Holomorf függvények

Négyzetrács holomorf transzformációja. A holomorf függvények nem képezhetnek csak a valós számokra

A holomorf függvény a komplex analízis egy fogalma. Egy komplex függvény holomorf egy nyílt $U\subseteq \mathbb {C}$ halmazon, ha $U$ minden pontjában komplex differenciálható.

A terminológia az ógörög holos (ὅλος) szóból származik, amely azt jelenti egész, s arra utal, hogy a függvény az egész értelmezési tartományán differenciálható. Szokás reguláris függvény néven is hivatkozni rá.

Habár a definíció analóg a valós differenciálhatósággal, a komplex függvénytan megmutatja, hogy ez egy nagyon erős tulajdonság. Olyan jelenségeket produkál, amiknek a valósban nincs megfelelőjük. Ilyen például, hogy tetszőleges sokszor differenciálható, és a halmaz bármely pontja körül hatványsorba fejthető.

Definíció

1. Definíció: Legyen adva az $\Omega \subseteq \mathbb {C}$ nyílt halmaz, és az $f:\Omega \to \mathbb {C}$ leképezés. Ezt akkor mondjuk holomorf függvénynek, ha minden $z_{0}\in \Omega$ pontban létezik a következő határérték

$\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$.

Ezt a határértéket az f függvény z₀-beli (komplex) deriváltjának nevezzük, és f'(z₀)-lal jelöljük.

2. Definíció: $f$ holomorf, ha előáll $z_{0}$ pont $r$-sugarú (alkalmasan választott $r$-rel) környezetében a következő alakban:

$f(z)=f(z_{0})+A(z-z_{0})+\varepsilon _{z_{0},r}(z)$

ahol $A$ komplex szám (természetesen függ $z_{0}$-tól), $\varepsilon _{z_{0},r}$ pedig úgynevezett kisrendű függvény, azaz

$\lim _{z\to z_{0}}{\frac {\varepsilon _{z_{0},r}(z)}{z-z_{0}}}=0$

Ekkor $A=f'(z_{0})$.

3. Definíció: $f$ holomorf egy tartományban, ha minden a tartomány belsejében fekvő zárt görbén vett komplex vonalintegrálja eltűnik, azaz igaz a következő összefüggés:

$\oint f(z)dz=0$

Ez egyébként ekvivalens azzal, hogy megegyező végpontú görbék mentén a komplex vonalintegrál megegyezik, azaz, ha $\gamma _{1},\gamma _{2}$ két görbe, és $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0),\gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)$, akkor

$\int _{\gamma _{1}}f(z)dz=\int _{\gamma _{2}}f(z)dz$

Példák

Holomorf a teljes komplex síkon az identikus leképezés, azaz a $z\mapsto z$ függvény. Általánosabban, a polinomok holomorfak a teljes komplex síkon.

A valós esethez hasonlóan itt is igaz, hogy differenciálható függvények összege, konstansszorosa és szorzata differenciálható. Ebből következik, hogy minden komplex polinomfüggvény is differenciálható a teljes komplex síkon.

Megmutatható, hogy minden komplex hatványsor differenciálható a konvergenciahalmazának belsejében. Ebből következik, hogy az

$\exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

határértékkel definiált exponenciális függvény differenciálható a teljes komplex számsíkon. Vegyük észre, hogy ez a függvény ellentétben a valós esetben megismert tulajdonságaival, nem kölcsönösen egyértelmű, sőt $2\pi$-vel periodikus a függőleges egyenesek mentén, azaz, ha $z_{1}-z_{2}=2n\pi i$, akkor $\exp(z_{1})=\exp(z_{2})$. Ebből következik, hogy inverzét, tehát a logaritmus-függvényt nem tudjuk az egész komplex síkon értelmezni. Ezért minden komplex logaritmusnál meg kell állapodni az értelmezési tartományban! Egy lehetséges konstrukció a következő:

$\Omega =\mathbb {C} \setminus \{a+bi:a\leq 0,b=0\}$

$\log z=\log |z|+i\arg z\ (-\pi <\arg z<\pi )$

A koszinusz és szinusz szögfüggvények holomorfak a komplex síkon, komplex esetben a következőképp definiáljuk őket:

$\cos z={\frac {\exp(iz)+\exp(-iz)}{2}}$

$\sin z={\frac {\exp(iz)-\exp(-iz)}{2i}}$

Hasonlóan a hiperbolikus függvények is holomorfak a teljes komplex síkon.

A törtracionális függvények holomorfak, kivéve a nevező gyökeit, ahol pólusaik vannak. Az egész komplex síkon meromorfak.

A logaritmusfüggvény ága az origóból felvágott komplex síkon. A főágat úgy választják, hogy a síkból a negatív félegyenest hagyják ki.

Ellenpéldák

Sehol sem holomorfak a következő függvények:

• A konjugálás operátor: $z\mapsto {\overline {z}}$
• A valósrész-képzés, illetve képzetesrész-képzés operátor: $a+bi=z\mapsto \Re (z)=a$
• Az abszolútérték: $z\mapsto |z|$

A $z\mapsto |z|^{2}$ csak a 0 helyen komplex differenciálható, de itt sem holomorf, mivel ahhoz egy környezet is kellene. Általánosabban nem holomorfak azok a függvények, amelyeknek az összes értéke valós.

Tulajdonságok

A holomorf függvények folytonosak, létezik primitív függvényük és végtelen sokszor folytonosan differenciálhatóak. Ez lényeges különbség a valós differenciálhatósághoz képest. Holomorf függvények kompozíciója, lineáris kombinációja, szorzata holomorf. Két holomorf függvény hányadosa differenciálható azokban a pontokban, ahol a nevező nem nulla.

Legyen $z_{0}\in \Omega$ és $r=\sup\{d\in \mathbb {R} :|z-z_{0}|<d\Rightarrow z\in \Omega \}$, azaz a legnagyobb nyílt körlap sugara, amely még elfér $\Omega$-ban. Ekkor ha $f$ holomorf az $\Omega$-ban, akkor létezik a $z_{0}$ körüli Taylor-sora, melynek konvergencia-sugara éppen $r$, és ott előállítja a függvényt.

Maximumelv: Egyszeresen összefüggő nyílt tartományon értelmezett nemkonstans holomorf függvény abszolút értékének csak a tartomány szélén lehet lokális maximuma.

Liouville tétele: Egy az egész komplex síkon holomorf függvény pontosan akkor korlátos, ha konstans.

Rouché tétele: Legyen adva egy $\gamma$ Jordan-görbe, és legyen $\Omega$ ennek a belseje. Tegyük fel, hogy $f,g:\Omega \to \mathbb {C}$ két holomorf függvény, melyek folytonosak ${\overline {\Omega }}$-n, valamint tegyük fel, hogy minden $z\in \gamma$ pontra fennáll: $|g\left(z\right)|>|f(z)-g(z)|$. Ekkor a két függvénynek ugyanannyi gyöke van $\Omega$-ban multiplicitással, azaz a többszörös zérushelyeket annyiszor számolva, ahányszoros gyökök.

Cauchy integráltétele: Ha $f(z)$ holomorf, $U\subseteq \mathbb {C}$ egyszeresen összefüggő tartomány, és $\gamma$ zárt Jordan-görbe, akkor

$\int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.$

A tétel teljesül akkor is, ha $U$ csillagszerűen összefüggő, és $\gamma$ zárt út.

Cauchy integrálképlete: Legyen $D:=U_{r}(a)$ $a\in U$ közepű, $r$ sugarú nyílt körlap! Ha $f(z)$ holomorf egy $D$-nél szigorúan bővebb tartományon, akkor minden $z\in D$ és $k\in \mathbb {N} _{0}$ esetén:

$f^{(k)}(z)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{k+1}}}\mathrm {d} \zeta .$

Tehát a határon felvett értékek meghatározzák a teljes függvényt bent is.

Az integrálképlet segítségével bizonyítható, hogy a holomorf tulajdonság ekvivalens a komplex analitikussággal. Azaz, ha egy függvény a $z_{0}$ komplex számban holomorf, akkor komplex analitikus, és megfordítva, ha komplex analitikus, akkor holomorf. A hatványsorok akárhányszor differenciálhatók, és tagonként differenciálhatók.

Az identitásképlet szerint nemcsak a határ határozza meg a holomorf függvényt, hanem minden olyan halmaz elemein felvett érték, aminek torlódási pontja a holomorf tartományba esik. Így egyes valós analitikus függvények egyértelműen kiterjeszthetők holomorf függvényekké.

Tartományhűség: Tartomány holomorf képe tartomány.

Weierstraß tétele: Ha a holomorf függvényekbőlé álló $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sorozat kompakt konvergál az $U$ tartományon az $f$ függvényhez, akkor $f$ újra holomorf, és a határértékképzés felcserélhető a deriválással.

Montel tétele: Ha az $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ holomorf függvények sorozata lokálisan korlátos egy tartományon, akkor van kompakt konvergens részsorozata.

Legyen $u$ harmonikus függvény egy egyszeresen összefüggő tartományon! Ekkor van olyan $v$ függvény, ami szintén harmonikus, és az $\textstyle f\colon x+\mathrm {i} y\mapsto u(x,y)+\mathrm {i} v(x,y)$ függvény holomorf. Ekkor az $u$ és $v$ harmonikus függvények konjugáltak.

Kapcsolat a valós differenciálhatósággal

$\mathbb {C}$ természetes módon kétdimenziós vektortér a valós számok fölött, természetes ortonormált bázisa $\{1,i\}$. Így egy $f\colon U\to \mathbb {C}$ függvénynek az $U\subseteq \mathbb {C}$ nyílt halmazon való differenciálhatósága totális differenciálhatóságot jelent a magasabb dimenziós valós analízis értelmében. Ha $f$ függvény, akkor totális differenciálható a $z_{0}$ pontban, ha van egy $L$ $\mathbb {R}$-lineáris leképezés úgy, hogy

$f(z_{0}+h)=f(z_{0})+L(h)+r(h)$

ahol az $r$ függvény olyan, hogy

$\lim _{h\to 0}{\frac {r(h)}{|h|}}=0$

Most látható, hogy $f$ pontosan akkor komplex differenciálható a $z_{0}$ komplex számban, ha ugyanitt totálisan differenciálható, és $L$ $\mathbb {C}$-lineáris. Ez utóbbi egy erős feltétel. Ez azt jelenti, hogy $L$ mátrixa az $\{1,i\}$ kanonikus bázisban

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

Cauchy-Riemann-differenciálegyenletek

Ha felbontjuk az $f$ függvényt valós és képzetes részére, mint $f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right)+i\,v\left(x,y\right)$, akkor a totális derivált:

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}.$

Megfordítva, egy függvény komplex értelemben differenciálható, ha valós értelmben folytonosan differenciálható, és a fenti $u,v$ függvényekre:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}$

$\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}$

Ekvivalens tulajdonságok

Egy komplex szám egy környezetében ekvivalensek a következők:

1. A függvény komplex differenciálható.
2. A függvény akárhányszor komplex differenciálható.
3. A valós és a képzetes részek megoldják a Cauchy-Riemann-differenciálegyenleteket, és legalább egyszer folytonosan differenciálhatók.
4. A függvény komplex hatványsorba fejthető.
5. A függvény folytonos, és minden zárt út menti integrálja eltűnik.
6. A függvény értékei egy körlap belsejében kiszámíthatók a körvonalon felvett értékekből a Cauchy-integrálképlettel.
7. A függvény valós értelemben differenciálható, továbbá

$\quad {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,$

ahol ${\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}$ a Cauchy-Riemann-operátor, aminek definíciója:

${\tfrac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}:={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {\partial }{\partial x}}+i{\tfrac {\partial }{\partial y}}\right)$

Biholomorf függvények

Egy függvény biholomorf, ha holomorf, bijektív és inverze is holomorf. Egyváltozós függvények esetén ez ekvivalens azzal, hogy a leképezés bijektív és konform. Az implicit függvénytételből következik, hogy ha egy függvény holomorf és bijektív, akkor az inverze is holomorf. Többváltozós esetben ugyanezt Osgood tétele garantálja. Így a bijektív, holomorf függvények biholomorfak.

A kategóriaelmélet szempontjából a biholomorf leképezések izomorfizmusok.

Többváltozós holomorf függvények

Legyen $D\subseteq \mathbb {C} ^{n}$ nyílt halmaz. Az $f\colon D\to \mathbb {C} ^{m}$ leképezés holomorf, ha $f=(f_{1},\dotsc ,f_{m})$ minden részfüggvényében és változójában holomorf. A komplex függvények parciális deriváltjai egyszerűen kezelhetők a Wirtinger-kalkulussal: $\textstyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}$ és $\textstyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{j}}}$ sok szép tulajdonságot mutat.

Így az $f\colon D\to \mathbb {C}$ függvényekre nem teljesül a Cauchy-integráltétel, és az identitástételnek csak egy gyengébb változata adódik. A Cauchy-integrálképlet azonban alkalmazható, ami teljes indukcióval általánosítható. Salomon Bochner 1944-ben bizonyította a Bochner-Martinelli-képletet, ami az integrálképlet további általánosítása.

A komplex geometriában is alkalmazzák a holomorfiát. Így tekintik a Riemann-felületek és a komplex sokaságok egymás közötti holomorf leképezéseit a sima sokaságok közötti valós differenciálható leképezésekkel analóg módon. Emellett az integrációelmélet számára fontos alkalmazások a sima differenciálformákhoz hasonlóan, holomorf differenciálformák néven.

Lásd még

• Meromorf függvények

Források

• Halász Gábor. Bevezető komplex függvénytan (magyar nyelven). ELTE Eötvös Kiadó Kft. (2002) 

• Klaus Jänich: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich deutlich von den folgenden. Unter anderem fehlen ab der dritten Auflage die vier „Stern“-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, riemannschen Flächen, riemannschen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.)
• Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1980, ISBN 3-540-10032-6.
• Funktionentheorie – Eine Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20392-3.
• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie – Komplexe Analysis in einer Veränderlichen. 8. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-77247-6.
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67641-4.
• Eberhard Freitag: Funktionentheorie 2. Riemann’sche Flächen; Mehrere komplexe Variable; Abel’sche Funktionen; Höhere Modulformen. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-87899-5.
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, Heidelberg 2002, ISBN 3-540-41855-5.
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer, Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-40432-3.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Holomorphe Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.