Homeomorfia

Egy folyamatos deformálás egy bögre és egy fánk között jól illusztrálja, hogy homeomorfak. Azonban nem szükséges a homeomorfia szempontjából az egymásba deformálhatóság

A topológiában a homeomorfia vagy topológiai izomorfia (a homoios ~ hasonló és a μορφή (morphē) görög szavakból) egy speciális izomorfia topológiai terek között. Két egymással homeomorf tér topológiai szempontból azonos.

Durván fogalmazva egy topológiai tér egy geometriai objektumnak tekinthető, és a homeomorfizmus egy folytonos deformálás (nyújtás, hajlítás stb.), mely egy másik objektummá alakítja. Így például egy kör és egy négyzet homeomorf, sőt egy bögre és egy fánk is (feltéve, hogy a fánk lyukas). De például egy gömb és egy fánk nem (a „lyukasztás” nem megengedett).

Definíció

Az f függvényt X és Y topológiai terek között homeomorfizmusnak hívjuk, ha

• f bijekció
• f folytonos
• f inverze (f^-1) is folytonos.

Ha létezik ilyen függvény, X és Y között, akkor e két teret homeomorfnak mondjuk. A homeomorfizmus ekvivalenciareláció a topológiai terek osztályán. Ezt az ekvivalenciaosztályt homeomorf osztálynak hívjuk.

Példák

Ez a háromlevelű csomó homeomorf a tórusszal. Bár megfoghatatlannak tűnhet, 4 dimenzióban tényleg egymásba deformálhatóak

• A körlap és a négyzet(lap) az euklideszi síkon (R²) homeomorf (a körlap polárkoordinátázása ugyanis homeomorfizmus)
• A (-1;1) nyílt intervallum homeomorf a valós számok halmazával (például az ${\frac {2}{\pi }}\,\mathrm {arctg} \,(x)$ függvény homeomorfizmus a két halmaz között)
• Minden egyenletesen folytonos bijekció (melynek inverze is egyenletesen folytonos), minden bi-Lipschitz bijekció és minden távolságtartó bijekció homeomorfizmus (hiszen ezeknél a folytonossági kitétel közvetlen következmény).
• A gömbfelület egy pontját elhagyva homeomorf a síkkal (a sztereografikus projekció alkalmas homeomorf leképezés)
• Rⁿ és R^m nem homeomorfak, ha n ≠ m (például ez R² és R³ tekintetében azt jelentené ugyanis, hogy minden gráf síkban rajzolható lenne.)

Megjegyzések

A harmadik követelmény (miszerint az inverz függvény is folytonos) lényeges. Van ugyanis olyan függvény, mely bijektív, folytonos de az inverze nem folytonos. Vegyük például az f : [0, 2π) → S¹, f(φ) = (cos(φ), sin(φ)) leképezést. Világos, hogy ennek az inverze nem folytonos, hiszen a (1,0) pontnak nem találunk olyan környezetét, mely a 0 pont 1 sugarú környezetébe képeződne.

A homeomorfizmusok a topologikus terek kategóriájának izomorfizmusai. Két homeomorfizmus kompozíciója is homeomorfizmus és egy X teret saját magára képező homeomorfizmusok (X → X) halmaza, a topologikus automorfizmusok csoportot alkotnak, melyet az X homeomorfizmus csoportjának hívnak. Ezt gyakran Homeo(X)-szel jelölik.

Tulajdonságok

• Két egymással homeomorf tér ugyanazokkal a topológiai tulajdonságokkal bír. Például ha egyikük kompakt, akkor a másik is; ha egyikük összefüggő, akkor a másik is. Homeomorf terek homológiacsoportja megegyezik. A tulajdonságok megtartása mindazonáltal nem terjed ki a metrikus terek fogalmaival megfogalmazott tulajdonságokra. Például vannak homeomorf terek, melyek közül az egyik teljes, a másik nem.
• Homeomorfizmus egyszerre nyílt és zárt leképezés, azaz nyílt halmazt nyíltba, zártat zártba képez.
• Az n dimenziós térbeli $S^{n-1}$ gömbhéjon definiált topologikus automorfizmus kiterjeszthető az általa határolt $B^{n}$ gömb topologikus automorfizmusává (Alexandrov-féle kiterjesztési módszer).

Kötetlen diszkusszió

Az egymásba deformálhatóság (nyújtás, hajlítás, vágás, ragasztás) megfelelő alkalmazása kis tapasztalatot igényel – talán nem egyértelmű a definícióból, de egy szakaszt nem lehet ponttá deformálni. Továbbá fontos megjegyezni, hogy a fent megadott formális definíció a mérvadó.

A homeomorfizmust ezen karakterisztikája miatt gyakran összetévesztik a homotópiával, ami egy folytonos deformálásnak van definiálva, de függvények között, nem pedig terek között. A homeomorfizmusnál a deformálás elképzelése csak segíti nyomon követni egy X-beli pont helyét az Y-ban – elég csak a deformálás során bejárt útját figyelni. A homotópiában ténylegesen a deformálásról van szó, valamint sokkal gyengébb feltételeket szab, hisz ott egyik függvénynek sem kell bijektívnek lenni.

A homeomorfia szemléltetéséhez adott deformálásnak nevet is adtak (ha a vágás és visszaragasztás nem megengedett): izotópiának hívják az X-beli identitás és az X-ből Y-ba képzett homeomorfizmus között.

Kapcsolódó szócikkek

• Diffeomorfizmus

Források

• Homeotopy a PlanetMath-en
• Bognár Mátyás: Csalafinta felületek Archiválva 2008. február 1-i dátummal a Wayback Machine-ben