Spektráltétel

Spektráltétel alatt a lineáris algebrában és a funkcionálanalízisben több, egymással rokon állítást értenek. A legegyszerűbb változat mátrixok egy osztályának diagonizálásáról szól. A későbbiekben tekintett tételek ezt általánosítják végtelen dimenziós vektorterekre. A spektrál név a spektrumra, mint a sajátértékek halmazára utal.

Legyen $V$ véges dimenziós, unitér vektortér $\mathbb {K}$ fölött (például $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ vagy $\mathbb {K} =\mathbb {C}$). Csak akkor létezik $V$ egy endomorfizmusának sajátvektoraiból álló ortonormált bázis, ha ez normális, és a sajátértékek mind $\mathbb {K}$-beliek.

A mátrixokra nézve ez azt jelenti, hogy egy mátrix pontosan akkor unitér diagonizálható, ha normális, és az összes sajátértéke $\mathbb {K}$-beli. Egy másik gyakori megfogalmazás, hogy egy $A$ mátrix pontosan akkor normális, ha unitér diagonizálható, ha létezik egy ugyanolyan dimenziós $U$ unitér mátrix, hogy

$U^{*}AU=D$,

ahol $D:={\text{diag}}(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$ diagonális mátrix, az $A$ mátrix sajátértékeivel az átlóján.

Amennyiben $\mathbb {K}$ algebrailag zárt, például $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ (az algebra alaptétele szerint), a sajátértékek mind $\mathbb {K}$-beliek, és minden normális mátrix unitér diagonizálható. Hogyha $\mathbb {K}$ nem algebrailag zárt, akkor ez nem feltétlenül teljesül, és ellenőrizni kell az összes sajátértéket.

Az önadjungált endomorfizmusok, illetve hermitikus mátrixok összes sajátértéke valós. A spektráltétel szerint a hermitikus mátrixok diagonlizálhatók, és egy endomorfizmus pontosan akkor önadjungált, ha sajátvektoraiból ortonormált bázis alkotható és összes sajátértéke valós. Például a valós szimmetrikus mátrixok diagonizálhatók.

A spektrálfelbontás a spektráltételen alapul.