Egyszerű csoport

A csoportelméletben egyszerű csoportnak nevezzük az olyan csoportot, amelynek nincsen nemtriviális normálosztója. Egyszerű csoportoknak tehát azokat a $G$ csoportokat nevezzük, amelyekre $N\triangleleft G\implies N=\{1\}\,{\text{vagy}}\,N=G$.

A véges egyszerű csoportok osztályozása, amely 2008-ban ért véget, a matematika történetének kiemelkedő eredménye.

Példák

• Egyszerű csoport minden prímrendű ciklikus csoport. Az Abel-csoportok közül csak ezek az egyszerű csoportok.
• Egyszerű csoport az $A_{n}$ alternáló csoport minden $n\geq 5$-re.
• Az egész számok páros permutációiból álló $A_{\infty }$ végtelen alternáló csoport példa végtelen egyszerű csoportra.

Összefüggés a feloldható csoportokkal

A Feit–Thompson-tétel értelmében a páratlan rendű véges csoportok mindig feloldhatók, ezért egy egyszerű csoport csak akkor lehet páratlan rendű, ha kommutatív, ami csak akkor lehet, ha a csoport prímrendű ciklikus csoport. Az összes többi egyszerű csoport rendje páros.

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK