Smith–Volterra–Cantor-halmaz

A fekete intervallumok elhagyása után megmaradó fehér pontok 1/2 mértékű, sehol sem sűrű halmazt alkotnak

A Smith–Volterra–Cantor-halmaz (SVC) a valós számok egy olyan részhalmaza, amely bár sehol sem sűrű, Lebesgue-mértéke mégis pozitív.

Konstrukció

A Cantor-halmaz konstrukciójához hasonlóan most is a [0, 1] intervallum bizonyos részintervallumait fogjuk elhagyni: az n. lépésben mindegyik megmaradt intervallumunk közepéből egy-egy 2^-2n hosszú nyílt intervallumot dobunk el. (Másképp mondva: az n. lépésben a megmaradt 2ⁿ intervallum középső 1/(2ⁿ+2) arányú részét vágjuk ki (1/4, 1/6, 1/10, ...), tehát a Cantor-halmaztól eltérően nem fix ez az arány.) Vagyis az első lépés után a

$\left[0,{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},1\right]$

halmazt kapjuk, a második után a

$\left[0,{\frac {5}{32}}\right]\cup \left[{\frac {7}{32}},{\frac {3}{8}}\right]\cup \left[{\frac {5}{8}},{\frac {25}{32}}\right]\cup \left[{\frac {27}{32}},1\right]$

halmazt stb.

Ha az n. lépés után megmaradó pontok halmazát $A_{n}$ jelöli, akkor a $\cap _{n\in \omega }A_{n}$ halmazt nevezzük Smith–Volterra–Cantor-halmaznak. Más szavakkal: azon pontok lesznek az SVC elemei, amelyeket egyik lépésben sem dobtuk el.

Figyeljük meg, hogy minden lépésben a megmaradt pontok egyre kisebb hányadát vesszük ki, ellentétben a Cantor-halmaz konstrukciójával, ahol mindig a megmaradt halmaz 1/3-át dobjuk el. Intuitíven ez az „oka”, hogy a Smith–Volterra–Cantor-halmaz mértéke pozitív, a Cantor-halmazé viszont zérus.

Tulajdonságok

A konstrukció alapján látható, hogy a Smith–Volterra–Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot, azaz nincs belső pontja. Mivel zárt halmazok metszeteként áll elő, így maga is zárt halmaz. Sehol sem sűrű, hiszen a lezártjának nincs belső pontja (zárt halmaz lévén a lezártja önmaga).

Világos, hogy a halmaz mértéke 1/2, hiszen az eldobott intervallumok összhossza:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n-1}}{2^{2n}}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\dots ={\frac {1}{2}}$

Kapcsolódó szócikkek

• Az SVC-t használjuk a Volterra-függvény konstrukciójánál (lásd a külső hivatkozást)
• Az SVC példa nem Jordan-mérhető kompakt halmazra.
• Az SVC indikátorfüggvénye példa olyan korlátos függvényre, amely nem Riemann-integrálható (0,1)-en, és nem egyezik meg majdnem mindenütt egy Riemann-integrálható függvénnyel.

Források

• Wrestling with the Fundamental Theorem of Calculus: Volterra's function Archiválva 2020. november 23-i dátummal a Wayback Machine-ben, David Bressoud írása