Pillai-prímek

A számelmélet területén a Pillai-prímek közé olyan p prímszámok tartoznak, melyekhez létezik olyan n pozitív egész szám, hogy n faktoriálisa eggyel kisebb, mint a prímszám valamely többszöröse, de a prímszám maga nem eggyel több n valamely többszörösénél. Formálisan: $n!\equiv -1{\pmod {p}}$, de $p\not \equiv 1{\pmod {n}}$.

Az első néhány Pillai-prím:

23, 29, 59, 61, 67, 71, 79, 83, 109, 137, 139, 149, 193, ... (A063980 sorozat az OEIS-ben)

A Pillai-prímeket Subbayya Sivasankaranarayana Pillai indiai matematikus tanulmányozta. Bizonyított, hogy végtelen sok Pillai-prímszám létezik. Ismert (valószínűleg jelentősen megjavítható) felső korlát a Pillai-prímek a(n) sorozata egy tagjának nagyságára:

$a(n)<\,\,^{e}\!n^{O(n\cdot \log n)}$, ahol a kitevő az alap előtt a tetráció, utána meg a hatványozás műveletét jelenti, O az O jelölésre utal. [ a(n) < e^e^...^e^{O(n \ln n)} ]

A sorozat néhány tagja, a hozzájuk tartozó legkisebb és legnagyobb n pozitív egész számokkal:

ai	pi (A063980)	nmin (A063828)	nmax (A211411)
1	23	14	18
2	29	18	18
3	59	15	43
4	61	8	18
5	67	18	33
6	71	9	63
7	79	23	55
8	83	13	69
9	109	86	86
10	137	16	101
11	139	16	16
12	149	50	50
13	193	102	102
14	227	61	165
15	233	64	64
16	239	210	210
17	251	97	153
18	257	31	225
19	269	9	259
20	271	93	177

Jegyzetek

• Guy, R. K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.), New York: Springer-Verlag, p. A2, ISBN 0-387-20860-7.
• Pillai prime a PlanetMath oldalain