Véges csoport
Ez a szócikk/szakasz most épül, még dolgoznak az első verzión! |
A csoportelméletben véges csoportnak nevezünk egy olyan csoportot, melynek alaphalmaza véges. Véges csoportok gyakran állnak elő matematikai vagy fizikai objektumok szimmetriájának vizsgálatakor, amikor ezek az objektumok csak véges számú struktúra-megőrző transzformációt engednek meg. Fontos példái a ciklikus csoportok és a szimmetrikus csoportok.
A véges csoportok tanulmányozása a csoportelmélet fontos része a 19. századi megjelenése óta. Az egyik legfontosabb részterülete a véges egyszerű csoportok osztályozása, mely 2004-ben fejeződött be arra az esetre, amikor a csoportnak nincs nemtriviális normálosztója.[1][2][a]
Példák
[szerkesztés]Szimmetrikus és permutációcsoportok
[szerkesztés]Ciklikus csoportok
[szerkesztés]Véges Abel-csoportok
[szerkesztés]Lie-típusú csoportok
[szerkesztés]Fontosabb tételek
[szerkesztés]Lagrange-tétel
[szerkesztés]A Joseph Louis Lagrange után elnevezett tétel kimondja, hogy egy adott véges csoport bármely részcsoportjának rendje (tehát az alaphalmaz elemeinek száma) osztója rendjének. Jelöljük rendjét -vel, akkor a természetes számot a részcsoport indexének hívjuk, jelölése . A részcsoport indexe a baloldali mellékosztályai számának felel meg.
A tétel következménye, hogy bármely elemének rendje (tehát egy olyan természetes szám, melyre , ahol a csoport egységeleme) mindig osztja a csoport rendjét.[4]
Sylow-tételek
[szerkesztés]Cayley-tétel
[szerkesztés]Burnside-tétel
[szerkesztés]Feit–Thompson-tétel
[szerkesztés]Osztályozása
[szerkesztés]Megjegyzések
[szerkesztés]Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D. (2004). „The classification of quasithin groups. I: Structure of strongly quasithin K-groups”. Mathematical Surveys and Monographs 111, Kiadó: Americal Mathematical Society.
- ↑ Aschbacher, Michael; Smith, Stephen D. (2004). „The classification of quasithin groups. II: Main theorems: the classification of simple QTKE-groups”. Mathematical Surveys and Monographs 112, Kiadó: Americal Mathematical Society.
- ↑ Harada, Koichiro; Solomon, Ronald (2008). „Finite groups having a standard component L of type M12 or M22”. Journal of Algebra 319 (2), 621–628. o. ISSN 0021-8693.
- ↑ https://www.cs.bme.hu/~szeszler/bsz2/csoport.pdf
Fordítás
[szerkesztés]Ez a szócikk részben vagy egészben a Finite group című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.