Jacobi-mátrix

A Jacobi-mátrix egy vektorértékű függvény elsőrendű parciális deriváltjait tartalmazó mátrix, mely az egyváltozós skalárfüggvények deriváltjának fogalmát terjeszti ki vektormezőkre, ahogy a gradiens a skalármezőkre teszi ugyanezt. Az implicitfüggvény-tételben és az inverzfüggvény-tételben is megjelenik.

Definíció

Legyen $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ az n dimenziós euklideszi térből az m dimenziós euklideszi térbe képező differenciálható függvény. (Ha n = m, akkor f egy vektormezőt határoz meg.) Ekkor a vektorértékű $f:\mathbf {x} \mapsto \mathbf {y}$ függvény egyes komponensei:

$f:{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\end{pmatrix}}$,

azaz

$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\left(f_{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),f_{2}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\dots ,f_{m}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\right)$,

ahol f₁, f₂, ... , f_m koordinátafüggvények skalár-értékű n-változós függvények, azaz $f_{i}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ (i = 1, 2, ..., m).

Ezen m darab n-változós függvény parciális deriváltjaiból egy m×n-es mátrixot képezhetünk:

$J={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}$.

Ezt hívjuk a Jacobi-mátrixnak, melynek elemei maguk is skalár-értékű n-változós függvények.

Felírható még úgy is, hogy

$J={\begin{pmatrix}\operatorname {grad} f_{1}\\\vdots \\\operatorname {grad} f_{m}\end{pmatrix}}$,

ahol grad(.) a gradiensfüggvény.

Továbbá J egy $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m\times n}$ függvény mátrixos felírása: $\mathbf {a} \mapsto J(\mathbf {a} )$, ahol J(a) egy konkrét számokat tartalmazó m×n-es mátrix lesz, ha egy adott a = (a₁, a₂, ... , a_n) $\mathbb {R} ^{n}$-beli pont koordinátáit behelyettesítjük J minden egyes (i, j) pozícióban lévő ${\dfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$ parciális deriváltfüggvényébe:

$J(\mathbf {a} ):=\left({\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {a} )\right)_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} )&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(\mathbf {a} )&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} )&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(\mathbf {a} )&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} )\end{pmatrix}}$.

A Jacobi-determináns a Jacobi-mátrix determinánsa.

Alkalmazása

A Jacobi-mátrix az egyváltozós skalárfüggvények deriváltjának fogalmát terjeszti ki vektormezőkre, ahogy a gradiens a skalármezőkre teszi ugyanezt. Ha lineáris transzformációként fogjuk fel, akkor J adja meg az f függvény legjobb lineáris közelítését egy adott $\mathbf {x_{0}}$ pont körül abban az értelemben, hogy a Taylor-sorhoz hasonlóan elsőrendben:

$f(\mathbf {x} )\approx f(\mathbf {x_{0}} )+J(\mathbf {x_{0}} )(\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )$.

Úgy is fogalmazhatunk, hogy a Jacobi-mátrix megadja, hogy lokálisan hogyan viselkedik az f függvény, mennyire simul rá f(x₀)-ban a képhalmazát érintő hipersíkra.

A Jacobi-mátrix megjelenik az implicitfüggvény-tételben és az inverzfüggvény-tételben.

Példa

Legyen $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ a $f(x,y,z)=\left({\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}+z\cdot \sin(x)\\z^{2}+z\cdot \sin(y)\end{array}}\right)$

képlettel megadott háromváltozós függvény.

Akkor

${\frac {\partial }{\partial x}}f(x,y,z)=\left({\begin{array}{c}2x+z\cdot \cos(x)\\0\end{array}}\right),\;\;$

${\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,z)=\left({\begin{array}{c}2y\\z\cdot \cos(y)\end{array}}\right),\;\;$

${\frac {\partial }{\partial z}}f(x,y,z)=\left({\begin{array}{c}\sin(x)\\2z+\sin(y)\end{array}}\right)$

és így a függvény Jacobi-mátrixa

$Df(x,y,z)=\left({\begin{array}{ccc}2x+z\cdot \cos(x)&2y&\sin(x)\\0&z\cdot \cos(y)&2z+\sin(y)\end{array}}\right)$

Megjegyzés

Ha az összes f₁, f₂, ... , f_m koordinátafüggvény lineáris, akkor J-ben az összes parciális derivált konstans, J egy közönséges mátrix, J(a) pedig nem függ a-tól.

Lásd még

• Hesse-mátrix