Véges csoport

A csoportelméletben véges csoportnak nevezünk egy olyan csoportot, melynek alaphalmaza véges. Véges csoportok gyakran állnak elő matematikai vagy fizikai objektumok szimmetriájának vizsgálatakor, amikor ezek az objektumok csak véges számú struktúra-megőrző transzformációt engednek meg. Fontos példái a ciklikus csoportok és a szimmetrikus csoportok.

A véges csoportok tanulmányozása a csoportelmélet fontos része a 19. századi megjelenése óta. Az egyik legfontosabb részterülete a véges egyszerű csoportok osztályozása, mely 2004-ben fejeződött be arra az esetre, amikor a csoportnak nincs nemtriviális normálosztója.^[1]^[2]^[a]

Példák

Szimmetrikus és permutációcsoportok

Ciklikus csoportok

Bővebben: Ciklikus csoport

Véges Abel-csoportok

Lie-típusú csoportok

Fontosabb tételek

Lagrange-tétel

A Joseph Louis Lagrange után elnevezett tétel kimondja, hogy egy adott $G$ véges csoport bármely $H$ részcsoportjának rendje (tehát az alaphalmaz elemeinek száma) osztója $G$ rendjének. Jelöljük $G$ rendjét $|G|$ -vel, akkor a $|G|/|H|$ természetes számot a $H$ részcsoport indexének hívjuk, jelölése $[G:H]$ . A részcsoport indexe a baloldali mellékosztályai számának felel meg.

A tétel következménye, hogy $G$ bármely $g$ elemének rendje (tehát egy olyan $n$ természetes szám, melyre $g^{n}=e$ , ahol $e$ a csoport egységeleme) mindig osztja a csoport rendjét.^[4]

Sylow-tételek

Cayley-tétel

Burnside-tétel

Feit–Thompson-tétel

Bővebben: Feit–Thompson-tétel

Osztályozása

Megjegyzések

↑ Az osztályozás 2008-ban mindenesetre egy korábbi kisebb hiba miatt tovább bővült.^[3]

Jegyzetek

↑ Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D. (2004). „The classification of quasithin groups. I: Structure of strongly quasithin K-groups”. Mathematical Surveys and Monographs 111, Kiadó: Americal Mathematical Society.
↑ Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D. (2004). „The classification of quasithin groups. II: Main theorems: the classification of simple QTKE-groups”. Mathematical Surveys and Monographs 112, Kiadó: Americal Mathematical Society.
↑ Harada, Koichiro; Solomon, Ronald (2008). „Finite groups having a standard component L of type M₁₂ or M₂₂”. Journal of Algebra 319 (2), 621–628. o. ISSN 0021-8693.
↑ https://www.cs.bme.hu/~szeszler/bsz2/csoport.pdf

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Finite group című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[4] Az osztályozás 2008-ban mindenesetre egy korábbi kisebb hiba miatt tovább bővült.^[3]

[1] Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D. (2004). „The classification of quasithin groups. I: Structure of strongly quasithin K-groups”. Mathematical Surveys and Monographs 111, Kiadó: Americal Mathematical Society.

[2] Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D. (2004). „The classification of quasithin groups. II: Main theorems: the classification of simple QTKE-groups”. Mathematical Surveys and Monographs 112, Kiadó: Americal Mathematical Society.

[3] Harada, Koichiro; Solomon, Ronald (2008). „Finite groups having a standard component L of type M₁₂ or M₂₂”. Journal of Algebra 319 (2), 621–628. o. ISSN 0021-8693.

[5] ttps://www.cs.bme.hu/~szeszler/bsz2/csoport.pdf

[1]

[2]

[a]

[4]

[3]

Sablon:Csoportelmélet m v sz Csoportelmélet
Csoport · Részcsoport · Normálosztó · Faktorcsoport · Csoporthatás · Csoporthomomorfizmus · Kommutátor · Mag · Képtér
Csoportfajták	Egyszerű · Véges · Végtelen · Folytonos · Multiplikatív · Additív · Abel · Nilpotens · Feloldható
Véges csoportok és fontos tételeik	Ciklikus csoport Z_n Szimmetrikus csoport S_n Alternáló csoport A_n Diédercsoport D_n (Klein-csoport D₂) Kvaterniócsoport Q₈ p-csoport elemi Abel-csoport Frobenius-csoport Hall-részcsoport Schur-multiplikátor Cauchy-tétel Lagrange-tétel Sylow-tételek Feit–Thompson-tétel Véges egyszerű csoportok osztályozása: ciklikus, alternáló, Lie-típusú, sporadikus
Diszkrét csoportok és rácsok	Egész számok ( $\mathbb {Z}$ ) Szabad csoport Moduláris csoportok Aritmetikus csoport Hiperbolikus csoport
Topologikus és Lie-csoportok	Kör Általános lineáris GL(n) Speciális lineáris SL(n) Ortogonális O(n) Euklideszi E(n) Unitér U(n) Speciális ortogonális SO(n) Speciális unitér SU(n) Szimplektikus Sp(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Lorentz Poincaré Konformális
Algebrai csoportok	Lineáris algebrai csoport Reduktív csoport Elliptikus görbe Abel-varietás