjungált endomorfizmusaként fogjuk fel, akkor a spektráltétel szerint van sajátvektoroknak egy ortonormált bázisa, melyben $S^{t}M_{\mathcal {K}}(s)S$ diagonális. Ha az összes sajátvektort megszorozzuk $|\lambda _{i}|^{-{\frac {1}{2}}}$ mennyiségekkel, ahol $\lambda _{i}$ a megfelelő sajátérték, és ezután diagonizáljuk a mátrixot, akkor a mátrix átlóján 1 és -1 értékek szerepelnek. Ekkor közvetlenül leolvasható a szignatúra. Példánkban a sajátértékek ${\tfrac {1}{2}}$ és $-{\tfrac {1}{2}}$ ; az ortonormált sajátvektorok $\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{smallmatrix}-1\\1\end{smallmatrix}}\right)$ és ${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left({\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}}\right)$ . Beszorozzuk ezt a bázist $|\lambda _{i}|^{-{\frac {1}{2}}}$ -nel, akkor a transzformációs mátrix

T={\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}

és a bázistranszformáció:

T^{t}M_{\mathcal {K}}(s)T={\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&1\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}

Tehát a mátrix által ábrázolt bilineáris forma szignatúrája $(1,1,0)$ . Valójában a bilineáris formáknak nincsenek sajátértékei; ez a számítás egy módja.

A fenti diagonális forma Gauß-eliminációval is számítható, amikor is nemcsak a sorokat, hanem az oszlopokat is elimináljuk.

Speciális esetek

Adva legyen egy szimmetrikus, nem szinguláris mátrix. Ekkor a szignatúra:

\mathrm {sign} (A)=\mathrm {sgn} (A_{1})+v_{g}-v_{a}\;.

ahol $A_{1}$ az $A$ főminora. Az első két mennyiség a további minorok determinánsának számításával adódik, ahol azonban csak az előjel a fontos. $v_{g}$ az ugyanolyan előjelű $\det(A_{k})$ és $\det(A_{k+1})$ minorok száma, és $v_{a}$ a különböző előjelű $\det(A_{k})$ és $\det(A_{k+1})$ párok száma.

Differenciálgeometria

A differenciálgeometriában a szimmetrikus bilineáris formákat általánosítják differenciálható sokaságokra másodfokú szimmetrikus kovariáns sima tenzormezőkké. Egy ilyen tenzormező a helyi érintőmezőn bilineáris formaként hat. Ha a szignatúra a sokaság minden pontjában ugyanaz, és nem elfajuló, akkor pszeudo-Riemann-metrikáról beszélünk, és a sokaságot pedig pszeudo-Riemann-sokaságnak nevezzük. Ezekkel a sokaságokkal a pszeudo-Riemann-geometria foglalkozik, és fontos szerephez jutnak a fizikában.

A differenciálgeometrián belül a globális analízis szignatúrával látja el a sokaságokat. A definícióhoz választ egy speciális bilineáris formát, melynek szignatúrájával ellátja a sokaságot. Ebben a témakörben Hirzebruch szignatúratétele központi jelentőségű, mivel kapcsolatba hozza a bilineáris forma szignatúráját, mint invariánst a sokaság egy invariánsával.

Legyen $M$ kompakt irányítható sima sokaság, melynek $n$ dimenziója 4-gyel osztható. Jelölje továbbá $H^{*}(M)$ az $M$ De–Rham-kohomológiáját. Tekintjük azt az $s\colon H^{\frac {n}{2}}(M)\times H^{\frac {n}{2}}(M)\to \mathbb {R}$ bilineáris formát, melynek definíciója:

(\alpha ,\beta )\mapsto \int _{M}\alpha \wedge \beta

Ez szimmetrikus, és a Poincaré-dualitás miatt nem elfajuló, vagyis $r_{0}(s)=0$ . Ekkor az $M$ sokaság szignatúrája az $s$ bilineáris forma szignatúrája, azaz^[2]

\operatorname {sign} (M):=\operatorname {sign} (s)=r_{+}(s)-r_{-}(s).

Jegyzetek

↑ Craig Callender. What Makes Time Special?. Oxford University Press, 123. o. (2017)
↑ Nicole Berlin, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20062-2, S. 128–129.

Források

Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0.
R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu. Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. Berlin: Springer (2003)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Signatur (Lineare Algebra) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

[1] Craig Callender. What Makes Time Special?. Oxford University Press, 123. o. (2017)

[2] Nicole Berlin, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-20062-2, S. 128–129.

[1]

[2]