Differenciálható sokaság

A matematikában a differenciálható sokaság egy olyan sokaság, mely lokálisan annyira hasonlít egy vektortérhez, hogy lehetséges rajta differenciál- és integrálszámítást végezni. Bármely sokaság matematikailag leírható egy atlasszal, azaz térképek gyűjteményével. Mivel a térképek értékkészlete egy vektortérben helyezkedik el, ezért lehet olyan leképezéseket létrehozni általuk, melyekre érvényesek a többváltozós differenciálszámítás szabályai. Amennyiben a térképek kompatibilisek egymással, tehát az átmenet két térkép között differenciálható, akkor az egyik térképben végzett számítások megegyeznek a másik térképekben végzett számításokkal, amely így lehetővé teszi a differenciál- és integrálszámítást sokaságokon. Pontosabb megfogalmazásban, a differenciálható sokaság egy globálisan definiált differenciálható struktúrával ellátott sokaság.

Egy differenciálható sokaságban definiált lokális differenciálható struktúra segítségével létrehozhatóak olyan objektumok, melyek kiterjesztik a differenciálhatóság fogalmát olyan nemeuklideszi terekre, melyek nem rendelkeznek globális koordináta-rendszerrel. Például, differenciálható sokaságokon definiálhatóak globálisan differenciálható tangens terek, függvények, vektormezők és tenzormezők.

A differenciálható sokaság a differenciálgeometria és a differenciáltopológia egyik központi fogalma, melynek hatalmas fontossága van az elméleti fizika számos területén. Általában a fizikában alkalmazott differenciálható sokaságok több struktúrával rendelkeznek. Például, klasszikus mechanikában a fázistereket szimplektikus sokaságok, míg az általános relativitáselméletben definiált téridő egy Lorentz-sokaság.

Egy sokaság differenciálhatósága többféleképpen mutatkozhat meg: egy sokaság lehet egyszer folytonosan differenciálható, r-szer differenciálható, tetszőlegesen sokszor differenciálható (tehát sima), vagy analitikus.

Definíció

Differenciálható atlasz

A $(U,\phi )$ és $(V,\psi )$ közötti térképcsere illusztrációja, ahol a felső nagy ellipszis az $M$ topologikus teret, az alsó kisebb ellipszisek pedig $\mathbb {R} ^{n}$ részhalmazait jelölik.

Adott egy topologikus tér $M$, melyen egy térkép egy pár $(U,\phi )$, ahol $U\subseteq M$ egy nyílt részhalmaz, $\phi$ pedig egy homeomorfia:

$\phi :U\to \phi (U)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Ha $m\in U$, akkor a térképet $m$ körüli térképnek is hívjuk. Gyakran nevezik szimplán a $\phi$ homeomorfiát térképnek, feltéve, hogy az értelmezési tartománya $M$ egy nyílt részhalmaza.

Legyen $I$ egy indexhalmaz, akkor $M$ egy atlaszának hívjuk térképek olyan $(U_{i},\phi _{i})_{i\in I}$ gyűjteményét, melyre

$M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$

teljesül. Ha $(U,\phi )$ és $(V,\psi )$ két térkép, melyekre $U\cap V\neq \emptyset$ teljesül, akkor $\mathbb {R} ^{n}$ két részhalmaza között definiálható a következő leképezés:

$\psi \circ \phi ^{-1}\colon \ \phi (U\cap V)\to \psi (U\cap V)$.

Ezek a leképezések konstrukció szerint homeomorfiák. Ha egy atlaszon belül minden ilyen leképezés egy ${\mathcal {C}}^{r}$-diffeomorfizmus (ahol $r\geq 1$), akkor az atlaszt ${\mathcal {C}}^{r}$-differenciálhatónak hívjuk.

Differenciálható struktúra

Két ${\mathcal {C}}^{r}$-differenciálható atlasz akkor ekvivalens, ha az uniójuk szintén egy ${\mathcal {C}}^{r}$-differenciálható atlasz. Az atlaszok ezen ekvivalencia szerinti ekvivalenciaosztályát az $M$ topologikus tér ${\mathcal {C}}^{r}$-differenciálható struktúrájának hívjuk. Ha $r=\infty$, a struktúrát sima struktúrának hívjuk.

Differenciálható sokaság

Amennyiben $M$ topologikus tér Hausdorff, teljesíti a második megszámlálhatósági axiómát és rendelkezik egy differenciálható struktúrával, akkor differenciálható sokaságnak hívjuk. Ha a struktúra sima, akkor sima sokaságról beszélünk. Ha az atlaszon belül minden "térképcsere" ($\psi \circ \phi ^{-1}$) valós analitikus, akkor a sokaságot is valós analitikusnak (${\mathcal {C}}^{\omega }$) hívjuk. A differenciálható sokaságok dimenziója megegyezik a térképek értékkészletének dimenziójával.

Komplex sokaság

Egy sokaság komplex, ha a térképeinek értékkészlete $\mathbb {C} ^{n}$ részhalmazai, és a "térképcserék" holomorf és invertálható függvények, melyek inverze is holomorf.

Példák

• Az Euklideszi vektortér $\mathbb {R} ^{n}$ egy differenciálható sokaság, mely differenciálható atlaszának egyetlen térképe van: az identitásfüggvény.
• A kör és magasabb-dimenziós általánosításai ($n$-gömbök vagy $\mathbb {S} ^{n}$) differenciálható sokaságok.
• Ellenpélda: a lemniszkáta (végtelenjel) nem egy differenciálható sokaság, de még nem is topologikus sokaság.

Vektorok és tenzorok sokaságokon

Egy általános differenciálható sokaság nem rendelkezik az Euklideszi vektorterek affin struktúrájával, viszont lokálisan definiálhatóak olyan terek, amik rendelkeznek vele, így kiterjeszthető a vektor- és tenzormezők fogalma sokaságokra. Egy $\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ leképezés egy adott $t\in \mathbb {R}$ pontban vett deriváltja megadja a leképezéssel parametrizált görbe érintővektorát. Ezt lehetséges általánosítani sokaságokon vett görbék segítségével.

Tangens tér és tangensnyaláb

Legyen $M$ egy differenciálható sokaság, $m\in M$, $\gamma _{1}:(-\epsilon ;\epsilon )\to M$ és $\gamma _{2}:(-{\tilde {\epsilon }};{\tilde {\epsilon }})\to M$ pedig differenciálható leképezések, ahol $\epsilon >0$, ${\tilde {\epsilon }}>0$ és $\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=m$. Azt mondjuk, hogy $\gamma _{1}\sim \gamma _{2}$ (tehát hogy $\gamma _{1}$ és $\gamma _{2}$ ekvivalens), ha valamilyen $m$ körüli $\phi$ térképre

$(\phi \circ \gamma _{1})'(0)=(\phi \circ \gamma _{2})'(0)$,

tehát ha a 0-pontba vett deriváltjaik megegyeznek. Az $m$ pontbeli görbék ezen ekvivalenciarelációja szerinti ekvivalenciaosztályok halmazát az $M$ sokaság $m$ pontbeli tangens terének vagy érintőterének nevezzük, jele pedig $T_{m}M$. A sokaság összes pontjába vett tangens tereinek diszjunkt uniója a sokaság tangensnyalábja, tehát

$TM=\bigsqcup _{m\in M}T_{m}M=\bigcup _{m\in M}\{m\}\times T_{m}M.$

Ha $M$ egy $n$-dimenziós sokaság, akkor bármely pontjába vett tangens tere egy $n$-dimenziós vektortér, a sokaság tangensnyalábja ($TM$) pedig egy $2n$-dimenziós differenciálható sokaság.

Vektormező

A tangensnyaláb segítségével általánosítható a vektormező fogalma differenciálható sokaságokra. A

$\pi _{M}:TM\to M,\quad (m,v)\mapsto m$

leképezést kanonikus projekciónak hívjuk. Az $M$ differenciálható sokaságon értelmezett vektormezők a $TM$ tangensnyaláb differenciálható szelései. Precízebben, $X:M\to TM$ egy vektormező, ha $\pi _{M}\circ X=\operatorname {id} _{M}$. Egy sokaságon értelmezett vektormező tehát a sokaság egy pontjához rendel egy vektort, ami az adott pont tangens terében található.

Létezik egy alternatív definíciója a sima sokaságokon értelmezett vektormezőknek: legyen ${\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ halmaza az összes $M\to \mathbb {R}$ sima függvénynek. Egy vektormező $X:{\mathcal {C}}^{\infty }(M)\to {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$ egy olyan lineáris leképezés, melyre teljesül $X(fg)=fX(g)+X(f)g$ bármely $f,g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M)$-re.

Tenzornyaláb és tenzormező

Mivel egy $M$ sokaság adott $m$ pontjában vett $T_{m}M$ tangens tér egy vektortér, létezik duális tere, mely az összes $T_{m}M\to \mathbb {R}$ lineáris leképezést tartalmazza. Ezt kotangens térnek hívjuk és $T_{m}^{*}M$-ként jelöljük, elemeit pedig kovektornak vagy kovariáns vektornak hívjuk. A kotangens nyaláb ($T^{*}M$) a tangens nyalábhoz hasonlóan a sokaság összes pontjába vett kotangens tereinek diszjunkt uniója.

A tangens és kotangens terek segítségével definiálhatóak magasabb rendű objektumok, úgynevezett tenzorok terei: az $M$ sokaság $m$ pontjában vett $(r,s)$-típusú tenzorok tere a tenzorszorzat segítségével definiálható:

$T_{m}^{(r,s)}M=(T_{m}M)^{\otimes r}\otimes (T_{m}^{*}M)^{\otimes s}$.

Másképp kifejezve $T_{m}^{(r,s)}M$ a $(T_{m}^{*}M)^{\times r}\times (T_{m}M)^{\times s}\to \mathbb {R}$ multilineáris leképezések tere. Ezen definíció szerint az $M$ sokaság $m$ pontjában vett $(1,0)$ típusú tenzorai pontosan $T_{m}M$ elemei, míg a $(0,1)$-tenzorok pontosan $T_{m}^{*}M$ elemei. A tangens- és kotangens nyalábhoz hasonlóan definiálhatóak $(r,s)$-tenzornyalábok is:

$T^{(r,s)}M=\bigsqcup _{m\in M}T_{m}^{(r,s)}M=\bigcup _{m\in M}\{m\}\times T_{m}^{(r,s)}M.$

A $T^{(r,s)}M$ tenzornyaláb differenciálható szeléseit $(r,s)$-tenzormezőnek hívjuk, melyek a sokaság egy pontjához egy abba a pontba vett $(r,s)$-tenzort rendelnek hozzá.

Differenciálforma

A differenciálformák speciális tenzorok, melyek segítségével differenciálható sokaságokra általánosítható az integrálszámítás, továbbá további struktúra (általában egy Riemann-metrika) jelenléte esetén olyan differenciáloperátorok is, mint a gradiens vagy a rotáció.

Definíció szerint egy differenciál k-forma (röviden k-forma) egy teljesen antiszimmetrikus $(0,k)$ tenzor. Az eddig definiált objektumok közül a differenciálható függvények 0-formák, kovektorok pedig 1-formák. Egy adott $m$ pontban vett differenciál k-formák vektorteret alkotnak.

A differenciálformák kombinálásához definiálható az ékszorzat művelete, mely antiszimmetrikus, asszociatív, bilineáris, továbbá egy k- és egy l-formából képez egy (k+l)-formát. Amennyiben $\alpha$ és $\beta$ differenciálformák, az ékszorzatukat $\alpha \wedge \beta$ jelöli.

Egy zárt nemelfajuló differenciál 2-formával ellátott sima sokaságot szimplektikus sokaságnak hívunk.

Differenciálszámítás sokaságokon

Differenciálható függvények és leképezések

A differenciálhatóság fogalma kiterjeszthető olyan leképezésekre, melyek értelmezési tartománya nem egy Euklideszi vektortér, hanem egy differenciálható sokaság.

Az $M$ differenciálható sokaságon értelmezett valós függvény $f:M\to \mathbb {R}$ differenciálható $m\in M$ pontban, ha bármely $m$ körüli térképen differenciálható. Precízebb megfogalmazásban, $f$ akkor és csak akkor differenciálható $m$ pontban, ha létezik egy térkép $(U,\phi )$ ahol $m\in U$ melyre teljesül, hogy

$f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$

differenciálható $\phi (m)$ pontban. Mivel a leképezés értelmezhető egy $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ függvényként, így érvényesek rá a klasszikus többváltozós differenciálszámítás szabályai. A differenciálhatóság ezen definíciója nem függ attól, hogy melyik $m$ körüli térképet választjuk, ugyanis a láncszabály biztosítja, hogy ha egy $m$ körüli térképen differenciálható a függvény, akkor az összesen.

Hasonlóképp, a differenciálhatóság fogalma kiterjeszthető olyan leképezése, melyek értelmezési tartománya és értékkészlete is egy differenciálható sokaság. Legyenek $M$ és $N$ differenciálható sokaságok, $f:M\to N$ pedig egy leképezés, mely folytonos minden $m\in M$ pontban. Ha létezik $M$-nek egy $\phi$ térképe $m$ körül és $N$-nek egy $\psi$ térképe $f(m)$ körül, melyekre teljesül, hogy $\psi \circ f\circ \phi ^{-1}$ differenciálható, akkor $f$ is differenciálható. Két differenciálható sokaság közötti leképezést diffeomorfizmusnak hívunk, ha sima, bijektív és az inverze is sima.

Iránymenti derivált

Legyen $M$ egy differenciálható sokaság, $f:M\to \mathbb {R}$ egy leképezés és $\gamma :(-\epsilon ;\epsilon )\to M$ egy differenciálható görbe, melyre $\gamma (0)=m\in M$. Az $f$ függvény iránymenti deriváltja $\gamma$ mentén $m$ pontban a következő:

$\left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}.$

Ha $v\in T_{m}M$, akkor $v$ azon $\gamma$ görbék ekvivalenciaosztálya, melyekre $\gamma (0)=m$ és a 0 pontban értelmezett deriváltjaik megegyeznek egy (tehát bármelyik $m$-beli) térképen. Ebből következik, hogy egy $m$-beli tangens vektor hatása egy leképezésre egy egyedi iránymenti deriváltat definiál $m$ pontban, melyet a következőképp jelölünk:

$T_{m}f(v)=\left.{\frac {d}{dt}}f(\gamma (t))\right|_{t=0}.$

Egy fix $f$ függvény esetén a leképezés $v\mapsto T_{m}f(v)$ egy lineáris funkcionál, melyet gyakran $df(m):T_{m}M\to \mathbb {R}$ jelöl és a függvény $m$-pontbeli differenciáljának hívjuk.

Leképezések deriváltja

A tangens terek segítségével egy $f:M\to N$ differenciálható leképezést is lehetséges deriválni: az $f$ leképezés $m$-pontbeli deriváltja

$T_{m}f:T_{m}M\to T_{f(m)}N$,

mely bármely $[\gamma ]_{m}\in T_{m}M$ ekvivalenciaosztályhoz a $[f\circ \gamma ]_{f(m)}\in T_{f(m)}N$ ekvivalenciaosztályt rendel hozzá. Az $N=\mathbb {R}$ a derivált azon speciális esete, amikor megegyezik az iránymenti derviálással, mivel $\mathbb {R}$ egy nyílt részhalmazán a $[f\circ \gamma ]_{f(m)}\mapsto (f\circ \gamma )'(0)$ egy bijekció, így a két mennyiség megegyeztethető egymással.

A derivált ezen definíciója teljesíti a láncszabályt: legyenek $M$, $N$, $P$ differenciálható sokaságok, $f:M\to N$, $g:N\to P$ differenciálható leképezések és $m\in M$. Akkor:

$T_{m}(g\circ f)=T_{f(m)}g\circ T_{m}f$.

Az $m$-beli tangens térnek lokális bázisát is definiálhatjuk: amennyiben $\phi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ egy térkép $m$ körül, azt úgy is kifejezhetjük, hogy $\phi (m)=(x^{1}(m),\dots ,x^{n}(m))$, ahol $x^{i}$-t koordinátafüggvényeknek hívjuk. Legyen $\mathbf {e} _{i}$ az $\mathbb {R} ^{n}$ i-edik egységvektora és $\phi (m)=0$, akkor a

$\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{m}=(T_{m}\phi )^{-1}(\mathbf {e} _{i})$

kifejezés tekinthető $T_{m}M$ i-edik bázisvektorának. Amennyiben a sokaság $\mathbb {R} ^{n}$ (vagy annak részsokasága), az előbb definiált kifejezés pontosan a térkép inverzének Jacobi-mátrixának i-edik oszlopa az $\phi (m)=0$ pontban, tehát a jelölés összeegyeztethető a parciális deriválással.

A tangensnyaláb által az $f$ leképezés tangens leképezése is létrehozható: ez definíció szerint $Tf:TM\to TN,\,(m,v)\mapsto (f(m),T_{m}f(v))$. A láncszabály a tangens leképezés számára $T(g\circ f)=Tg\circ Tf$.

Források

• John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds, 2. kiadás, New York: Springer (2003) 
• Kalmár Boldizsár: Differenciálható sokaságok
• Gergely Árpád László: Bevezetés a differenciálgeometriába
• Michael Kunzinger: Differential Geometry 1

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Differentiable manifold című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Differenzierbare Mannigfaltigkeit című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.