Differenciálhatóság

A differenciálható függvény egy pontjának akármilyen kis környezetében egyenessel közelíthető

A matematikában a differenciálhatóság a matematikai analízis egyik legalapvetőbb fogalma. Egy függvényt egy pontjában lényegében akkor nevezünk differenciálhatónak, ha ott jól közelíthető lineáris függvénnyel, azaz a függvény grafikonja abban a pontban tetszőlegesen választott hibahatáron belül nem különbözik egy egyenestől, a görbe érintőegyenesétől.

A differenciálhatóságnak azon folyamatok leírásában van fölülmúlhatatlan jelentősége, melyek nem diszkrét lépésekben változnak (mint a sakklépések), hanem pillanatról pillanatra folytonosan (mint a fizikai folyamatok). Nem véletlen, hogy a differenciálszámítást (Leibniz mellett) először Newton alkalmazta a mechanika törvényeinek felállításakor.

Definíció

Legyen f a valós számok egy részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény. Legyen a az f értelmezési tartományának egy olyan pontja, mely egyben az értelmezési tartomány torlódási pontja is (azaz akármilyen kis környezetében tartalmaz a-tól különböző értelmezési tartománybeli pontot). Azt mondjuk, hogy f differenciálható az a pontban, ha létezik a

$\lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

határérték és ez véges szám.

A fent említett véges határértéket az f függvény a pontbeli differenciálhányadosának vagy deriváltjának nevezzük és a következőképpen jelöljük:

$f'(a)\;$

Gyakori szóhasználat, hogy az ${\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$ hányadost differenciahányadosnak vagy különbségi hányadosnak nevezik és az $f(x)-f(a)$ különbséget $\Delta y$-nal, az $x-a$ különbséget pedig $\Delta x$-szel jelölik. Ekkor a differenciahányados

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

és ennek határértéke, az y=f(x) függvény differenciálhányadosa, a Leibniz-féle jelölés szerint:

${\frac {dy}{dx}}=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Innen a "differenciálhatóság" illetve "differenciálhányados" elnevezés. A leibnizi jelölés hátránya, hogy nehezen jelölhető, hogy a függvény értelmezési tartománya mely pontja beli deriváltról van szó. Ha ezt hangsúlyozni akarjuk, akkor a

${\frac {df(a)}{dx}}$ vagy a $\left.{\frac {df}{dx}}\right|_{x=a}$

jelöléseket használhatjuk.

A fizikában az idő szerinti deriváltat (Newton eredeti jelölését használva) ponttal jelölik. Például egy test p impulzusának idő szerinti deriváltja a t időpillanatban:

${\dot {p}}(t)$

Ekvivalens átfogalmazások

Legyen f valós-valós függvény, a az értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az alábbi három kijelentés egyenértékű:

A definíció

f differenciálható a-ban, azaz létezik és véges a következő határérték:

$\lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

Differenciállal történő jellemzés

Létezik olyan A^f_a: R$\rightarrow$ R; z$\mapsto$α$\cdot$z lineáris leképezés (α valós szám), hogy

$\lim \limits _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)-\mathbf {A} _{a}^{f}(x-a)}{|x-a|}}=0$

(Vagyis az f függvény az a pontban elsőrendben érintkezik az x $\mapsto$ f(a)+ α$\cdot$(x – a) lineáris függvénnyel.) Ekkor az A^f_a-t (folytonos) lineáris leképezést df(a)-val jelöljük és az f a-beli differenciáljának mondjuk.

Caratheodory-féle átfogalmazás

Létezik olyan C^f_a, az f értelmezési tartományán értelmezett, a-ban folytonos függvény, hogy minden x-re az f értelmezési tartományából:

$f(x)=f(a)+C_{a}^{f}(x)\cdot (x-a).$

Lineáris közelítés hibatagjával felírt alak

Létezik olyan $\mathbf {A} _{a}^{f}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$; $z\mapsto \alpha \cdot z$ lineáris leképezés ($\alpha$ valós szám) illetve olyan ε, az f értelmezési tartományán értelmezett, a-ban folytonos függvény, mely az a-ban a 0 értéket veszi fel ($\varepsilon (a)=0$ ) és minden x-re az f értelmezési tartományából:

$f(x)=f(a)+\mathbf {A} _{a}^{f}(x-a)+\varepsilon (x)\cdot (x-a)$

Ha mindezek teljesülnek, akkor az $\mathbf {A} _{a}^{f}$ és $C_{a}^{f}$ függvények egyértelműek, valamint fennáll az

$f'(a)=\mathbf {A} _{a}^{f}(1)=C_{a}^{f}(a)$

egyenlőség.

Megjegyzés. A Caratheodory-féle definíció lényegesen megkönnyíti a differenciálhatóság alapvető tulajdonságainak bizonyítását, a differenciál leképezéssel történő átfogalmazás pedig egyenes utat nyit a differenciálhatóság (egyfajta) többdimenziós általánosítása irányába.

A differenciálhatóság geometriai jellemzése

A differenciálható függvény görbéjének egy pontjából kiinduló szelőknek van határhelyzete, amit érintőnek nevezünk. A koordináta-rendszerben a görbéhez húzott érintőegyenes meredeksége adja a deriváltat.

A differenciálhatóság szoros kapcsolatban van a függvénygörbe egy adott pontjához húzott érintőjével. Az érintő létezése és az érintőegyenes egyenletének felírása tulajdonképpen nem más mint a differenciálhatóság és a differenciálás.

A görbe egy adott P₀ pontjából a görbe P₀-hoz közeli pontjaihoz szelőket rajzolunk. Ha szelők másik végpontját közelítjük P₀-hoz és azt tapasztaljuk, hogy ezek iránya egyetlen irányhoz, egy határhelyzethez tart, akkor azt mondhatjuk, hogy a függvénynek van érintője, és az érintőegyenest ekként a határegyenesként értelmezhetjük.

Ha mindezt koordináta-rendszerben ábrázoljuk, akkor az érintőegyenes

$y=m(x-x_{0})+y_{0}\;$

vagy

$m={\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}$

egyenletében (x₀ és y₀ a P₀ pont koordinátái, vagyis f(x₀)=y₀, az utóbbi egyenletben x=x₀ esetén y=y₀) az m meredekség éppen a függvény x₀-beli deriváltja lesz:

$m=f'(x_{0})\,$

Ugyanis a szelőegyenesek meredekségei (az egyenes egyenletének fenti második alakjában felírva):

$m={\frac {f(x_{n})-f(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}={\frac {y-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

ahol az (x_n,f(x_n)) pont a szelő P₀-tól különböző, görbére eső pontjának koordinátái. A szelőegyenesek határhelyzete tehát

$\lim \limits _{x_{n}\to x_{0}}{\frac {f(x_{n})-f(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}$

azaz a derivált.

A differenciálhatóság nemsztenderd jellemzése

A nemsztenderd analízis didaktikailag előnyösebb tárgyalásmódban, végtelen kis mennyiségeken keresztül fogalmazza meg a differenciálhatóságot. Hátránya, hogy a "végtelen kis szám" fogalma csak komoly modellelméleti apparátus felvonultatása után válik pontos matematikai fogalommá.

A XIX. század második felében Cauchy és Weierstrass munkássága nyomán a "végtelen kis mennyiség" addig bevett módon történő használata visszaszorult, pedig addig az analízist szinte kizárólag ilyen mennyiségekkel történő számítások segítségével művelték. Később Skolem bizonyított egy tételt, miszerint a Peano-axiómáknak nem csak a szokásos, úgynevezett sztenderd, halmazelméleti N halmaz a modellje, hanem van a természetes számok halmazánál nagyobb számosságú *N halmaz is, mely teljesíti ezeket az axiómákat, az ilyen nem szándékolt modelleket nevezik nemsztenderd modelleknek. Ezt felhasználva Robinson a 60-as években kidolgozta a matematikai analízis nemsztenderd tárgyalásmódját, mely legitimizálta az analízis hőskorában használt "infinitezimális mennyiség" kifejezést. Ezek a valós számok R halmaza *R bővítésének olyan pozitív elemei, melyek némelyike minden sztenderd pozitív számnál kisebb – vagyis végtelen kicsiny mennyiségek.

Lásd még: nemsztenderd analízis.

Tétel. – Legyen f valós-valós függvény, x az értelmezési tartományának egy belső pontja.

f akkor és csak akkor differenciálható (sztenderd értelmeben) az x pontban, ha létezik olyan c (sztenderd) valós szám, hogy tetszőleges dx végtelenül kicsiny mennyiségre:

${\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\cong c$

ahol $\cong$ azt jelenti, hogy a bal és jobb oldal különbsége legfeljebb csak egy végtelenül kicsiny szám. Ekkor c a függvény x pontbeli deriváltja.

Az f(x+dx) – f(x) különbséget, vagyis a függvény megváltozását, mely a független változó végtelen kis dx megváltozása során keletkezik, df(x)-szel jelölik és a függvény (régi értelemben vagy nemsztenderd értelemben vett) differenciáljának nevezik. A függvény érintőjének meredekségét ekkor közvetlenül a függő és a független változó növekményének hányadosa adja (df(x)/dx), amennyiben a független változó megváltozása (dx) végtelen kicsiny. Tehát a differenciálhányados ebben az esetben nem csak egy összetett szimbólum, hanem ténylegesen két szám hányadosát jelölő tört.

A nemsztenderd szemlélet lényegesen megkönnyíti a differenciálszámítás értő elsajátítását azok számára, akik nem kívánnak hivatásszerűen matematikával foglalkozni. A matematika tudományán belül azonban csak a modern halmazelméleti modellelmélet egy érdekes alkalmazása.

Források

• Csirmaz László: Nemsztenderd analízis, TypoTeX Kiadó, 1999.