Borel–Lebesgue-tétel

A Borel–Lebesgue lefedési tétel vagy Heine–Borel-tétel a matematikai analízis egy a zárt, korlátos intervallumok lényeges tulajdonságára rámutató tétel, mely a topologikus terek elméletében a kompakt halmaz fogalmának motivációjául szolgál.

A tétel

Tétel – (Dirichlet 1862, Heine 1872) – Ha K ⊆ R korlátos és zárt halmaz és K-nak $(\Omega _{i})_{i\in I}$ nyílt lefedése, akkor ebből kiválasztható véges sok elem, mely még mindig lefedi K-t.

(A K nyílt lefedésén olyan nyílt halmazokból álló $(\Omega _{i})_{i\in I}$ halmazrendszert értünk, amire teljesül, hogy K részhalmaza $(\Omega _{i})_{i\in I}$ uniójának.)

Bizonyítás

Cantor-tétellel

Egy halmazrendszer véges metszet tulajdonságú, ha bármely véges részrendszerének a metszete nemüres. Az alábbi állítások ekvivalensek a valós számok körében.

1. (Cantor-féle közösrész-tétel) Egymásba skatulyázott nemüres, korlátos és zárt intervallumok metszete nemüres.
2. Korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata. (Bolzano–Weierstrass-tétel)
3. Egymásba skatulyázott nemüres, korlátos és zárt halmazok metszete nemüres.
4. Megszámlálhatóan sok zárt halmaz véges metszet tulajdonságú nemüres rendszerének a metszete nemüres, ha van legalább egy korlátos halmaz közöttük.
5. Zárt halmazok véges metszet tulajdonságú nemüres rendszerének a metszete nemüres, ha van legalább egy korlátos halmaz közöttük.

A fenti állítások ekvivalenciája Rⁿ-ben is teljesül, ha intervallum alatt n darab valós intervallum direkt szorzatát értjük. Könnyen lehetne igazolni, hogy az 5-ös állítás ekvivalens a bizonyítandó Borel-Lebesgue tétellel. Ehelyett az 5-ös állítás egy ekvivalens megfogalmazását fogjuk használni. Ha $(F_{\alpha })_{\alpha \in A}$ R-beli korlátos és zárt halmazok olyan nemüres rendszere, hogy minden α, β ∈ A indexre létezik olyan γ ∈ A index, hogy F_γ ⊆ F_α∩F_β (azaz lefelé irányított), akkor az $(F_{\alpha })_{\alpha \in A}$ halmazrendszer metszete nem üres.

Jelölje A az $I$ véges részhalmazainak halmazát és legyen tetszőleges α ∈ A-ra:

$F_{\alpha }:=K\setminus \bigcup \limits _{i\in \alpha }\Omega _{i}$

Ekkor a $(F_{\alpha })_{\alpha \in A}$ halmazrendszer olyan, hogy minden eleme korlátos és zárt R-ben és tetszőleges α, β ∈ A-ra a γ := α U β elem olyan, hogy F_γ ⊆ F_α∩F_β. A tételt azt igazolná, ha belátnánk, hogy van olyan α∈A, hogy F_α = ∅, ugyanis ekkor

$K\subseteq \bigcup \limits _{i\in \alpha }\Omega _{i}$

teljesülne.

Ha $(F_{\alpha })_{\alpha \in A}$ minden eleme nemüres volna, akkor a Cantor-axióma fenti alakjából következne, hogy

$\bigcap \limits _{\alpha \in A}F_{\alpha }\neq \emptyset$

ami ellentmondás, hiszen $(F_{\alpha })_{\alpha \in A}$ definíciójából és a halmazkivonásra vonatkozó de Morgan-szabályból következik, hogy

$\bigcap \limits _{\alpha \in A}F_{\alpha }=K\setminus \bigcup \limits _{\alpha \in A}\left(\bigcup \limits _{i\in \alpha }\Omega _{i}\right)=K\setminus \bigcup \limits _{i\in I}\Omega _{i}=\emptyset$

Tehát van $(F_{\alpha })_{\alpha \in A}$-nak olyan eleme, mely üres, és az ezt indexező α∈A-val a $(\Omega _{i})_{i\in \alpha }$ a kívánt tulajdonságú lefedés lesz.■

Bolzano–Weierstrass-tétellel

1. bizonyítás

Mivel R teljesíti a második megszámlálhatósági kritériumot, azaz van megszámlálható környezetbázisa (például a racionális végpontú nyílt intervallumok ilyet alkotnak), a K korlátos és zárt halmazt lefedő rendszerből kiválasztható megszámlálható részlefedés. Legyen ez (Ω_i)_i=1^∞. Definiálunk egy K-ban haladó (x_n) sorozatot. Ha Ω₁ lefedi K-t, akkor megtaláltuk a véges részlefedést. Ha Ω₁ nem fedi le K-t, legyen x₁ ∈ K \ Ω₁. Ha Ω₁ ∪ Ω₂ már lefedi K-t, akkor szintén megtaláltuk a véges részlefedést. Ha nem, legyen x₂ ∈ K \ (Ω₁ ∪ Ω₂). Így folytatva biztos lesz olyan n, hogy (Ω_i)_i=1ⁿ már lefedi K-t. Tegyük fel ugyanis, hogy nem fedné le. Akkor (x_n) egy végtelen, K-ban haladó sorozat lenne, aminek a Bolzano–Weierstrass-tétel szerint lenne u ∈ K sűrűsödési pontja. Mivel (Ω_i)_i=1^∞ lefedi K-t ezért u-t is tartalmazza egy Ω_m nyílt halmaz. u-nak van Ω_m-be eső nyílt környezete, és ebben a környezetben végtelen sok (x_n)-beli tag. (x_n) konstrukciója szerint minden n-re (Ω_i)_i=1ⁿ-ben csak véges sok tag lehet. Ez azonban ellentmond annak, hogy már magában Ω_m-ben is végtelen sok tag van.

Tehát a véges nyílt lefedés kiválasztásának fenti konstrukciója véges sok lépésben véget ér (bár, hogy mi lesz ez a szám, előre nem tudjuk megmondani sehogyan sem; sőt, már magát (Ω_i)_i=1^∞ sem fogjuk tudni megadni konstruktívan, kézzelfogható módon).■

2. bizonyítás

Legyen C ⊆ ℝⁿ korlátos és zárt halmaz, {Ω_i}_i∈I nyílt fedése C-nek. Fedjük le C-t véges sok 1/k sugarú gömbbel. C korlátossága miatt ez megtehető. Minden B_j gömbhöz válasszunk ki {Ω_i}_i∈I-ből egy Ω_j nyílt halmazt úgy, hogy Ω_j fedje B_j-t. Ha B_j nem volna fedhető, akkor válasszuk hozzá Ω_j-t tetszőlegesen. Ezzel minden k∈ℕ-re definiáltuk {Ω_i}_i∈I -nek egy véges Φ_k részhalmazát. Ha Φ_k fedi C-t, akkor készen vagyunk. Ellenkező esetben létezik egy {x_k}⊆C sorozat amire teljesül, hogy x_k-t Φ_k egyik tagja sem fedi. C korlátossága és a Bolzano–Weierstrass-tétel alapján feltehető, hogy {x_k} konvergens, azaz x_k → x∈ℝⁿ. C zártsága miatt x∈C, tehát létezik egy s∈I index amire x∈Ω_s. Viszont létezik egy 1/k sugarú B_k gömb is, amire x_k∈B_k. Erre elég nagy k esetén B_k⊆Ω_s teljesül, hiszen Ω_s nyílt, x_k → x∈Ω_s és 1/k→0, ami ellentmond Φ_k és x_k választásának. ■

A tétel megfordítása

A lefedési tulajdonság motiválja a kompakt halmaz fogalmát. A K ⊆ R halmaz kompakt, ha minden nyílt lefedéséből kiválasztható véges részlefedés. Ekkor a Borel–Lebesgue-tétel megfordítása érvényes:

Tétel – R-ben minden kompakt halmaz korlátos és zárt.

Bizonyítás. Legyen K kompakt halmaz.

Először a korlátosságot látjuk be. Legyen u tetszőleges R-beli pont. Ekkor világos, hogy a (B(u,n))_n∈N rendszer lefedi K-t. Ebből kiválasztható véges részlefedés, melyek közül a legnagyobb sugarú lefedi K-t, így K átmérője legfeljebb ennek a sugárnak a kétszerese.

Vegyünk egy tetszőleges x pontot K komplementeréből (x ∉ K). A

$\left(\,B\left(y,{\frac {d(y,x)}{2}}\right)\,\right)_{y\in K}$

rendszer lefedi K-t így létezik n darab y₁, …, y_n K-beli elem, hogy

$K\subseteq \bigcup \limits _{i=1,...,n}\,B\left(y_{i},{\frac {d(y_{i},x)}{2}}\right)$

Ha r a legkisebb sugár mind közül, akkor a B(x,r) halmaz nem metsz bele az iménti lefedés egyik elemébe sem, így K-ba sem. Tehát K komplementere nyílt, K pedig zárt.

Általánosítás

Mind a tétel, mind a megfordítása igaz Rⁿ-re is:

Rⁿ egy részhalmaza akkor és csak akkor kompakt, ha korlátos és zárt.

Ám, tetszőleges M metrikus térben csak a megfordítás érvényes:

Ha H az M metrikus tér részhalmaza, akkor:

H kompakt $\Rightarrow$ H korlátos és zárt

H kompakt $\not \Leftarrow$H korlátos és zárt

Létezik ugyanis olyan metrikus tér és benne olyan korlátos és zárt halmaz, ami nem kompakt. Ilyen például a korlátos számsorozatok $\ell ^{\infty }(\mathbf {R} )$ tere, ahol a norma: ||(x_n)||=sup_n{|x_n|}, az ellenpélda pedig a ${\overline {B}}(0,1)=\{s\in \ell ^{\infty }(\mathbf {R} )\;|\;||s-0||\leq 1\}$ zárt gömb (itt 0 az azonosan 0 sorozat).

Metrikus terekben a kompaktság ekvivalens a sorozatkompaktság fogalmával, így a Borel–Lebesgue-tétel és a Bolzano–Weierstrass-tétel ugyanannak a fogalomnak két ekvivalens megfogalmazását mondják ki. Ilyen általános közegben a kompaktság jellemzésére vonatkozik a tétel egy általánosítása:

Tétel – Egy metrikus tér tetszőleges részhalmaza akkor és csak akkor kompakt, ha teljes és teljesen korlátos.

Tetszőleges (legalább Hausdorff-féle) topologikus térben kompakt halmazokra a Borel–Lebesgue-tétel állítása definíció szerint teljesül, hiszen ezeken a terekben a kompaktság a lefedési tulajdonsággal van definiálva. (Itt a korlátosság más kontextusban vetődik fel, hiszen ezekben a terekben a kompakt halmazok részhalmazait nevezik korlátosnak. A zártság ugyanúgy fennáll.)

További információk

• Ivan Kenig, Dr. Prof. Hans-Christian Graf v. Botthmer, Dmitrij Tiessen, Andreas Timm, Viktor Wittman. (2004). The Heine-Borel Theorem (avi • mp4 • mov • swf • stream-elt videó). Hannover: Leibniz Universität. [2011. július 19-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés ideje: 2008-03-10.)