Gauss–Osztrohradszkij-tétel

Vektormező gömbfelületen

A Gauss–Osztrohradszkij-tétel (divergenciatétel) segítségével az integrálegyenleteket differenciális alakra hozhatjuk. Maga a tétel egy vektor zárt felületre vett integrálja és ugyanezen vektor divergenciájának térfogati integrálja között teremt kapcsolatot. A tétel szerint tetszőleges F zárt felület által határolt V térfogatban definiált nem szinguláris V(x) vektormezőre fennáll, hogy V divergenciájának térfogati integrálja megegyezik a (normális) F felületelem és V skaláris szorzatának integráljával:

$\oint _{F}\mathbf {V} d\mathbf {F} =\int _{V}div\mathbf {V} \ dV$,

vagy (a merőleges komponens felírásval)

$\oint _{F}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} \ dF=\int _{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} d^{3}x$.

Más szavakkal a V vektortérnek a zárt F felületen átmenő skaláris fluxusa egyenlő V divergenciájának az F által bezárt V térfogatra kiterjedő integráljával.

Ugyanez komponensenként kiírva derékszögű koordinátákkal:

$\int \int (V_{x}dydz+V_{y}dxdz+V_{z}dxdy)=\int \int \int ({\frac {\partial {V_{x}}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial {V_{y}}}{\partial {y}}}+{\frac {\partial {V_{z}}}{\partial {z}}})dxdydz.$

Ez a fizikai Gauss-törvényben a következőképpen jelenik meg. Vegyük a Gauss-törvény integrális összefüggését:

$\oint _{F}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} dF={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}\rho (\mathbf {x} )d^{3}x.$

Alkalmazva a divergenciatételt, majd az egyenletet átrendezve az

$\int _{V}(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}})d^{3}x=0$

egyenletet kapjuk.

Mivel a V térfogat tetszőleges, ezért az integrál csak akkor lesz zérus, ha az integrandus is zérussal egyenlő, azaz:

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$

Ezzel tehát valóban megkaptuk az elektrosztatika Gauss-törvényének differenciális alakját.

Általánosítás

A divergenciatétel általánosítható Riemann-sokaságokra, tehát olyan sima sokaságokra, melyek fel vannak ruházva egy Riemann-metrikával. Ennek bizonyításához elengedhetetlen a következő tétel:

Legyen $M$ egy $n$-dimenziós irányítható peremes sima sokaság, továbbá legyen $\omega$ egy kompakt tartójú $(n-1)$-forma $M$-en. Ekkor fennáll az alábbi összefüggés:

$\int _{\partial {M}}\omega =\int _{M}d\omega$,

ahol $d$ a külső deriváltat jelöli, továbbá egy topologikus térből vektor térbe érkező függvényt akkor mondunk kompakt tartójúnak, ha a zérushelyeinek halmaza relatív kompakt (a lezártja kompakt).

Ha a sokaság Riemann, akkor az 1-formák tere azonosítható a vektormezők terével, valamint, ha a sokaság 3 dimenziós, akkor a Riemann-struktúra segítségével a rotáció definiálható. Ekkor a fenti tétel a Stokes-tétel általánosításaként fogható fel, továbbá megadja más ismert integráltételek bizonyításának alapvető összefüggését.

A Riemann-sokaságokon értelmezett divergenciatétel precíz megfogalmazása a következő: legyen $(M,g)$ egy irányítható peremes Riemann-sokaság, és legyen $V$ egy sima kompakt tartójú vektormező $M$-en. Ekkor a következő teljesül:

$\int _{M}\operatorname {div} X\ dV_{g}=\int _{\partial M}\langle X,N\rangle _{g}dV_{\bar {g}}$,

ahol $N$ egy $\partial M$-menti merőleges kifele mutató egységhosszúságú vektormező, ${\bar {g}}$ pedig az indukált Riemann-metrika $\partial M$-en.

Források

• Divergenciatétel
• Példák a tételre
• Divergencia
• John David Jackson: Klasszikus elektrodinamika (Typotex, Budapest, 2004) (Információ a kiadványról: 1. és 2.)
• Matematikai zsebkönyv (Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974)
• Fekete Zoltán-Zalay Miklós: Többváltozós függvények analízise (A könyv adatlapja a Molyon)
• Lee, John M. (2003), Introduction to Smooth Manifolds (2. ed.), New York: Springer, ISBN 0-387-95448-1