5040 (szám)

5040 (ötezer-negyven)
Tulajdonságok
Normálalak	5,04 · 103
Kanonikus alak	24 · 32 · 51 · 71
Osztók	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040
Számrendszerek
Bináris alak	1 0011 1011 00002
Oktális alak	116608
Hexadecimális alak	13B016
Számelméleti függvények értékei
Euler-függvény	1152
Möbius-függvény	0
Mertens-függvény	−6
Osztók száma	60
Osztók összege	19 344 bővelkedő szám
Valódiosztó-összeg	14 303

Az 5040 egy természetes szám, faktoriális, az első hét pozitív egész szám szorzata. Platón szerint egy ideális államban a polgárok száma 5040.

A szám a matematikában

A tízes számrendszerbeli 5040-es a kettes számrendszerben 1001110110000, a nyolcas számrendszerben 11660, a tizenhatos számrendszerben 13B0 alakban írható fel.

Az 5040 páros szám, összetett szám, kanonikus alakban a 2⁴ · 3² · 5¹ · 7¹ szorzattal, normálalakban az 5,04 · 10³ szorzattal írható fel. Erősen összetett szám: több osztója van, mint bármely nála kisebb számnak. A legkisebb olyan szám, amelynek hatvan osztója van a természetes számok halmazán, ezek növekvő sorrendben: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520 és 5040.

Erősen bővelkedő szám és szuperbővelkedő szám. Kiváló erősen összetett szám, egyben kolosszálisan bővelkedő szám.

Praktikus szám.

Egyetlen szám valódiosztó-összegeként áll elő, ez az 5039².

Megadható 42 egymást követő prímszám összegeként: 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 + 53 + 59 + 61 + 67 + 71 + 73 + 79 + 83 + 89 + 97 + 101 + 103 + 107 + 109 + 113 + 127 + 131 + 137 + 139 + 149 + 151 + 157 + 163 + 167 + 173 + 179 + 181 + 191 + 193 + 197 + 199 + 211 + 223 + 227 + 229 = 5040

Az 5040 a hét legkisebb pozitív egész szám szorzata (a 7 faktoriálisa), azaz 7! = 5040; továbbá 10! / 6! = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040

A szám szerepel Robin tételében, mely szerint minden n > 5040-re

$\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n$

ahol σ(n) az osztóösszeg-függvény és γ az Euler-konstans.

A szám a filozófiában

Platón a Törvények című dialógusának V. könyvében említi az 5040-es számot:

De mi a föld felosztásának helyes módja? Először is azt kell megállapítani, hogy mekkora legyen a polgárok száma. [...] Legyen a polgárok száma ötezer-negyven, hogy egy megfelelő számot válasszunk; ennyien részesüljenek a földben, és védelmezzék osztályrészüket. A föld ugyanennyi részre osztassék fel, és ugyanennyi házhelyet osszunk ki, úgyhogy a polgárok és a telkek száma megfeleljenek egymásnak. Először ezt az egész számot (az ötezer-negyvenet) osszuk két részre, majd háromra; hiszen néggyel és öttel is, és így tovább sorban egész tízig valamennyi számmal osztható. Annyit pedig minden törvényhozónak kell a számokhoz értenie, hogy melyik és milyen szám a legalkalmasabb az államok számára. Kimondhatjuk, hogy az, amelyiknek a legtöbb osztója van; különösen ha ezek sorban egymás után következő számok. [... Az 5040] igen alkalmas mind a hadi beosztások, mind a békében előforduló viszonyok, adókivetések és felosztások számára.

– Platón: Törvények

Források

• ↑ Platón: Platón összes művei kommentárokkal. Törvények. [fordította: Bolonyai Gábor, Kövendi Dénes, Németh György] Budapest: Atlantisz. 2008. 173–174. o., ISBN 978 963 9165 96 0
• ↑ Rademacher–Toeplitz 1930: Tökéletes számok. In: Hans Rademacher, Otto Toeplitz: Számokról és alakzatokról. Budapest: Typotex. 2010. 219–220. o., ISBN 978 963 279 029 9 [eredeti mű: Von Zahlen und Figuren, 1930]