Spektráltétel
Spektráltétel alatt a lineáris algebrában és a funkcionálanalízisben több, egymással rokon állítást értenek. A legegyszerűbb változat mátrixok egy osztályának diagonizálásáról szól. A későbbiekben tekintett tételek ezt általánosítják végtelen dimenziós vektorterekre. A spektrál név a spektrumra, mint a sajátértékek halmazára utal.
Legyen véges dimenziós, unitér vektortér fölött (például vagy ). Csak akkor létezik egy endomorfizmusának sajátvektoraiból álló ortonormált bázis, ha ez normális, és a sajátértékek mind -beliek.
A mátrixokra nézve ez azt jelenti, hogy egy mátrix pontosan akkor unitér diagonizálható, ha normális, és az összes sajátértéke -beli. Egy másik gyakori megfogalmazás, hogy egy mátrix pontosan akkor normális, ha unitér diagonizálható, ha létezik egy ugyanolyan dimenziós unitér mátrix, hogy
- ,
ahol diagonális mátrix, az mátrix sajátértékeivel az átlóján.
Amennyiben algebrailag zárt, például (az algebra alaptétele szerint), a sajátértékek mind -beliek, és minden normális mátrix unitér diagonizálható. Hogyha nem algebrailag zárt, akkor ez nem feltétlenül teljesül, és ellenőrizni kell az összes sajátértéket.
Az önadjungált endomorfizmusok, illetve hermitikus mátrixok összes sajátértéke valós. A spektráltétel szerint a hermitikus mátrixok diagonlizálhatók, és egy endomorfizmus pontosan akkor önadjungált, ha sajátvektoraiból ortonormált bázis alkotható és összes sajátértéke valós. Például a valós szimmetrikus mátrixok diagonizálhatók.
A spektrálfelbontás a spektráltételen alapul.