Általános lineáris csoport

Általános lineáris csoportnak (vagy egyszerűen lineáris csoportnak) nevezzük és $GL(V)$-vel jelöljük a $V$ (véges vagy végtelen dimenziós) vektortér invertálható lineáris transzformációinak csoportját. (A szokásos jelölésben a GL az angol 'általános lineáris' jelentésű general linear szavak rövidítése.) Ha $V$ véges dimenziós vektortér a $K$ test felett, akkor szokás a $GL(n,K)$ vagy a $GL_{n}(K)$ jelölést használni $GL(V)$ helyett (ahol $n$ a vektortér dimenziója), ami értelmes, hiszen a $K$ feletti $n$-dimenziós vektorterek izomorfak egymással, és izomorf vektorterek transzformációcsoportjai is nyilván izomorfak. Ha $K$ véges test, amelynek elemszáma $q$, akkor a $GL(n,K)$ helyett szokásos a $GL(n,q)$ jelölés is. (Itt $q$ nyilván prímhatvány.)

Általános lineáris csoport mint mátrixok szorzáscsoportja

A véges dimenziós esetben $GL(n,K)$ elemei megfeleltethetők $K$ feletti $n\times n$-es invertálható mátrixoknak, és így $GL(n,K)$ megegyezik (izomorf) az ezek alkotta csoporttal. Ez a reprezentáció gyakran megkönnyíti a $GL(n,K)$ elemeivel való számolást.

Példák

• $GL(2,\mathbb {R} )$ a sík lineáris transzformációinak csoportja.
• $GL(3,8)$ a nyolcelemű test feletti $3\times 3$-as, nemnulla determinánsú mátrixok szorzáscsoportja.

Elemszám

Ha $K$ végtelen test, vagy $V$ végtelen dimenziós, $K$ felett, akkor $GL(V)$ végtelen rendű csoport. Azonban véges n és q esetén $GL(n,q)$ is véges, mégpedig

$\displaystyle |GL(n,q)|=\prod _{j=1}^{n}\left({q^{n}-q^{j-1}}\right)$

Ezt úgy láthatjuk be, hogy megszámoljuk, hány $n\times n$-es invertálható mátrixot állíthatunk össze a q elemű test elemeiből. Egy ilyen mátrix első sorában bármilyen n-es állhat, kivéve a csupa nullából állót; az ilyenek száma $q^{n}-1$. A második sorban bármilyen n-es állhat, ami az elsőnek nem skalárszorosa; ilyenekből $q^{n}-q$ darab van. A harmadikban ismét csak bármilyen n-es állhat, ami az első kettőnek nem skalárszorosa; ilyenekből $q^{n}-q^{2}$ darab van. Ugyanezt a gondolatmenetet folytatva a j-edik sorba $q^{n}-q^{j-1}$ n-est választhatunk. Mivel az egyes sorokat a fenti feltételek mellett egymástól függetlenül tölthetjük meg, az összes lehetséges mátrix száma a fenti variációk szorzata, ami éppen az igazolni kívánt összefüggést adja.

Néhány konkrét véges általános lineáris csoport

Alaptest rendje	Mátrixok rendje	Csoport szokásos elnevezése	Csoport rendje
2	1	Triviális csoport	$1$
3	1	$\mathbb {Z} _{2}$, ötelemű ciklikus csoport	$2$
4	1	$\mathbb {Z} _{3}$, ötelemű ciklikus csoport	$3$
5	1	$\mathbb {Z} _{4}$, ötelemű ciklikus csoport	$4=2^{2}$
2	2	$S_{3}$, harmadfokú szimmetrikus csoport	$6=2\cdot 3$
3	2	$GL(2,3)$ általános lineáris csoport	$48=2^{4}\cdot 3$
4	2	$A_{5}$ alternáló csoport	$60=2^{2}\cdot 3\cdot 5$
5	2	$GL(2,5)$ általános lineáris csoport	$240=2^{4}\cdot 3\cdot 5$
2	3	$GL(3,2)$ általános lineáris csoport	$168=2^{3}\cdot 3\cdot 7$

Források

• Vipul Naik: General linear group over a field. Groupprops. (Hozzáférés: 2013. november 4.)