Spektráltétel

Spektráltétel alatt a lineáris algebrában és a funkcionálanalízisben több, egymással rokon állítást értenek. A legegyszerűbb változat mátrixok egy osztályának diagonizálásáról szól. A későbbiekben tekintett tételek ezt általánosítják végtelen dimenziós vektorterekre. A spektrál név a spektrumra, mint a sajátértékek halmazára utal.

Véges dimenziós vektorterek

Legyen $V$ véges dimenziós, unitér vektortér $\mathbb {K}$ fölött (például $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ vagy $\mathbb {K} =\mathbb {C}$). Csak akkor létezik $V$ egy endomorfizmusának sajátvektoraiból álló ortonormált bázis, ha ez normális, és a sajátértékek mind $\mathbb {K}$-beliek.

A mátrixokra nézve ez azt jelenti, hogy egy mátrix pontosan akkor unitér diagonizálható, ha normális, és az összes sajátértéke $\mathbb {K}$-beli. Egy másik gyakori megfogalmazás, hogy egy $A$ mátrix pontosan akkor normális, ha unitér diagonizálható, ha létezik egy ugyanolyan dimenziós $U$ unitér mátrix, hogy

$U^{*}AU=D$,

ahol $D:={\text{diag}}(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$ diagonális mátrix, az $A$ mátrix sajátértékeivel az átlóján.

Amennyiben $\mathbb {K}$ algebrailag zárt, például $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ (az algebra alaptétele szerint), a sajátértékek mind $\mathbb {K}$-beliek, és minden normális mátrix unitér diagonizálható. Hogyha $\mathbb {K}$ nem algebrailag zárt, akkor ez nem feltétlenül teljesül, és ellenőrizni kell az összes sajátértéket.

Az önadjungált endomorfizmusok, illetve hermitikus mátrixok összes sajátértéke valós. A spektráltétel szerint a hermitikus mátrixok diagonlizálhatók, és egy endomorfizmus pontosan akkor önadjungált, ha sajátvektoraiból ortonormált bázis alkotható és összes sajátértéke valós. Például a valós szimmetrikus mátrixok diagonizálhatók.

A spektrálfelbontás a spektráltételen alapul.

Kompakt operátorok

Legyen $H$ Hilbert-tér $\mathbb {K}$ fölött, és legyen $T\colon H\to H$ kompakt lineáris operátor. A $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ esetben legyen normális, $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ esetén önadjungált. Ekkor létezik egy $e_{1},e_{2},\ldots$ ortonormált rendszer, illetve egy $(\lambda _{k})_{k\in \mathbb {N} }$ nullsorozat a $\mathbb {K} \backslash \{0\}$ halmazban úgy, hogy

$H=\ker(T)\oplus {\overline {\operatorname {span} (\{e_{1},e_{2},\ldots \})}}$

illetve

$Tx=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}\langle e_{k},x\rangle e_{k}$

minden $x\in H$ esetén. Az $\lambda _{k}$ elemek minden $k\in \mathbb {N}$ esetén sajátértékei $T$-nek és $e_{k}$ a $\lambda _{k}$-hoz tartozó sajátvektor. Továbbá $\textstyle \|T\|=\sup _{k\in \mathbb {N} }|\lambda _{k}|$, ahol $\|\cdot \|$ operátornorma.

A kompakt operátorokra szóló spektráltétel ortogonális projekciókkal átfogalmazható. Legyen $H$ Hilbert-tér $\mathbb {K}$ fölött, és $T\colon H\to H$ kompakt lineáris operátor, ami $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ esetén normális, $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ esetén önadjungált. $E_{k}$-val jelöljük az ortogonális projekciót a $\lambda _{k}$-hoz tartozó $\operatorname {ker} (\lambda _{k}\mathrm {id} _{H}-T)$ sajáttérre. Az $E_{k}$ operátor ábrázolható úgy is, mint $\textstyle E_{k}x=\sum \limits _{i=1}^{d_{k}}\langle e_{i}^{k},x\rangle e_{i}^{k}$, ahol $d_{k}$ a $\operatorname {ker} (\lambda _{k}\mathrm {id} _{H}-T)$ sajáttér dimenziója és $\{e_{1}^{k},\ldots ,e_{d_{k}}^{k}\}$ a sajáttér ortonormált bázisa. Ekkor a spektráltétel megfogalmazható a következőképpen: létezik a $(\lambda _{k})_{k\in \mathbb {N} }$ sajátértékek nullsorozata $\mathbb {K} \backslash \{0\}$-ban úgy, hogy

$Tx=\sum \limits _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}E_{k}x$

minden $x\in H$-ra. Ez a sorozat nemcsak pontonként, hanem operátornormában is konvergál.

Korlátos operátorok

Legyen $H$ Hilbert-tér, $T\colon H\to H$ önadjungált folytonos operátor. Ekkor egyértelműen létezik egy $\mathbb {R}$-ben korlátos tartójú $E\colon \Sigma \to L(H,H)$ spektrálmérték úgy, hogy

$T=\int \limits _{\sigma (T)}\lambda \,\mathrm {d} E_{\lambda }.$

Itt $\Sigma$ $\mathbb {R}$ Borel-algebrája, $L(H,H)$ a $H$-n értelmezett korlátos operátorok halmaza, és $\sigma (T)$ a $T$ spektruma.

Ha $H$ véges dimenziós, akkor teljesül, hogy $H\cong \mathbb {C} ^{n}$; továbbá a $T$ önadjungált operátor $\mu _{1},\ldots ,\mu _{m}$ sajátértékei mind különbözőek, és ahogy azt korábban megállapítottuk,

$T=\sum _{i=1}^{m}\mu _{i}E_{\{\mu _{i}\}},$

ahol $E_{\{\mu _{i}\}}$ ortogonális projekció $\mu _{i}$ $\operatorname {ker} (\mu _{i}-T)$ sajátterére. $T$ spektrálmértéke minden $A\in \Sigma$-ra

$E_{A}=\sum _{\{i:\mu _{i}\in A\}}E_{\{\mu _{i}\}}$

Így a korlátos operátorokra szóló spektráltétel visszavezethető a lineáris algebrai spektráltételre: $\textstyle T=\sum \limits _{i=1}^{m}\mu _{i}E_{\{\mu _{i}\}}$

Legyen $T\colon H\to H$ kompakt lineáris operátor, ekkor teljesül rá a spektráltétel. Legyen $(\mu _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ $T$ sajátértékeinek sorozata, és legyen $\textstyle E_{A}=\sum \limits _{\{i:\mu _{i}\in A\}}E_{\{\mu _{i}\}}$ spektrálmérték, ahol az összegnek megszámlálható sok tagja van, és pontonként konvergál, akkor a spektráltétel a következőre egyszerűsíthető:

$T=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu _{i}E_{\{\mu _{i}\}}.$

Így a korlátos operátorokról szóló spektráltétel a kompakt operátortokról szólót is magában foglalja.

Például a $T\colon L^{2}([0,1])\to L^{2}([0,1])$ operátor, ahol $T(x)(t)=t\cdot x(t)$ önadjungált $\sigma (T)\subset [0,1]$-n, és nincsenek sajátértékei. Has $A\in \Sigma$, akkor $E_{A}x=\chi _{A\cap [0,1]}x$ kompakt tartójú spektrálmérték. Ábrázolja $T$-t, mivel

$\int \lambda \,\mathrm {d} \langle E_{\lambda }x,y\rangle =\int \limits _{[0,1]}\lambda x(\lambda ){\overline {y(\lambda )}}\,\mathrm {d} \lambda =\langle Tx,y\rangle _{L^{2}([0,1])}.$

Legyen $T\in L(H,H)$ önadjungált opretáror. Ekkor a ${\hat {\Phi }}\colon {\mathcal {B}}(\sigma (T))\to L(H,H)$ mérhető funkcionálkalkulus egy egyértelműen meghatározott, folytonos, involutorikus algebrai homomorfizmus. A spektrálfelbontás segítségével a leképezés egyszerű ábrázolását kapjuk, ugyanis

${\hat {\Phi }}(f)=f(T)=\int \limits _{\sigma (T)}f(\lambda )\mathrm {d} E_{\lambda }.$

Nem korlátos operátorok

Ha $A$ sűrűn definiált normális operátor egy $H$ komplex Hilbert-téren, akkor van egy egyértelmű $E$ spektrálmérték $\mathbb {C}$ Borel-halmazain, akkor teljesülnek a következők ($\sigma (A)$ az $A$ spektruma):

• $A=\int \limits _{\sigma (A)}z\,\mathrm {d} E(z)$
• Egy $M\subseteq \mathbb {C}$ halmaz esetén, ahol $M\cap \sigma (A)=\emptyset$, teljesül, hogy $E(M)=0$.
• Egy $M\subseteq \mathbb {C}$ nyílt halmazra, ahol $M\cap \sigma (A)\neq \emptyset$, teljesül, hogy $E(M)\neq 0$.

Egy önadjungált operátor normális, valós spektrummal. A fenti integrál korlátozható a valós számokra.

Ekkor az értelmezési tartomány

$D(A)=\left\{x\in H\left|\;\int \limits _{\sigma (A)}|\lambda |^{2}\mathrm {d} \langle E_{\lambda }x,x\rangle <\infty \right.\right\}$

és a kvadratikus forma értelmezési tartománya

$Q(A)=\left\{x\in H\left|\;\int \limits _{\sigma (A)}|\lambda |\mathrm {d} \langle E_{\lambda }x,x\rangle <\infty \right.\right\}$.

ami nyilván az $\langle Ax,x\rangle$ kvadratikus forma maximális értelmezési tartománya, aminek különösen fontos jelentősége van a kvantummechanikában.

A spektráltétel egy alternatív megfogalmazása, hogy ha az $A$ unitér operátor ekvivalens egy multiplikációs operátorral $L_{2}(\Omega )$ fölött egy mérhető $f\colon \Omega \to \mathbb {C}$ függvénnyel, akkor $A$ önadjungált, tehát $f$ valós értékű.

Egy komplex normális operátor leírható, mint két, egyszer a valós, másszor az imaginárius egységgel megszorzott, egymással felcserélhető, önadjungált operátor összege: mint valós rész + $i\,$-szer képzetes rész, $A={\hat {W}}_{1}+i{\hat {W}}_{2}\,,{\hat {W}}_{i}\equiv {\hat {W}}_{i}^{\dagger }\,,\,{\hat {W}}_{1}{\hat {W}}_{2}={\hat {W}}_{2}{\hat {W}}_{1}\,.$ Továbbá a felcserélhetőség miatt a ${\hat {W}}_{2}\,$ és a ${\hat {W}}_{1}$ operátorok sajátvektorai megegyeznek, habár a sajátértékeik különbözhetnek. Így lehet $W_{2}$ az önadjungált ${\hat {W}}_{1}$ operátor függvénye, ${\hat {W}}_{2}\equiv f_{2}({\hat {W}}_{1})\,,$ egy alkalmas $f_{2}$ függvénnyel. Ekkor csak egyetlen valós spektrálábrázolás jöhet számításba, ${\hat {W}}_{1}\,\,(={\frac {A+A^{\dagger }}{2}})$, és például

$\textstyle {\hat {W}}_{1}=\int \limits _{x\in \sigma ({\hat {W}}_{1})}\,x\,\mathrm {d} E(x)$   és   $\textstyle {\hat {W}}_{2}\,\,(={\frac {A-A^{\dagger }}{2i}})=\int \limits _{x\in \sigma ({\hat {W}}_{1})}\,f_{2}(x)\,\mathrm {d} E(x)$

Története

A kompakt önadjungált operátorok spektráltételét és a korlátos önadjungált operátorok leginkább David Hilbert munkásságára vezethetők vissza, aki 1906-ban közölt bizonyításokat ezekre az esetekre. Hilbert a maitól különböző módon írta le a tételeket: a spektrálmérték helyett Stieltjes-integrált használt, melyet Thomas Jean Stieltjes vezetett be 1894-ben a lánctörtek vizsgálatára. A korlátos és a nem korlátos operátorokra többek között Riesz (1930–1932), valamint Lengyel és Stone (1936), a nem korlátos esetekre Leinfelder (1979) talált bizonyításokat.

Források

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0
• John B. Conway: A Course in Functional Analysis (Springer, 2. Aufl. 1990)
• Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, 4 Bände, Academic Press 1978, 1980
• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6
• Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators, American Mathematical Society, 2009 (Freie Online-Version)

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Spektralsatz című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.