Logaritmikus derivált

A logaritmikus derivált egy függvény logaritmusának deriváltját jelenti, definíció szerint ${\frac {f'}{f}}\!$, ahol f ′ az f függvény deriváltja

Ha f a valós x változó f(x) függvénye, és valós, szigorúan pozitív értékeket vesz fel, akkor egyenlő az ln(f) deriváltjával, vagy az f természetes logaritmusának a deriváltjával. Ez a láncszabályból következik.

Alapvető tulajdonságok

Lényeges tulajdonsága, hogy nem függ f értékeinek mértékegységétől.

Közgazdaságtanban ezt rugalmasságnak szokás nevezni.

A valós logaritmus több tulajdonsága is vonatkozik a logaritmikus deriváltra, még abban az esetben is, amikor a függvény értékei nem pozitív valós számok.

Például, egy szorzat logaritmusa, az egyes tagok logaritmusának az összege, kapjuk:

$(\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.\!$

Az általánosított Leibniz-törvényt is alkalmazhatjuk egy szorzat deriváltjára:

${\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.\!$

Így bármely függvényre igaz, hogy egy szorzat logaritmikus deriváltja az egyes tagok logaritmikus deriváltjának az összege (ha azok definiáltak). Hasonlóan (valójában ez az előbbiekből következik), egy függvény reciprokának a logaritmikus deriváltja a függvény logaritmikus deriváltjának a negáltja:

${\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},\!$

mivel egy pozitív valós szám reciprokának a logaritmusa, a szám logaritmusának a negáltja. Még általánosabban, egy hányados logaritmikus deriváltja, az osztandó és az osztó logaritmikus deriváltjainak a különbsége:

${\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},\!$

Egy másik irányban általánosítva, egy hatvány logaritmusa (valós, állandó kitevővel) az alap logaritmikus deriváltjának és az exponens szorzata: ${\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},\!$ Összefoglalva, mind a deriváltnak, mind a logaritmusnak van szorzatszabálya, reciprokszabálya, hányadosszabálya, és kitevőszabálya; mindegyik szabály kapcsolódik a logaritmikus deriválthoz.

Derivált számítás logaritmikus deriválttal

A logaritmikus derivált alkalmazása leegyszerűsítheti a derivált számítást, ahol szükség van a szorzatszabályra. A folyamat a következő: tegyük fel, hogy ƒ(x) = u(x)v(x), és szeretnénk kiszámolni ƒ'(x)-et. Ahelyett, hogy közvetlenül számolnánk, a logaritmikus deriválttal számolunk:

${\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.$

ƒ-fel végigszorozva, lesz ƒ':

$f'=f\left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\right).$

Ez a technika akkor nagyon hasznos, a ƒ sok tényező szorzata. Ez a technika lehetővé teszi ƒ' kiszámítását, minden egyes tényező logaritmikus deriváltjának összegezésével, és megszorozva ƒ-fel.

Példák

• Az exponenciális növekedés és az exponenciális csökkenés, mind olyan folyamatok, ahol a logaritmikus derivált konstans.
• Pénzügyi matematikában, a görög  λ a derivatív ár logaritmikus deriváltja.

Irodalom

• Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 978-963-279-026-8  

Kapcsolódó szócikkek

• Derivált
• Szorzatszabály
• Reciprokszabály
• Hányadosszabály
• Kitevőszabály
• Exponenciális növekedés
• Exponenciális csökkenés
• http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/logdiffdirectory/LogDiff.html
• http://ltcconline.net/greenl/courses/116/explog/logderivative.htm