A komplex függvénytanban a reziduum a Laurent-sorok mínusz egyedik együtthatója. Fontosságát a reziduumtételnek köszönheti, ami lehetővé teszi a komplex értékű függvények komplex síkbeli görbe menti integráljának kiszámítását. Ha a görbével valós intervallumot közelítünk, akkor valós integrálok számításához is hasznos eszközt kapunk.
Legyen
tartomány,
izolált pont
-ben és
holomorf. Ekkor minden
pontnak van egy pontozott környezete,
, ami relatív kompakt
-ben, ahol
holomorf. Ekkor
Laurent-sorba fejthető
-ban:
, és ekkor
reziduuma
-ban
.
Riemann-féle számgömb[szerkesztés]
A fenti definíció kiterjeszthető a
Riemann-féle számgömbre is. Legyen ismét
diszkrét halmaz
-ben és
holomorf függvény. Ekkor minden
mit
-ra legyen ugyanaz a definíció, mint az előbb. Ha
, akkor a reziduumot a
![{\displaystyle \operatorname {Res} _{\infty }(f):=-c_{-1}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\gamma }f(z)dz\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2db6508d021ee28a1934d9c263a2beedf60ec118)
helyettesítéssel definiáljuk, ahol
egy elég nagy sugarú, óramutató járása szerint irányított kör, és
a Laurent-sor mínusz egyedik együtthatója.
- Legyen
tartomány, és
holomorf függvény
-ban. Ekkor a Cauchy-integráltétel miatt
reziduuma
-ban nulla.
- Az integrálos ábrázolás szerint az
differenciálforma reziduumáról is beszélhetünk.
- Teljesül a reziduumtétel, hogy a zárt görbe menti integrál csak a görbén belül levő szingularitásoktól, az ottani reziduumoktól és az azok körüli körülfordulási számtól függ.
- Ha
egy nyílt környezetében holomorf, akkor
.
- Ha
, akkor
-nek elsőrendű pólusa van
-ban, és ott
.
- A logaritmikus derivált szabálya és a linearitás miatt
, mivel
-nal elsőrendű nullhelye van
-ben.
- A gammafüggvénynek elsőrendű pólusa van
-ben, ahol
és ott a reziduuma
.
A komplex értékű függvények reziduuma sokszor a definíciónál könnyebben is kiszámítható. Legyenek
komplex függvények, és keressük a reziduumot a-ban!
- A reziduumképzés lineáris
mint alaptest fölött, vagyis minden
-re:
![{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}\left(\lambda f+\mu g\right)=\lambda \operatorname {Res} _{a}f+\mu \operatorname {Res} _{a}g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b0264bebde8c94cb7585411c1defc977d2ab6f4)
- Ha
-nek
-ban elsőrendű pólusa van, akkor:
![{\displaystyle \textstyle \operatorname {Res} _{a}f=\lim _{z\rightarrow a}(z-a)f(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c74f891c5003be143bcd254338e1ce589b5647)
- Ha
-nek elsőrendű pólusa van
-ban, és
ugyanitt holomorf:
![{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}gf=g(a)\operatorname {Res} _{a}f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ade30c7608e570b9e451d54dbe6453914137b39)
- Ha
-nek
-ban elsőrendű nullhelye van:
![{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}{\tfrac {1}{f}}={\tfrac {1}{f'(a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09e92ea5d009af26b7cdd44358780819c0eb7d79)
- Ha
-nek
-ban elsőrendű nullhelye van, és
ugyanitt holomorf:
![{\displaystyle \operatorname {Res} _{a}{\tfrac {g}{f}}={\tfrac {g(a)}{f'(a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/018292d8fc7f49e398940e9b342d6f694c8ff0e7)
- Ha
-nek
-ban
-edrendű pólusa van: :![{\displaystyle \textstyle \operatorname {Res} _{a}f={\tfrac {1}{\left(n-1\right)!}}\lim _{z\rightarrow a}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial z^{n-1}}}[(z-a)^{n}f(z)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1fa03bad01fb16143d3b6683db8b057884134b)
- Ha
-nek
-ban
-edrendű nullhelye van: :
.
- Ha
-nek
-ban
-edrendű nullhelye van, és
ugyanitt holomorf:
.
- Ha
-nek
-ban
-edrendű pólusa van: :
.
- Ha
-nek
-ban
-edrendű pólusa van és
ugyanitt holomorf:
.
- Ha a
-beli reziduum kell, akkor:
. Ekkor a
helyettesítéssel:
![{\displaystyle f(w)\mathrm {d} w=f({\tfrac {1}{z}})\mathrm {d} {\tfrac {1}{z}}=-{\tfrac {1}{z^{2}}}f({\tfrac {1}{z}})\mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4005654b52a4f9a70fff120eade6eebed9fbf5a4)
Az
logaritmikus derivált az elméletben is kapcsolódik a reziduumtételhez.
Legyen
test, és
egy egyszerű összefüggő reguláris zárt görbe
fölött! Ekkor minden
közrezárt elemhez létezik egy kanonikus leképezés:
![{\displaystyle \operatorname {res} _{x}\colon \Omega _{K(X)/K}\to K,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae86d12031f99d3b5a8b5571693aacb219d1a01)
ami minden meromorf differenciálformához hozzárendeli az
-beli reziduumát.
Ha
-racionális elem és
lokális uniformizálandó, akkor a reziduumleképezés explicit módon is megadható: Hogyha
meromorf differenciálforma és
lokális ábrázolás, és még
![{\displaystyle f=\sum _{k=-N}^{\infty }a_{k}t^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6d924387e992700e39f63dde637189c9442312)
Laurent-sora
-nek, akkor
![{\displaystyle \operatorname {res} _{x}\omega =a_{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/556b6a03071c85af513de558a96fb178b057bc1b)
Ez
esetén megegyezik a függvénytani definícióval.
A reziduumtétel analógja is teljesül:
Minden
meromorf differenciálformára a reziduumok összege nulla:
![{\displaystyle \sum _{x\in X}\operatorname {res} _{x}\omega =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69203a9bf07b4e46c71ede5be7b4783554e6c042)
- Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2000.
- A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 Online
- John Tate, Residues of differentials on curves. Annales scientifiques de l'É.N.S. 4e série, tome 1, no 1 (1968), S. 149–159. DJVU/PDF