Kronecker-delta

A Kronecker-delta (másként Kronecker-szimbólum vagy diszkrét Dirac-delta) matematikai kétváltozós, általában egész számok függvénye, s amelynek értéke 1, ha a két szám egyenlő, minden más esetben 0. Így például $\delta _{12}=0$, de $\delta _{33}=1$. Jelölése δ_ij, és inkább jelölési rövidítésnek, mint függvénynek tekintik. A függvényt Leopold Kronecker (1823–1891) német matematikusról nevezték el.

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{ha }}i=j\\0,&{\mbox{ha }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

Más jelölések

Az Iverson-féle zárójeles jelölés használatával:

$\delta _{ij}=[i=j]\,$

Gyakran a $\delta _{i}$ jelölést használják:

$\delta _{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{ha }}i=0\\0,&{\mbox{ha }}i\neq 0\end{matrix}}\right.$

A lineáris algebrában tenzornak tekintik és így írják: $\delta _{j}^{i}$.

Digitális jelfeldolgozás

Ugyanez a gondolat a digitális jelfeldolgozásban is megjelenik, és egy egész számokon értelmezett függvényként reprezentálják:

$\delta (n)={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}$

Ezt a függvényt impulzusfüggvénynek vagy egységimpulzusnak nevezik. Ha a jelfeldolgozás egy elemét éri, akkor az outputot az adott elem impulzusválaszának hívják.

Tulajdonságok

• $j\in \mathbb {Z}$:

$\sum _{i=-\infty }^{\infty }\delta _{ij}a_{i}=a_{j}.$

• Ha az egészeket mértéktérnek tekintjük, és ellátjuk a számlálómértékkel, ekkor ez a tulajdonság megegyezik a Dirac-deltát definiáló tulajdonsággal:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y),$

A Dirac-deltát a Kronecker-delta analógiájára nevezték el. A jelfeldolgozásban aszerint tesznek köztük különbséget, hogy az idő folytonos-e, vagy diszkrét. Megállapodás szerint $\delta (t)\,$ folytonos időt jelöl (Dirac), és az olyan argumentumok, mint i, j, k, l, m, és n a diszkrét idő számára vannak fenntartva (Kronecker). Egy másik elterjedt gyakorlat szerint a diszkrét sorozatokat szögletes zárójellel jelölik, így:  $\delta [n]\,$.

A Kronecker-delta a matematika több területén is felbukkan.

Lineáris algebra

A lineáris algebrában az identitásmátrix felírható $\delta _{ij}\,$ alakjában.

Ha a Kronecker-deltát tenzornak tekintjük, akkor így írható fel:

$\delta _{j}^{i}$

ahol i kovariáns, és j kontravariáns index.

Ez az (1,1) tenzor reprezentálja:

• az identitást, mint lineáris leképezést
• a nyomot
• a $V^{*}\otimes V\to K$ skaláris szorzatot
• a $K\to V^{*}\otimes V$ leképezést, ami a skaláris szorzatot a külső szorzatok összegeként reprezentálja.

A Kronecker-delta kiterjesztései

Több dimenzióban hasonlóan definiálhatunk egy többváltozós függvényt:

$\delta _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}=\prod _{k=1}^{n}\delta _{i_{k}j_{k}}.$

Ez a függvény akkor és csak akkor veszi fel az 1 értéket, ha a felső indexek megegyeznek az alsókkal, különben nulla.

Reprezentáció integrálokkal

A komplex függvénytanból ismert reziduumok felhasználásával a Kronecker-delta minden $n$-re reprezentálható ezzel az integrállal:

$\delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint z^{x-n-1}dz,$

ahol az integrálási út pozitív forgásirányban (az óramutató járásával ellentétes irányban) megkerüli a nullát.

Ez egy elforgatással a következő formában is írható:

$\delta _{x,n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\phi }d\phi ,$

Egyéb reprezentációi

A Kronecker-delta felírható két diszkrét Heaviside-függvény különbségeként az alábbi módon:

$\delta (n)=\epsilon (n)-\epsilon (n-1)$