Cantor-halmaz

A matematikában a Cantor-halmaz, Cantor-por vagy Cantor-diszkontinuum a valós számok egy meghatározott részhalmaza, amely több különleges tulajdonsággal bír:

• Kompakt, perfekt, totálisan összefüggéstelen és sehol sem sűrű
• Lebesgue-mértéke nulla
• önhasonló, és Hausdorff-dimenziója nem egész (fraktál)
• kontinuum számosságú

Henry John Stephen Smith 1874-ben felfedezte, és Georg Cantor 1883-ban bevezette. Az utóbbiról nevezték el.

Georg Cantor társaival együtt segített a modern általános topológia megalkotásában. Habár Cantor a halmazt általánosan, absztrakt eszközökkel alkotta meg, általában azt a halmazt hívjuk Cantor-halmaznak, ami a szakaszok középső harmadának iterált eltávolításával áll elő. Ezt a halmazt Cantor példának hozta fel, mint perfekt halmazt, ami sehol sem sűrű.

Általánosabban, egyes halmazokat vagy topologikus tereket is Cantor-halmaznak neveznek, ha néhány tulajdonságukban hasonlítanak a Cantor-halmazra. A megkövetelt tulajdonságuk függenek a részterülettől, és gyakran a szövegkörnyezettől is. A Cantor-halmazokkal homeomorf halmazok a Cantor-terek.

Konstrukciója

A Cantor-halmaz így konstruálható:

Vesszük a $[0,1]$ intervallumot. Ebből kivesszük a középső harmadát, vagyis a $\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)$ nyílt intervallumot. Maradnak az $[0,{\tfrac {1}{3}}]$ és az $[{\tfrac {2}{3}},1]$ intervallumok. Mindegyiknek hasonlóan kidobjuk a középső harmadát, így marad $[0,{\tfrac {1}{9}}]$, $[{\tfrac {2}{9}},{\tfrac {1}{3}}]$, $[{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {7}{9}}]$ és $[{\tfrac {8}{9}},1]$. Ezekkel is hasonlóan járunk el, és így folytatjuk a végtelenségig. Az n-edik közelítés:

$C_{n}={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup \left({\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}\right).$

Az első hat iteráció ábrázolása:

Az n. iteráció után $2^{n}$ intervallum keletkezik, amelyek együtt az eredeti ${\left({\tfrac {2}{3}}\right)}^{n}$-részét fedik le. Minél több intervallumot tartalmaz, annál kevesebbet fednek le ezek az intervallumok. A Cantor-halmaz azokat a pontokat tartalmazza, amelyek minden törlés után megmaradtak. Határértékben, az összes $k\in \mathbb {N}$-re összemetszve a $k$. intervallumokat az eredeti intervallum hosszának nulla része marad, pedig a halmaz még mindig kontinuum számosságú. Ez a konstrukció rokon a Koch-görbe konstrukciójával.

A Cantor-halmaz explicit képlete:

$C=\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcap _{k=0}^{3^{m-1}-1}\left(\left[0,{\frac {3k+1}{3^{m}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{m}}},1\right]\right)=\bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{m-1}-1}\left(\left[{\frac {3k}{3^{m}}},{\frac {3k+1}{3^{m}}}\right]\cup \left[{\frac {3k+2}{3^{m}}},{\frac {3k+3}{3^{m}}}\right]\right).$

vagy

$C=[0,1]\setminus \bigcup _{m=1}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{m-1}-1}\left({\frac {3k+1}{3^{m}}},{\frac {3k+2}{3^{m}}}\right).$

A Cantor-halmaz elemei leírhatók úgy is, hogy hármas számrendszerben leírhatók 1-es tizedesjegy nélkül. Nemcsak az eltávolított intervallumok végpontjai maradnak benne: ezek éppen azok, amelyek végtelen sok 0-ra vagy 2-re végződnek. Például

$1/3=2\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+2\cdot 3^{-4}+\cdots =0{,}0{\overline {2}}_{3}=0{,}1_{3}$

az első lépésben eltávolított intervallum bal végpontja. Az egyes jegy alkalmazása elkerülhető azzal, hogy a helyére nullát, a következő helyekre végtelen sok kettest írunk, ez szintén egész pontosan 1/3 lesz. (Lásd 0,999…).

A Cantor-halmaz nem minden pontja végpont. Például az 1/4 nem intervallum-végpont:

$1/4=2\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-4}+2\cdot 3^{-6}+\cdots =0{,}{\overline {02}}_{3}$

A Cantor-halmaz komplementere nem jellemezhető pontosan az elhagyott halmazokkal, hiszen az

$\bigcup _{m=1}^{\infty }\bigcup _{k=0}^{3^{m-1}-1}\left({\frac {3k+1}{3^{m}}},{\frac {3k+2}{3^{m}}}\right)$

halmazok nem diszjunktak.

Ezek a képletek bizonyíthatók önhasonlósági transzformációkkal.

Összetétele

Mivel a Cantor-halmazt intervallumok elhagyásával kapjuk, ezért ezeknek a hosszát összeadva megkapjuk a komplementerének mértékét. Ez az összeg a

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{3^{n+1}}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{9}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {8}{81}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}\right)=1.$

mértani sor. Mivel ez az összeg 1, ezért a Cantor-halmaz mértéke 1 – 1 = 0.

A számítás azt mutatja, hogy nem tartalmaz 0-nál hosszabb intervallumot. Meglepő, hogy egyáltalán marad valami a halmazban, hiszen hossza 0. Jobban megnézve mindig csak üres intervallumokat távolítunk el, ezért kell valaminek maradni. Például a (¹/₃, ²/₃) szakasz után bent marad az ¹/₃ és a ²/₃. A további lépések bent hagyják ezeket a végpontokat, mert mindig a szakaszok belsejéből távolítunk el pontokat.

Először úgy tűnhet, hogy csak az intervallumok végpontjai maradtak, de számossági megokolások mutatják, hogy nem ez a helyzet, sőt, a nem intervallum-végpontok vannak többen. Hiszen intervallum-végpont megszámlálható sok van, a Cantor-halmaz viszont kontinuum számosságú. Például az 1/4 és a 3/10 is eleme a Cantor-halmaznak.

Tulajdonságai

Önhasonlóság

A Cantor-halmaz a fraktálok egyik első példája. Önhasonló, mivel két másolata lekicsinyítve és eltolva hozzá hasonlóvá válik. Pontosabban, az $f_{L}(x)=x/3$ és a $f_{R}(x)=(2+x)/3$ függvények a Cantor-halmaz önhasonlósági függvényei, amelyek homeomorfia erejéig invariánsan hagyják a Cantor-halmazt: $f_{L}(C)\cong f_{R}(C)\cong C.$

$f_{L}$ és $f_{R}$ iterációja végtelen bináris faként szemléltethető: a fa minden csúcsában eldöntjük, hogy a két függvény közül melyiket választjuk. Az $\{f_{L},f_{R}\}$ halmaz a függvénykompozícióra monoidot alkot, mégpedig a diadikus monoidot.

A bináris fa automorfizmusai tartalmazzák a hiperbolikus forgatásokat, és a moduláris csoportját. Így a Cantor-halmaz homogén tér abban az értelemben, hogy a Cantor-halmaz bármely $x$ és $y$ eleméhez van $h:C\to C$ homeomorfizmus, hogy $h(x)=y$. Ezek a homeomorfizmusok Möbius-transzformációként explicit kifejezhetők.

Minkowski- és Hausdorff-dimenziója $D=\ln(2)/\ln(3)=0{,}6309\ldots$.

Mérték és valószínűség

A Cantor-halmaz tekinthető kettes számrendszerbeli sorozatok kompakt csoportjának, ezért természetesen definiálható rajta Haar-mérték. Ha ezt normalizáljuk, hogy a teljes halmazé egy legyen, akkor érmefeldobások végtelen sorozatait modellezi. Továbbá belátható, hogy az intervallumok szokásos Lebesgue-mértéke megfelel a Cantor-halmaznak azon részhalmazának a Haar-mértékével, ami a természetes megfeleltetésben a szakasz képe. Ez a mérték a szinguláris mérték kanonikus példája. Megmutatható az is, hogy a Haar-mérték bármely valószínűség képe, amitől a Cantor-halmaz univerzális valószínűségi térré válik.

A Lebesgue-mérték elméletében a Cantor-halmaz egy példa a nulla mértékű megszámlálhatatlan halmazra.

Számosság

A $\{0,1\}$ kételemű halmaz megszámlálható végtelen sok tényezős Descartes-szorzata azoknak a végtelen sorozatoknak a halmaza, amelyek a nulla-egy értékeket tartalmazhatják, vagyis az $x:\mathbb {N} \to \{0,1\}$ függvények halmaza. Jele $2^{\mathbb {N} }$. A triadikus kifejtés természetes megfeleltetést is ad a Cantor-halmaz és a $2^{\mathbb {N} }$ halmaz között: a Cantor-halmaz harmadik számrendszerbeli alakjában a 2-eseket 1-re cserélve $2^{\mathbb {N} }$-t kapjuk, és fordítva, ha az egyesek helyett ketteseket írunk, akkor a Cantor-halmazhoz jutunk. Például az 1/4-nek megfelel az $(0,1,0,1,\ldots )$. A függvény képlete:

$f{\bigg (}\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}3^{-k}{\bigg )}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{2}}2^{-k}.$

A $2^{\mathbb {N} }$ halmaz természetes topológiája a {0,1} halmaz szorzattopológiája, amit a {0,1} diszkrét topológiája indukál. A fent definiált leképezés homeomorfizmus a Cantor-halmaz és a $2^{\mathbb {N} }$ halmaz között; ezért az utóbbit Cantor-térnek is nevezik.

A kontinuum számosság bizonyításához elég a függvény szürjektív tulajdonsága, mivel a számosság nem lehet nagyobb, hiszen a Cantor-halmaz a [0,1] intervallum része.

Egy sejtés szerint az algebrai irracionális számok normálisak, tehát minden jegy és jegysorozat egyenletes eloszlással jelenik meg bennük. Mivel a Cantor-halmaz elemei hármas számrendszerben felírhatók az 1-es jegy nélkül, ha a sejtés igaz, akkor csak racionális és transzcendens számok fordulnak elő a halmazban.

A Cantor-halmaz hasonlít a [0,1] intervallumban levő irracionális számok halmazához abban, hogy nem tartalmaz nem nulla hosszú szakaszt, de emellett zárt is, és sehol sem sűrű, ami az irracionális számokra nem igaz.

Topológiai és analitikai tulajdonságok

Ahogy a fentiek mutatják, a Cantor-halmaz számossága kontinuum, de Lebesgue-mértéke nulla. Komplementere előáll nyílt halmazok uniójaként, ezért a valós számok halmazának zárt részhalmaza, ezért teljes metrikus tér. Teljesen korlátos is, így a Heine–Borel-tétel miatt kompakt is.

A Cantor-halmaz összes pontjához tetszőlegesen közel található olyan szám, amely hármas számrendszerben felírható 1-es harmadosjegy nélkül, de olyan is, ami nem írható fel így. Eszerint a Cantor-halmaz minden pontja torlódási pont, de egyik sem belső pont. Egy zárt halmaz perfekt, ha minden pontja torlódási pont. Egy halmaz sehol sem sűrű, ha nincsenek belső pontjai.

A Cantor-halmaz pontjai a Cantor-halmaz komplementerének is torlódási pontjai.

A Cantor-halmaz két különböző pontjának van egy harmadosjegye, amiben először különböznek: az egyikben 0, a másikban 2 ez a jegy. Ha kettéosztjuk a Cantor-halmazt aszerint, hogy ezen a helyen 0 vagy 2 áll, akkor a Cantor-halmazt két zárt halmazra bontottuk, amelyek elválasztják a két pontot. A Cantor-halmaz topológiájában ezek a halmazok nyíltak is. Eszerint a Cantor-halmaz totálisan összefüggéstelen, és mivel kompakt Hausdorff-tér is, a Cantor-halmaz a Stone-terekre is példa.

Topologikus térként a Cantor-halmaz természetesen homeomorf a $\{0,1\}$ megszámlálható végtelen szorzatával, ahol minden másolat a diszkrét topológiával van ellátva. Ez az összes

$2^{\mathbb {N} }=\{(x_{n})\vert x_{n}\in \{0,1\}{\mbox{ for }}n\in \mathbb {N} \}$

sorozat tere, ami azonosítható a 2-adikus egészekkel. A szorzattopológia bázisát a cilinderhalmazok generálják; a homeomorfizmus ezeket a Cantor-halmaz topológiájára képezi le, amely topológiát a valós számokból örökölt. Tyihinov tételével ez újra a kompaktságot igazolja, hiszen kompakt terek szorzata.

A fenti jellemzés szerint a Cantor-halmaz homeomorf a p-adikus egészekkel, és a p-adikus számokkal.

A Cantor-halmaz, mint a valós számok részhalmaza, örökli a valós számok metrikáját. Ez metrika lesz rajta is, mint altéren. Egy másik lehetséges metrika a 2-adikus egészek metrikája $2^{\mathbb {N} }$-ben: ha $(x_{n}),(y_{n})\in 2^{\mathbb {N} }$ sorozatok, akkor távolságuk $d((x_{n}),(y_{n}))=1/k$, ahol k az első jegy helye, ahol különböznek. Ha nincs ilyen index, akkor a két sorozat ugyanaz, és távolságuk nulla. Mindkét metrika ugyanazt a topológiát generálja a Cantor-halmazon.

Ahogy fent már láttuk, a Cantor-halmaz totálisan összefüggéstelen perfekt kompakt metrikus tér. Sőt, ebben az értelemben az egyetlen ilyen: minden nem üres, totálisan összefüggéstelen kompakt metrikus tér homeomorf a Cantor-halmazzal. Ezek a Cantor-terek.

A Cantor-halmazt szokták univerzálisnak hívni a kompakt metrikus terek kategóriájában, mivel minden kompakt metrikus tér a Cantor-halmaz folytonos képe. Azonban a konstrukció nem egyértelmű, így a kategóriaelmélet szerint nem univerzális. Mindenesetre ez a tulajdonsága fontos a funkcionálanalízisben, ahol a kompakt metrikus terek reprezentációtételének is nevezik.

Ha q egész, akkor a G=Z_q^ω topológiája diszkrét. Habár a Pontryagin-duális csoport, Γ is Z_q^ω, Γ topológiája kompakt. Belátható, hogy Γ totálisan összefüggéstelen és perfekt, tehát homeomorf a Cantor-halmazzal. A homeomorfia a legkönnyebben a q = 2 esetben fejezhető ki. (Lásd Rudin 1962, 40.)

Cantor-eloszlás és Cantor-függvény

A Cantor-eloszlás szorosan kapcsolódik a Cantor-halmazhoz, és ahhoz hasonlóan konstruálható. Eloszlásfüggvényét Cantor-függvénynek nevezik.

A Cantor-eloszlás példa a folytonos szinguláris eloszlásra, amelyek szingulárisak a Lebesgue-mértékre, de eloszlásfüggvényük folytonos.

Más Cantor-halmazok

A Cantor-halmazhoz hasonló módszerekkel kapott hasonló tulajdonságú halmazok a Cantor-halmazok. Az elhagyott intervallumok helye, hossza és száma változó:

Legyen adva a valós számok $[a,b]$ intervalluma! Az első lépésben eltávolítunk belőle véges sok diszjunkt nyílt intervallumot, de legalább egyet, és marad legalább 2, de véges sok zárt intervallum.

A második lépésben ehhez hasonlóan megint véges sok nyílt intervallumot távolítunk el minden kis megmaradt intervallumból.

Ezt iterálva végtelen sok lépés után azok a pontok maradnak, amelyek nem tartoztak bele egy eltávolított intervallumba sem.

Megmutatható, hogy az így kapott Cantor-halmazok homeomorfak, és kontinuum számosságúak, vagyis ugyanaz a számosságuk, mint a valós számoké. Az elhagyott és a megmaradt intervallumok arányának megválasztásával minden adott [0,1]-beli számhoz található Cantor-halmaz, aminek ez a dimenziója.

A Smith–Volterra–Cantor-halmaz úgy készül, hogy az n-edik lépésben az egyes szakaszok középső harmada helyett a középső 1/(2ⁿ+2) arányú részét távolítjuk el (tehát egy 1/2²ⁿ hosszú részt). Az elhagyott intervallumok hossza összesen

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}(1/2^{2n+2})={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\,$

így a Smith–Volterra–Cantor-halmaz hossza 1/2. A pozitív Lebesgue-mérték ellenére még ez a halmaz is sehol sem sűrű tulajdonságú.

Cantor-por síkban

Cantor-por térben

A Cantor-por a Cantor-halmaz magasabb dimenziós változata. Ezek a porok a Cantor-halmaz véges Descartes-hatványai. Ahogy a Cantor-halmaznak, a Cantor-poroknak is nulla a mértéke.

A Cantor-halmaz egy másik síkbeli megfelelője a Sierpiński-szőnyeg, térbeli megfelelője a Menger-szivacs.

Történeti megjegyzések

Cantor eredetileg absztrakt módszerekkel alkotta meg a halmazcsaládot, és a ma Cantor-halmazként ismert fraktált csak példaként hozta fel, mint sehol sem sűrű perfekt halmazt. Cikkében több hasonló konstrukciót is felhoz az absztrakt módszerek alkalmazásaként.

Abban az időben ezt a halmazt absztraktnak tekintették, maga Cantor olyan ponthalmazt akart szerkeszteni, ahol a trigonometrikus sorok divergálhatnak. Továbbhaladva a végtelen halmazok általános absztrakt elméletével kezdett foglalkozni.

Források

• Matematikai kislexikon, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972.
• Cantor Set
• Jürgen Appel: Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen. Gabler 2009, ISBN 978-3-540-88902-1, 233-237 (Auszug (Google))
• Steven G. Kranz: A Guide to Topology. MAA 2009, ISBN 978-0-88385-346-7, 33-36
• Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3 (See example 29).
• Gary L. Wise and Eric B. Hall, Counterexamples in Probability and Real Analysis. Oxford University Press, New York 1993. ISBN 0-19-507068-2. (See chapter 1).

További információk

• Cantor-halmaz
• Cantor-halmaz
• Kolumbán József, Vas Anna: A Cantor-halmaz, Matematikai Lapok (Kolozsvár), 1996/1, pp. 6–11.
• Fraktálok és alkalmazásaik