Tizenhatos számrendszer

A tizenhatos (hexadecimális) számrendszer a 16-os számon alapuló számrendszer, az informatika kulcsfontosságú számrendszere (zsargonban: hexa). A tizenhatos számrendszer a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyeken kívül az A, B, C, D, E, F betűket (vagy ezeknek kisbetűs megfelelőjét; mindkettő használat megengedett) használja, ezek segítségével ábrázolja a valós és komplex számokat.

A 0–9 számjegyek használata értelemszerű (azaz: a tízes számrendszernek megfelelő), az A számjegy 10-et, a B számjegy 11-et, a C számjegy 12-t, a D számjegy 13-at, az E számjegy 14-et, míg az F számjegy 15–öt jelöl (ez összesen 16 számjegy, tekintettel arra, hogy a nulla az első).

Az eltérő számrendszer használatára általában a szám után írt alsó indexes H betű utal, például: C9_H. A tizenhatos számrendszerben leírt szám számjegyei tulajdonképpen a tizenhatos szám 0-val kezdődő és számjegyenként eggyel növekvő exponensei a szám legkisebb helyiértékű számjegyeitől haladva a legnagyobb helyiértékűekig (azaz jobbról balra). Például 3F8_H a tízes számrendszerben 1016 (= 3×16² + 15×16¹ + 8×16⁰ = 3×256 + 15×16 + 8×1 = 768+ 240 + 8 = 1016). Az eltérő számrendszer használatára utalhat alsó indexben 16-os szám is. Például C9₁₆

A hexadecimális kifejezés a görög nyelv έξι (hexi) szavából (jelentése: hat) és latin nyelv decem (jelentése: tíz) szavaiból származik.


0_hex	=	0_dec	=	0_oct	0	0	0	0
1_hex	=	1_dec	=	1_oct	0	0	0	1
2_hex	=	2_dec	=	2_oct	0	0	1	0
3_hex	=	3_dec	=	3_oct	0	0	1	1

4_hex	=	4_dec	=	4_oct	0	1	0	0
5_hex	=	5_dec	=	5_oct	0	1	0	1
6_hex	=	6_dec	=	6_oct	0	1	1	0
7_hex	=	7_dec	=	7_oct	0	1	1	1

8_hex	=	8_dec	=	10_oct	1	0	0	0
9_hex	=	9_dec	=	11_oct	1	0	0	1
A_hex	=	10_dec	=	12_oct	1	0	1	0
B_hex	=	11_dec	=	13_oct	1	0	1	1

C_hex	=	12_dec	=	14_oct	1	1	0	0
D_hex	=	13_dec	=	15_oct	1	1	0	1
E_hex	=	14_dec	=	16_oct	1	1	1	0
F_hex	=	15_dec	=	17_oct	1	1	1	1

A hexadecimális szám felírási módjai

Mivel az egyes programozási nyelvekben gyakran fordulnak elő hexadecimális számok és mivel a programozási nyelvek sokrétűek és fejlődésük hektikus, ezért a hexadecimális számok felírása is különböző:

az Ada és VHDL programozási nyelvek a számot egy "numerikus idézőjelbe" ("#" karakter) teszik "#" (például "20#5A3#"),
a C programozási nyelv és a rajta alapuló nyelvek (például a Java programozási nyelv) a „0x” prefixet használja (például „0x5A3”). A „0” azt jelenti a fordítóprogram számára, hogy számról van szó, az „x” pedig azt, hogy hexadecimális számról,
a HTML nyelvben szintén az „x” karakter használatos, például a decimális „֣” hexadecimális megfelelője az „֣”,
Pascal-ban és néhány Assembly-ben a szám mögé egy „h” betűt írunk; ha a szám betűkarakterrel kezdődne, akkor elé még egy nullát is, példák: „0A3Ch”, „5A3h”,
a többi Assembly-ben (AT&T, Motorola) és néhány Basic nyelvjárásban, a Turbo Pascal-ban, és a Delphiben a „$” prefix használatos (például „$5A3”),
a többi Basic-ben a „&h” karakterek használatosak („&h5A3”),

Megjegyzés: a fenti példákban az idézőjel csak a jobb érthetőség miatt szerepel, valójában nem szabad kiírni, mert félreérthető.

Alkalmazásai

A tizenhatos számrendszer gyakran használatos a számítógépek körüli tudományágakban, mivel e számrendszer alapja, a 16-os szám, egyenlő 2⁴-nel, ami azt jelenti, hogy egy hexadecimális szám éppen négy bitet (1 nibble-t) képvisel. Így tehát egy bájt értéke kifejezhető éppen egy kétjegyű hexadecimális számmal (a 00_H – FF_H intervallumban). Ezzel az ábrázolással egyszerűbb a bitsorozatokat leírni, könnyebb olvasni, és nehezebb eltéveszteni:

                                 Bináris       Hexadecimális           Decimális
                                  1111  =              F  =             15
                                1.1111  =             1F  =             31
                     11.0111.1100.0101  =           37C5  =          14277
                   1010.1100.1010.1011  =           ACAB  =          44203
                 1.0000.0000.0000.0000  =         1.0000  =          65536

1010.1111.1111.1110.0000.1000.0001.0101 = AFFE.0815 = 2952661013

A Bailey-Borwein-Plouffe-összegképlettel a π szám tetszőleges tizenhatodos jegye meghatározható az előző jegyek ismerete nélkül.

Átváltása

Átváltás 10 alapú számrendszerből tizenhatos számrendszerbe

A legkönnyebben megérthető módszer az, hogy megnézzük, hányszor van meg benne a lehető legnagyobb 16-hatvány, és ezt ismételjük, amíg nullát nem kapunk.

A sorozatos osztás módszere

Az előző módszer finomítása a sorozatos osztás módszere. Ahelyett, hogy egyből a lehető legnagyobb hatvánnyal osztanánk, az új alappal osztunk sorozatosan, így a kisebb egységektől haladunk a nagyobbak felé. A maradékok az egyre nagyobb egységek számát jelzik. Előnye, hogy nem kell előre megbecsülni, hogy mekkora a lehető legnagyobb hatvány, ami még nem kisebb az adott számnál.

Az eredeti számot maradékosan osztjuk tizenhattal, így megkapjuk, hány tizenhatos lenne benne. A maradék az egyesek számát adja. Megnézzük, hogy van-e elég tizenhatos ahhoz, hogy egy nagyobb egységet képezzen. Ha van, akkor egy maradékos osztással megkapjuk, hány tizenhatost nem lehet egy nagyobb egységre beváltani. Ismételjük az osztásokat, amíg nem kapunk egy tizenhatnál kisebb számot. Ez lesz a tizenhatos számrendszerbe átírt szám első jegye. A többi jegyét fordított sorrendben adják a maradékok.

A sorozatos szorzás módszere

Az előbbi módszerekkel csak egész számokat tudunk átváltani. A sorozatos szorzás módszerével azonban a tizedestörtek is átválthatók. A nem egész számok a számrendszerben „tizenhatodostörtekként” írhatók fel.

Feltehetjük, hogy a tizedestört nulla és egy közé esik. Szorozzuk meg a tizedestörtet tizenhattal, és vegyük az egészrészét. Ez megadja a tizenhatodostört első jegyét. A másodszori szorzás eredményének egészrészeként a tizenhatodostört második jegyét kapjuk, és így tovább.

Véges tizenhatodostört esetén az eljárás véget ér. Más racionális számok esetén elég addig alkalmazni a módszert, amíg egy teljes szakaszt nem kapunk. Irracionális számokra az eljárás nem ér véget. Így csak az első $n$ jegyet kaphatjuk meg.

Ha egy valós számnak van egészrésze és törtrésze is, akkor ezt a módszert az előző kettő valamelyikével kell kombinálni.

Átváltás tizenhatos számrendszerből 10 alapú számrendszerbe

Alkalmazhatók a fordított irány esetén használt módszerek. Mivel csak a decimális számrendszerben szoktunk számolni, ezért egyszerűbb lehet, ha használjuk a következő képletet:

\sum _{i=0}^{n}\left(a_{i}\times B^{i}\right).

Kétjegyű számokra különösen egyszerű. Szorozzuk az első jegyet tizenhattal, és adjuk hozzá a második jegyet.

A 0 és a 255 közötti számok átszámításának megkönnyítésére szolgál az átszámolási táblázat.

Átszámolási táblázat

A programozói gyakorlatban gyakran van szükség a 0–255 tartományban lévő számok átszámolására a tízes és a tizenhatos számrendszerek között. A következő táblázat segítségével gyorsan elvégezhető az átváltás oda-vissza. A táblázat lényege, hogy a táblázat cellái tartalmazzák a decimális értékeket, míg a táblázat első sora és első oszlopa a tizenhatos számrendszerbeli értékeket.

például 179₍₁₀₎ sor első oszlopában B0 van, az oszlop első sorában pedig 03. Ha összeadjuk a B0+03, akkor B3 kapunk, amely a 179 tizenhatos számrendszerben felírt formája. A visszafele váltás ennek pontosan a fordítottja.

HEX	`00`	`01`	`02`	`03`	`04`	`05`	`06`	`07`	`08`	`09`	`0A`	`0B`	`0C`	`0D`	`0E`	`0F`
`00`	`0`	`1`	`2`	`3`	`4`	`5`	`6`	`7`	`8`	`9`	`10`	`11`	`12`	`13`	`14`	`15`
`10`	`16`	`17`	`18`	`19`	`20`	`21`	`22`	`23`	`24`	`25`	`26`	`27`	`28`	`29`	`30`	`31`
`20`	`32`	`33`	`34`	`35`	`36`	`37`	`38`	`39`	`40`	`41`	`42`	`43`	`44`	`45`	`46`	`47`
`30`	`48`	`49`	`50`	`51`	`52`	`53`	`54`	`55`	`56`	`57`	`58`	`59`	`60`	`61`	`62`	`63`
`40`	`64`	`65`	`66`	`67`	`68`	`69`	`70`	`71`	`72`	`73`	`74`	`75`	`76`	`77`	`78`	`79`
`50`	`80`	`81`	`82`	`83`	`84`	`85`	`86`	`87`	`88`	`89`	`90`	`91`	`92`	`93`	`94`	`95`
`60`	`96`	`97`	`98`	`99`	`100`	`101`	`102`	`103`	`104`	`105`	`106`	`107`	`108`	`109`	`110`	`111`
`70`	`112`	`113`	`114`	`115`	`116`	`117`	`118`	`119`	`120`	`121`	`122`	`123`	`124`	`125`	`126`	`127`
`80`	`128`	`129`	`130`	`131`	`132`	`133`	`134`	`135`	`136`	`137`	`138`	`139`	`140`	`141`	`142`	`143`
`90`	`144`	`145`	`146`	`147`	`148`	`149`	`150`	`151`	`152`	`153`	`154`	`155`	`156`	`157`	`158`	`159`
`A0`	`160`	`161`	`162`	`163`	`164`	`165`	`166`	`167`	`168`	`169`	`170`	`171`	`172`	`173`	`174`	`175`
`B0`	`176`	`177`	`178`	`179`	`180`	`181`	`182`	`183`	`184`	`185`	`186`	`187`	`188`	`189`	`190`	`191`
`C0`	`192`	`193`	`194`	`195`	`196`	`197`	`198`	`199`	`200`	`201`	`202`	`203`	`204`	`205`	`206`	`207`
`D0`	`208`	`209`	`210`	`211`	`212`	`213`	`214`	`215`	`216`	`217`	`218`	`219`	`220`	`221`	`222`	`223`
`E0`	`224`	`225`	`226`	`227`	`228`	`229`	`230`	`231`	`232`	`233`	`234`	`235`	`236`	`237`	`238`	`239`
`F0`	`240`	`241`	`242`	`243`	`244`	`245`	`246`	`247`	`248`	`249`	`250`	`251`	`252`	`253`	`254`	`255`

Átváltás tizes számrendszerbe a sorozatos szorzás módszerével

A hexadecimális-decimális átváltásra szolgáló algoritmus közül az egyik talán legegyszerűbb, a sorozatos szorzás módszere.^[1]^[2] Ez egy egyszerűen alkalmazható algoritmus, aminek a segítségével egy hexadecimális szám decimális számmá alakítható szorzások és összeadások révén. A módszer lényege a következő:

Adott egy tizenhatos számrendszerben lévő szám, melynek számjegyei h_ih_i−1…h₂h₁. Elsőként ezeket a számjegyeket átváltjuk tízes számrendszerbe. Ezt követően az egyes számjegyeket 16 hatványaival szorozzuk az alábbi képlet szerint. A hatványozás során a kitevő értékét úgy kapjuk meg, hogy a helyiértékből levonunk egyet.

Az algoritmus képlete így néz ki:

decimáis érték = h_i*16^(i-1)+ h^i-1*16^(i-2)+…+ h₂*16⁽¹⁾ + h₁*16⁽⁰⁾

Tehát például adott a 3F hexadecimális szám, ezt decimálissá a következő módon lehet átalakítani:

3F=3*16¹+F*16⁰=3*16+15*1=63

Átváltás más 2-hatvány alapú számrendszerekbe és vissza

Tizenhatos számrendszerbeli számot különösen egyszerű egy másik 2-hatvány alakú számrendszerbe átírni. Ezt azért lehetséges, mert 16 is 2 hatványa.

Kettes számrendszerbe

Helyettesítsünk minden jegyet azok kettes számrendszerbeli alakjával.

Kettes számrendszerből

Az eljárás az előbbi fordítottja. Osszuk a biteket hátulról kezdve négyes csoportokra, és helyettesítsünk minden négyest tizenhatos számrendszerbeli alakjával.

Nyolcas számrendszerbe

Ez az átváltás az előzőekhez hasonlóan végezhető el. Ehhez segítségül hívjuk a kettes számrendszert. Először a tizenhatos számrendszerben megadott számot átírjuk kettes számrendszerbe, majd onnan tovább nyolcas számrendszerbe: a biteket hátulról kezdve hármas csoportokba osztjuk, és minden hármas helyett azok nyolcas számrendszerbeli alakját írjuk.

Négyes számrendszerbe és onnan

Lásd: négyes számrendszer

Nyolcas számrendszerből

Az előző algoritmus fordítottjával az átváltás ebben az irányban is egyszerű.

Hexadecimális törtek

Helyi értékes rendszerekben a vessző után álló n-edik jegy helyi értéke $1 \over B^{n}$ , ahol B a számrendszer alapját jelöli. Így a tizenhatodosvessző utáni első jegy helyi értéke ${1 \over 16^{1}}={1 \over 16}$ , a másodiké ${1 \over 16^{2}}={1 \over 256}$ , a harmadiké ${1 \over 16^{3}}={1 \over 4096}$ , és így tovább.

A 16 kettőhatvány, és mivel a 2 prímszám, ezért 16-nak csak egy prímosztója van. Így a törtek csak akkor írhatók fel véges tizenhatodostörtként, ha nevezőjük kettő hatványa, más esetekben szakaszos végtelen tizenhatodostörtként írhatók fel:


$1 \over 1$	=	1	$1 \over 5$	=	0,3₁₆	$1 \over 9$	=	0,1C7₁₆	$1 \over \mathrm {D} _{16}$	=	0,13B₁₆
$1 \over 2$	=	0,8₁₆	$1 \over 6$	=	0,2A₁₆	$1 \over \mathrm {A} _{16}$	=	0,19₁₆	$1 \over \mathrm {E} _{16}$	=	0,1249₁₆
$1 \over 3$	=	0,5₁₆	$1 \over 7$	=	0,249₁₆	$1 \over \mathrm {B} _{16}$	=	0,1745D₁₆	$1 \over \mathrm {F} _{16}$	=	0,1₁₆
$1 \over 4$	=	0,4₁₆	$1 \over 8$	=	0,2₁₆	$1 \over \mathrm {C} _{16}$	=	0,15₁₆	$1 \over 10_{16}$	=	0,1₁₆