Kommutátor (gyűrűelmélet)

A kommutátor a matematikában, azon belül az absztrakt algebrában azt méri, hogy két gyűrűelem egymással kommutál-e, azaz a két különböző sorrendben vett szorzatuk felcserélhető-e. Két elem kommutátora akkor és csak akkor triviális, ha a két elem kommutál.

Definíció

Legyen A és B egy olyan matematikai struktúra két eleme, melyben a szorzás és a kivonás is értelmezve van. Ekkor A és B kommutátorán a kétféle sorrendű szorzatuk különbségét értjük:

$[A,B]:=AB-BA\,.$

Ha valamely A és B elemekre $[A,B]=AB-BA=0$, akkor azt mondjuk, hogy A és B felcserélhető, vagy kommutál. Ha valamely S struktúra minden A,B elemére $[A,B]=AB-BA=0$, akkor azt mondjuk, hogy az S struktúra kommutatív.

Példák

1. Az egész, racionális, valós és komplex számok szorzása kommutatív, azaz tetszőleges $\alpha$ és $\beta$ számok esetén $\alpha \beta =\beta \alpha$, így a kommutátor eltűnik.
2. A funkcionálanalízisben (illetve annak kvantummechanikai alkalmazásában) nagy jelentőségű az operátorok kommutátora. Legyen H valamilyen vektortér, és A, B ennek operátorai (azaz önmagára való lineáris leképezései). Ekkor a szorzás a leképezések egymásutáni alkalmazása. A két operátor felcserélhetősége azt jelenti, hogy a H vektortér minden x elemére $ABx=BAx$. Az operátorok szorzása általában nem kommutatív.
3. A véges dimenziós vektorterek operátorai (bázis választásával) mátrixokkal reprezentálhatók. A mátrixok szorzása szintén nem kommutatív.
4. Legyen A egy asszociatív algebra valamely K test felett. Ekkor a fent definiált kommutátor rendelkezik a Lie-zárójel tulajdonságaival, és ezzel a zárójellel A Lie-algebra lesz.

Források

• Brown, Arlen; Pearcy, Carl (1966. november 28.). „Multiplicative commutators of operators”. Canadian Journal of Mathematics 18 (4), 737. o. (Hozzáférés: 2022. július 25.) 

Kapcsolódó szócikkek

• Kommutátor (csoportelmélet) – additív struktúra nélküli, tisztán multiplikatívan értelmezett kommutátorfogalom