Reziduumtétel

A reziduumtétel a komplex függvénytan legfontosabb tételeinek egyike. A Cauchy-féle integráltétel és a Cauchy-integrálformula közös általánosítása. Eszközt ad egy tartományon az izolált szingularitásait kivéve holomorf függvény görbe menti integráljának kiszámításához, ha ismerjük továbbá a következőket: a függvény pólusokbeli reziduumai, a tartomány által tartalmazott lánc, és annak körülfordulási száma. Nemcsak elméleti jelentősége van, hanem valós integrálok kiszámításához is felhasználható.

A tétel kimondása

Ha $D\subseteq \mathbb {C}$ tartomány, $D_{f}$ véges sok izolált pont halmaza $D$-ben, és $f\colon D\setminus D_{f}\to \mathbb {C}$ holomorf, akkor minden nullhomológ $\Gamma \subset D$ ahol még $\operatorname {trace} \,\Gamma \cap D_{f}=\emptyset$ és $\operatorname {ind_{\Gamma }}$ a görbe körülfordulási száma:

${\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }f=\sum \limits _{a\in D_{f}}\operatorname {ind} _{\Gamma }(a)\operatorname {Res} _{a}f$

A jobb oldal mindig véges, mivel $\Gamma$ nullhomológ, tehát $\operatorname {Int} \,\Gamma$ relatív kompakt $D$-ben, így korlátos.

• Ha a $D_{f}$-beli pontokban a szingularitások megszüntethetők, akkor itt a reziduumok eltűnnek, és visszakapjuk Cauchy integráltételét:

$\int _{\Gamma }\,f=0.$

• Ha $f$ holomorf $D$-ben és $z\in D$, és $\textstyle \zeta \mapsto {\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}$-nak elsőrendű pólusa van $z$-ben$f(z)$ reziduummal, akkor visszakapjuk a Cauchy-integrálformulát:

${\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta =\operatorname {ind} _{\Gamma }(z)f(z).$

A nullhelyeket és a pólusokat számoló integrál

Ha $f\not \equiv 0$ meromorf $D$-ben, és $N$ f nullhelyeinek, $P$ pólusainak halmaza, és $\operatorname {trace} \,\Gamma \cap \left(N\cup P\right)=\emptyset$, akkor a reziduumtétel felhasználásával kapjuk:

${\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }{\frac {f'}{f}}=\sum \limits _{a\in N\cup P}\operatorname {ind} _{\Gamma }(a)\operatorname {ord} _{a}f$

ahol

$\operatorname {ord} _{a}f:={\begin{cases}k,&{\mbox{ ha }}f{\mbox{-nek }}a{\mbox{-ban }}k{\mbox{-adrendű nullhelye van }}\\-k,&{\mbox{ ha }}f{\mbox{-nek }}a{\mbox{-ban }}k{\mbox{-adrendű pólusa van}}\\0,&{\mbox{különben}}\end{cases}}$

$f$ null-, illetve pólushelyeinek rendje $a$-ban. A logaritmikus derivált reziduumának számítási szabályával

$\operatorname {ord} _{a}f=\operatorname {Res} _{a}{\frac {f'(z)}{f(z)}}$.

Alkalmazásai

A reziduumtétellel valós improprius integrálok is számíthatók. Ehhez az integrációs tartományt egyre bővebb véges valós intervallumokkal közelítik, és ezeket az intervallumokat zárt görbévé egészítik ki a komplex síkon. A görbét úgy konstruálják, hogy a valós szakaszokon kívül eső részeken a görbe menti integrál a nullához tartson. A módszer használható úgy is, hogy a komplex síkot egy végtelen ponttal egészítik ki. Az elméleti fizikában ezt a módszert a reziduumok módszerének nevezik.

Törtracionális függvények

Ha $f={\tfrac {p}{q}}$ a $\operatorname {deg} \,p+2\leq \operatorname {deg} \,q$ és a $q(z)\neq 0$ polinomok hányadosa minden $z\in \mathbb {R}$-re, akkor

$\int _{-\infty }^{\infty }f(z)\mathrm {d} z=2\pi \mathrm {i} \sum _{a\in \mathbb {H} }\operatorname {Res} _{a}f(z)$,

ahol $\mathbb {H} :=\{z\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} z>0\}$ a felső félsík, és egy elég nagy $R\in \mathbb {R}$-re és $\alpha \colon [0,\pi ]\to \mathbb {C}$-val és $t\mapsto Re^{\mathrm {i} t}$-val kiegészítve integrálunk a $\Gamma :=[-R,R]\oplus \alpha$ zárt félkörön, és tekintjük az $R\rightarrow \infty$ határátmenetet. $\left|{\tfrac {p(z)}{q(z)}}\right|\leq {\tfrac {c_{p}|z|^{\operatorname {deg} \,p}}{c_{q}|z|^{\operatorname {deg} \,q}}}\leq {\tfrac {c}{|z|^{2}}}$ miatt egy elég nagy $|z|$-re és a $c,c_{p},c_{q}\in \mathbb {R}$-re a görbe menti integrálokra vonatkozó becsléssel

$\left|\int _{\alpha }f\right|\leq L(\alpha )\cdot \max _{\zeta \in \operatorname {im} \alpha }\left|f(\zeta )\right|\leq \pi R\cdot {\frac {c}{R^{2}}}\rightarrow 0\,(R\rightarrow \infty )$, tehát $\textstyle \int _{\Gamma }f\rightarrow \int _{-\infty }^{\infty }f(z)\mathrm {d} z\,(R\rightarrow \infty )$ és a fenti becslés miatt az utóbbi integrál is létezik.

Példa: Legyen $f\colon \mathbb {C} \setminus \{\pm \mathrm {i} \}\to \mathbb {C}$, $z\mapsto {\tfrac {1}{z^{2}+1}}$ első rendű pólussal $\pm \mathrm {i}$-ben. Ekkor $\operatorname {Res} _{\mathrm {i} }f(z)={\tfrac {1}{2\mathrm {i} }}$, és így $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }f(z)\mathrm {d} z=2\pi \mathrm {i} \cdot {\tfrac {1}{2\mathrm {i} }}=\pi$.

Törtracionális függvények exponenciális függvénnyel

Legyenek $P$ és $Q$ polinomok úgy, hogy $deg(P)+1\leq deg(Q)$, ne legyenek a $Q$ polinomnak valós gyökei, és jelölje a felső félsíkban levő gyökeit (pozitív képzetes rész) $a_{1},\ldots ,a_{k}$. Ekkor minden $\alpha >0$ esetén

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {P(x)}{Q(x)}}\exp(i\alpha x)\mathrm {d} x=2\pi \mathrm {i} \sum _{i=1}^{k}\operatorname {Res} _{a_{i}}f(z)$

ahol $f(z):={\frac {P(z)}{Q(z)}}\exp(i\alpha z)$. Most a $\Gamma$ zárt út $-R$-től $R$-ig megy, majd egy félkörív zárja le az óramutató járásával ellentétes irányban. Most rögzítsünk egy $r>R$ pozitív valós számot, és a félkört burkoljuk az óramutató járásával ellentétes irányban bejárt $-r,r,r+ir,-r+ir$ téglalappal. A függőleges szakaszokat felosztjuk úgy, hogy az osztópontokban $Im(z)={\sqrt {r}}$, és ezután külön kezeljük a felső és az alsó részt. A jobb egyenes alsó részén $\int _{r}^{r+i{\sqrt {r}}}f(z)dz\leq C{\frac {\sqrt {r}}{r}}$, ami nullához tart; hasonlóan nullához tart a bal egyenes alsó részén. Az $Im(z)>{\sqrt {r}}$ esetben $|\exp(i\alpha z)|\leq \exp(-\alpha {\sqrt {r}})$. Ez azt jelenti, hogy a téglalap teljes felső részén nullához tart, és a fenti állítás igaz.

Példa: Legyen ${\frac {x\exp {(2ix)}}{x^{2}+1}}$, ami megfelel az összes fenti követelménynek, mivel gyökei $\pm i$ alakúak. Eszerint:

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x\exp {2ix}}{(x+i)(x-i)}}\mathrm {d} x=2\pi \mathrm {i} \operatorname {Res} _{i}f(z)=i\pi \exp {(-2)}$

Törtracionális függvény nem egész termmel

Legyenek $P$ és $Q$ polinomok, továbbá $\operatorname {deg} \,Q>\operatorname {deg} \,P+\lambda$, ahol $\lambda \in \mathbb {R} ^{+}\backslash \mathbb {Z}$, és ne legyenek a $Q$ polinomnak gyökei $\mathbb {R} ^{+}$-ben, valamint $P/Q$-nak nullában. Ekkor:

$\int _{0}^{\infty }x^{\lambda -1}{\frac {P(x)}{Q(x)}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\sin {(\lambda \pi )}}}\sum _{p\in \mathbb {C} \backslash \mathbb {R^{+}} }\operatorname {Res} _{p}(-z)^{\lambda -1}{\frac {P(z)}{Q(z)}}$

Példa: $f(x)={\frac {x^{3/2-1}}{x^{2}+1}}$, ekkor $\lambda =3/2$, a függvény pólusa van a $\pm i$ helyeken, ezzel a további követelmények is teljesülnek. Ekkor $\operatorname {Res} _{\pm i}f(z)={\frac {(\mp i)^{1/2}}{\pm 2i}}$, tehát

$\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {x}}{1+x^{2}}}\mathrm {d} x=-\pi \left({\frac {\sqrt {-i}}{2i}}+{\frac {\sqrt {i}}{-2i}}\right)={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}$

Trigonometrikus függvények

Legyen $r={\tfrac {p}{q}}$ két polinom hányadosa, ahol $q(x,y)\neq 0$ minden $x,y\in \mathbb {C}$-re, továbbá $x^{2}+y^{2}=1$. Ekkor

${\begin{aligned}&\int _{0}^{2\pi }r(\cos t,\sin t)\mathrm {d} t\\=&\int _{0}^{2\pi }r\left({\frac {e^{\mathrm {i} t}+e^{-\mathrm {i} t}}{2}},{\frac {e^{\mathrm {i} t}-e^{-\mathrm {i} t}}{2\mathrm {i} }}\right)\mathrm {d} t\\=&\int _{\partial \mathbb {E} }{\frac {1}{\mathrm {i} z}}\cdot r\left({\frac {z+{\frac {1}{z}}}{2}},{\frac {z-{\frac {1}{z}}}{2\mathrm {i} }}\right)\mathrm {d} {z}\\=&2\pi \sum _{a\in \mathbb {E} }\operatorname {Res} _{a}\left({\frac {1}{z}}\cdot r\left({\frac {z+{\frac {1}{z}}}{2}},{\frac {z-{\frac {1}{z}}}{2\mathrm {i} }}\right)\right),\end{aligned}}$

ahol $\mathbb {E} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ az egységkörlap. Ekkor az egységkör körülfordulási száma az egységkörlap belsejében 1, és a feltevés szerint nincsenek szingularitások az egységkörvonalon.

Példa: Teljesül

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d} t}{2+\sin t}}=2\int _{\partial \mathbb {E} }{\frac {\mathrm {d} z}{z^{2}+4\mathrm {i} z-1}}=4\pi \mathrm {i} \cdot {\frac {1}{2{\sqrt {3}}\mathrm {i} }}={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}$,

mivel $z\mapsto {\tfrac {1}{z^{2}+4\mathrm {i} z-1}}$-nek elsőrendű pólusa van $\left(-2\pm {\sqrt {3}}\right)\mathrm {i}$-ben, de csak a $\left(-2+{\sqrt {3}}\right)\mathrm {i}$-ben levő pólusa fekszik $\mathbb {E}$-ben, és ott $f$ reziduuma ${\tfrac {1}{2{\sqrt {3}}\mathrm {i} }}$.

Fourier-transzformált

Adva legyen egy $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} )\cap L^{1}(\mathbb {R} )$ függvény, továbbá az $a_{1},...a_{k}\in \mathbb {H}$ pontok, ahol $f\in \mathbb {O} (\{z,\operatorname {Im} z>-\varepsilon \}\cap \{a_{1},...a_{k}\})$, és $\varepsilon >0$. Ekkor van két $C,\delta >0$ szám, hogy $\left|f(z)\right|\leq C\left|z\right|^{-1-\delta }$ elég nagy $\left|z\right|$-re, ekkor minden $x>0$-re

$\int _{-\infty }^{\infty }f(y)e^{\mathrm {i} xy}\mathrm {d} y=2\pi \mathrm {i} \sum _{a\in \mathbb {H} }\operatorname {Res} _{a}(f(z)e^{\mathrm {i} xz}).$

Ugyanez a forma hasonlóan teljesül $x<0$-ra. Ezzel a módszerrel bonyolult Fourier-integrálok számíthatók. A felső félsíkon az integrál eltűnik a Jordan-lemma miatt.

Bizonyítása

A tétel az általános Cauchy-tétel felhasználásával bizonyítható.

Legyenek a $C_{j}$ körök $z_{j}$ középpontú körök, és sugaruk legyen akkora, hogy diszjunktak maradjanak, és benne maradjanak a $D$ tartományban. Vegyük ezeket a köröket a $\gamma$ lánchoz, és nevezzük az így kapott láncot $\gamma _{1}$-nek! Az általános Cauchy-tétellel

$\int _{\gamma _{1}}f(z)\operatorname {d} z=\int _{\gamma }f(z)\operatorname {d} z-\sum _{j}n(\gamma ,z_{j})\int _{C_{j}}f(z)\operatorname {d} z$

Az $f$ függvény reziduumának integrálos alakja:

$a_{-1}^{(j)}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{j}}f(z)\operatorname {d} z$

Ezt behelyettesítve a bizonyítás kész.

Általánosítása

A reziduumtétel kompakt Riemann-felületekre is kiterjeszthető. Egy ilyen felületen értelmezett 1-forma reziduumainak összege nulla.

Következményként adódik Liouville második tétele az elliptikus függvényekről.

Források

• Halász Gábor: Bevezetés a komplex függvénytanba
• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 229.
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 145, Satz 4.1.
• A. P. Yuzhakov: Residue of an analytic function. In: Michiel Hazewinkel Kiadó: Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 Online

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Residuensatz című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.