Speciális unitér csoport

A speciális unitér csoport, jelölés szerint $\operatorname {SU} (n)$ a matematikában az olyan unitér $n\times n$ mátrixok csoportja, melyek determinánsa egy. A csoport asszociatív csoportművelete a mátrixszorzás, és mivel a speciális unitér csoport egy sima sokaság, amelyben a mátrixszorzás tetszőlegesen sokszor differenciálható, ezért egy Lie-csoport.

Az unitér mátrixok determinánsának abszolút értéke egy, ezt a tulajdonságot szűkíti tovább a speciális unitér csoport. Továbbá, a speciális unitér csoport normálosztója az unitér csoportnak ($\operatorname {U} (n)$), mely az $n\times n$ unitér mátrixok csoportja, mely részcsoportja az általános lineáris csoportnak. Formálisabb jelölés szerint $\operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$.

Az $\operatorname {SU} (n)$ csoportok legegyszerűbb esete az $\operatorname {SU} (1)$, mely egy triviális csoport, tehát egyetlen eleme van, az egységelem, ami ebben az esetben $1$. Az $\operatorname {SU} (2)$ izomorf azon kvaterniók csoportjához, melyeknek normája egy, ezáltal diffeomorf a 3-gömbhöz. Mivel a gömbhéjon elhelyezkedő kvaterniókkal leírhatóak forgatások a háromdimenziós térben (egy előjelig bezárólag), létezik egy szürjektív homomorfizmus $\operatorname {SU} (2)$ és a speciális ortogonális forgatáscsoport $\operatorname {SO} (3)$ között, melynek magja az $\{I,-I\}$ halmaz, ahol $I$ az egységmátrixot jelöli. Mivel a kvaterniók identifikálhatóak a $\operatorname {Cl} (3)$ Clifford-algebra páros részével, így az $\operatorname {SU} (n)$ megegyeztethető a spinorok egyik szimmetriacsoportjával, a $\operatorname {Spin} (3)$ spincsoporttal.

Az speciális unitér csoportok rendkívül hasznosak a részecskefizika standard modelljében, főleg $\operatorname {SU} (2)$ az elektrogyenge kölcsönhatás leírásában, az $\operatorname {SU} (3)$ pedig a kvantum-színdinamikában.

Tulajdonságai

A speciális unitér csoport egy szigorúan valós Lie-csoport, melynek dimenziója egy valós sokaságként $n^{2}-1$. Topológiai tulajdonságai közé tartozik, hogy kompakt és egyszerűen összefüggő. Algebrailag besorolható az egyszerű Lie-csoportok közé, tehát a csoport Lie-algebrája is egyszerű.

A speciális unitér csoport centruma izomorf a $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ciklikus csoporthoz, mely olyan diagonális mátrixokat tartalmaz, melynek minden eleme az $n$-edik komplex gyöke az 1-nek. Abban az esetben, amikor $n\geq 3$, az $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ a csoport külső automorfizmuscsoportja, míg az $\operatorname {SU} (2)$ külső automorfizmuscsoportja a triviális csoport.

Az $(n-1)$ ranggal rendelkező maximális tóruszok megadhatóak olyan diagonális mátrixok halmazaként, melynek determinánsa egy. Az $\operatorname {SU} (n)$ Weyl-csoportja a szimmetrikus csoport $\operatorname {S} _{n}$.

Az $\operatorname {SU} (n)$ Lie-algebrája, jelölés szerint ${\mathfrak {su}}(n)$, az olyan antihermitikus komplex mátrixok halmaza, melyek nyoma nulla. A Lie-algebra Lie-zárójele a mátrixok kommutátora. A részecskefizikában gyakran használnak egy alternatív definíciót, mely szerint a csoport Lie-algebrája a nulla-nyommal rendelkező hermitikus mátrixok halmaza, ellátva egy olyan Lie-zárójellel, ami a kommutátor megszorozva $-i$-vel. Az ${\mathfrak {su}}(n)$ algebra dimenziója szintúgy $n^{2}-1$.

Az SU(2) csoport

Az $\operatorname {SU} (2)$ olyan $2\times 2$-es unitér mátrixok csoportja, melyek determinánsa egy. Pontosabban kifejezve:

$\operatorname {SU} (2)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\right|\ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,$

ahol például ${\overline {\alpha }}$ az $\alpha$ komplex konjugáltját jelöli. A csoportművelet a mátrixszorzás.

Kapcsolata a 3-gömbbel

Ha a definícióban szereplő $\alpha$ és $\beta$ komplex számokat felbontjuk valós és imaginárius részeikre, tehát $\alpha =a+bi,\ \beta =c+di$, akkor a determinánsra szabott feltétel a következő egyenlet lesz:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1$

Ez pontosan az egységsugarú 3-gömb ($\mathbb {S} ^{3}$) egyenlete. Ezt a megfeleltetést lehet egy beágyazásnak is tekinteni: a leképezés

${\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

ahol $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ a $2\times 2$-es komplex mátrixok halmazát jelöli, egy valós injektív lineáris leképezés. Tehát, $\varphi$-nek a $\mathbb {S} ^{3}$-ra vett korlátozása a 3-gömb beágyazása $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ egy kompakt részsokaságába, pontosabban $\varphi (\mathbb {S} ^{3})=\operatorname {SU} (2)$.

Ennek következtében, $\mathbb {S} ^{3}$ diffeomorf $\operatorname {SU} (2)$-vel, mely bizonyítja, hogy $\operatorname {SU} (2)$ egyszerűen összefüggő, $\mathbb {S} ^{3}$ pedig ellátható egy olyan struktúrával, mely egy kompakt, összefüggő Lie-csoporttá teszi.

Kapcsolata az egységkvaterniókkal és a térbeli forgatásokkal

Az egységhosszú kvaterniókat röviden egységkvaternióknak hívjuk, és az $\operatorname {SO} (3)$ csoportot generálják. Az általánosan megadott $\operatorname {SU} (2)$ mátrix

${\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )$

leképezhető a következő formájú kvaternióba:

$a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}.$

Ez a leképezés egy csoportizomorfizmus, a mátrix determinánsa pedig pontosan a kvaternió normája, tehát $\operatorname {SU} (2)$ izomorf az egységkvaterniók csoportjához.

Minden egységkvaternió megfelel egy háromdimenziós térbeli forgatásnak, az egységkvaterniók szorzata pedig a hozzájuk tartozó forgatások kompozíciójának. Továbbá, bármely háromdimenziós térbeli forgatás pontosan kettő különböző egységkvaternióval írható le. Pontosabban megfogalmazva létezik egy 2:1 szürjektív homomorfizmus $\operatorname {SU} (2)$ és $\operatorname {SO} (3)$ között. Ennek következtében, $\operatorname {SO} (3)$ izomorf az $\operatorname {SU} (2)/\{\pm I\}$ faktorcsoporthoz, $\operatorname {SU} (2)$ az $\operatorname {SO} (3)$ univerzális fedése, továbbá az $\operatorname {SO} (3)$-at definiáló sokaság létrehozható, ha $\mathbb {S} ^{3}$ antipodális pontjait megfeleltetjük egymásnak.

Az SU(3) csoport

Az $\operatorname {SU} (3)$ egy 8-dimenziós valós egyszerű Lie-csoport, mely olyan $3\times 3$-as unitér mátrixokat tartalmaz, melyek determinánsa egy.

Topológiai tulajdonságai

Az $\operatorname {SU} (3)$ csoport egyszerűen összefüggő és kompakt. A csoport topológiai struktúrája megérthető abból a tulajdonságából, hogy tranzitív módon hat az $\mathbb {S} ^{5}$ egységgömbre a $\mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}$ térben. A gömb bármelyik pontjának stabilizátora izomorf $\operatorname {SU} (2)$-vel, amely topológiailag a 3-gömb. Ebből következik, hogy $\operatorname {SU} (3)$ egy fibrált nyaláb, melynek bázistere $\mathbb {S} ^{5}$, fibruma (vagy rostja) pedig $\mathbb {S} ^{3}$. Mivel a fibrum és a bázistér is egyszerűen összefüggő, ebből következik, hogy $\operatorname {SU} (3)$ is egyszerűen összefüggő.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Special unitary group című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Hall, Brian C.. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 2nd, Graduate Texts in Mathematics, Springer (2015). ISBN 978-3319134666 

Lásd még

• Az SU(2) ábrázoláselmélete részletesebben az angol Wikipédián