Transzformáció (matematika)

A geometriai transzformáció geometriai objektumok között létesített megfeleltetés, függvény, illetve reláció. A geometriai transzformáció fogalmai szemléletes konkrétumokból származtathatók, de a tudomány fejlődése során absztrakttá váltak és korábban nem tapasztalt jellemzőkkel egészültek ki.

Neve

Az elnevezés eredete bizonytalan és nem is találó, hiszen mint a latin transformare ige származéka átalakítást jelent, de sok transzformáció éppenhogy nem változtatja meg az alakzatok formáját (egybevágóság, hasonlóság). Talán a transportatio (átszállítás), transplantatio (átültetés), transmissio (átküldés) szavak egyike alkalmasabb lett volna, hiszen a pont-transzformációk a sík/tér pontjait (kevés kivétellel) máshová helyezik. Gyanítható, hogy a fogalom kialakulására és elnevezésére akkor került sor, amikor a kutatók az egyszerű, szemléletes alaktartó transzformációk után a torzképet generáló (anamorf) megfeleltetésekkel is kezdtek foglalkozni.

Gyakran a transzformáció helyett a görögből származó homológia szó szerepel a szakirodalomban.

Története

Eukleidész az Elemekben csak két alakzat egybevágóságával és hasonlóságával, mint az összehasonlítás (összemérés) egyik attribútumával foglalkozik anélkül, hogy ezeket megnevezné. Csupán úgy szólnak a tételei, hogy „bizonyos méretek egyezése esetén más méretek is egyelők”. (Pl. ha két háromszögben két oldal és a közbezárt szög megegyezik, akkor a harmadik oldal és a két másik szög is.) Az Elemek szellemében keletkezett ókori és középkori munkákban csupán nyomokban jelenik meg a megfeleltetés, s akkor is inkább olyan feladatokban, hogy „szerkesszük meg egy adott alakzat olyan képét ...” és az olyan kikötésében fogalmazódik meg (kezdetben burkoltan) az egybevágóság/hasonlóság kritériuma. Az Elemek szemlélete a szintetikus geometriát tárgyaló tankönyvek, monográfiák lapjain még a 20. században is felfedezhető (a szimmetrikus alakzatok vizsgálatával kiegészítve).

Bár az újkori matematikusok levelezésében követhető a fogalom fejlődése, az analitikus (koordinátás) tárgyalás első szisztematikus kidolgozását Leonhard Eulernek tulajdoníthatjuk (Introductio in analysis infinitorum, 1784).

A merev testek helyváltoztatásához, mozgásához kapcsolódó vizsgálatokból kiindulva jutott el a matematika a térbeli és síkbeli alakzatokra értelmezett leképezések, a geometriai transzformációk fontosságának felismeréséhez. Lényeges fordulatot hozott az 1872-es év. Ekkor hangzott el Felix Klein (1849–1925) német matematikus nevezetes előadása, amelyre a matematika története az Erlangeni Program néven utal. Klein ebben az összefoglalójában hívta fel a figyelmet, hogy a geometriai transzformációkat vizsgálhatjuk aszerint is, hogy egyes alakzatoknak milyen tulajdonságait örökítik; más szóhasználattal, hogy a transzformáció során melyik tulajdonság változatlan, invariáns.

Általános jellemzők

A transzformációgeometria a ponttranszformációk tárgyalásánál az analitikus (algebrai) eszközöket nem használó szintetikus geometria a szemléletből származtatott geometriai fogalmakat használ, s a megállapítások főleg a szemléletes euklideszi sík (2D) és tér (3D) pontjaira, alakzataira vonatkoznak, lásd: euklideszi síkgeometria. Ezzel szemben az analitikus eszközöket használó koordinátageometria (lineáris algebra) véges dimenziójú ponthalmazokkal, n-dimenziós vektorterekkel foglalkozik. Különbözik a transzformáció megadása is: szerkesztési szabály (algoritmus), illetve képlet (egyenlet). A két szakterület eszköztárával definiált fogalmakat, tételeket össze kell vetni, azaz igazolni, hogy más „nyelven”, de ugyanarról beszélünk.

Fogalmak, elnevezések

Szűkebb értelemben egy-egyértelmű $\varphi$: P → P* (pont-pont) megfeleltetés a ponttranszformáció.

A P pont a transzformáció tárgypontja, a megfeleltetett P* pont pedig a transzformáció képpontja vagy képe.

Az összetartozó (P, P*) rendezett pár egy homológ pontpár. Hasonló értelemben használjuk a tárgyalakzat, képalakzat, homológ alakzatok elnevezéseket. Gyakran a transzformáció helyett is a görögből származó homológia szó szerepel az irodalomban.

Valamivel általánosabb értelmezésben transzformációnak nevezzük azokat a megfeleltetéseket is, amelyeknél a megfelelő elempárok különfélék. Pl.: ponthoz-egyenest és egyeneshez-pontot rendelő megfeleltetések, a korrelációk.

Esetenként geometriai alakzatok (idomok, testek, ponthalmazok), máskor a sík/tér minden pontjának áthelyezéseként-átalakításaként értelmezzük. Ugyanígy váltakozva a sík önmagára vagy egy másik síkra való transzformálásáról beszélünk. Ugyancsak transzformáció a térbeli alakzatok síkbeli szemléltetése: ábrázolása, de pont-pont megfeleltetést valósítunk meg a Földet síkban ábrázoló térképeken is. A geometriai transzformáció egyik válfaját valósítják meg a komplex függvények.

Speciális alakzatok

• Invariáns (változatlan) alakzat: A sík/tér önmagára való leképezésekor néhány pont, egyenes vagy más fontos alakzat képe a tárgyával megegyezhet.
• Fix (mozdulatlan) alakzat: Olyan invariáns alakzat, melynek minden pontja helyben marad.

Síkban

• Centrum: fixpont, amelyre illeszkedő egyenesek invariáns egyenesek.
• Tengely: fixegyenes. (Hagyományos -szinonim- elnevezés: forgás-, tükrözés-, affinítás-tengelye !)

Térben

• Centrum: fixpont, amelyre illeszkedő egyenesek és síkok invariáns alakzatok.
• Tengely: fixegyenes, amelyre illeszkedő egyenesek (metszők) és síkok invariáns alakzatok.
• Tengely-sík: fixsík amelyre illeszkedő pontok és egyenesek invariáns alakzatok.

Műveletek transzformációkkal

• Invertálás, megfordítás: ha a transzformációt megadó megfeleltetés egy-egyértelmű (bijekció), akkor létezik az inverze, ami minden P* képponthoz annak P tárgypontját rendeli.

• Összetett függvényképzés: két vagy több transzformáció kompozícióját kapjuk, ha egymásután hajtjuk végre azokat: P →P* az első, P* → P** a második hozzárendelés, amelyet egyetlen P → P** helyettesít. Ezért célszerű az „egyszerű”, (kevés eszközzel leírható) elemi, vagy kanonikus és az összetett transzformációkat megkülönböztetni. A részletes tárgyalás kimutatja, hogy a kanonikus transzformációk kompozíciójával a sík minden olyan transzformációja előállítható, amelyik az összetevők invariáns tulajdonságaival rendelkezik.

A transzformációk Klein-féle rendszerezése

(Nem osztályozás, mert átfedések vannak!)

Homeomorfia (topologikus transzformáció)

Nagyon általános, kevés invarianciát mutató transzformációt kapunk, ha egy ábrát rugalmas lemezre rajzolunk, majd a lemezt tetszőlegesen alakítjuk, miközben csak arra ügyelünk, hogy síkban maradjon. Az ábra szinte a felismerhetetlenségig eltorzul. A távolságok, a szögek, az arányok is megváltoznak, de a formák egy része így is felismerhető. Az egyenesek, körök, sokszögek akármilyen görbévé-idommá változtathatók. Néhány invariáns tulajdonságot azonban itt is felfedezhetünk, s ezek egyike a folytonosság. Ez a fura transzformáció megőrzi az elemek illeszkedését is. A vonalakon elhelyezkedő pontok rendezettsége is megmarad: a tárgy- és képalakzat egymással homeomorf = topologikusan ekvivalens. (Szemléletesen illusztrálja a topologikus transzformációt egy úthálózat deformált térképe.)

Anamorfia

Tükrözés körre (inverzió)

A valamivel „szabályosabb” (szerkesztésekkel vagy képletekkel megadott) transzformációkat anamorfizmusoknak nevezik, ha nem minden egyenesnek egyenes a képe. Ilyen pl. a körre vonatkozó inverzió. Művészi ábrázolásnál is alkalmazzák.
Néhány példa és free-software!:

Kollineáció (projektivitás)

Olyan homeomorfia, aminél minden egyenes képe egyenes. A sík (bijektív) egyenestartó leképezéseinek gyűjtőneve. Analitikusan elsőfokú (lineáris) egyenletrendszerrel adjuk meg: lineáris transzformáció. Az egyenesen levő pontnégyesek kettősviszonyát is megőrzi.

Affinitás

Olyan kollineáció, ami a párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe transzformálja, azaz párhuzamosságtartó. Az egyenes három pontjának az osztóviszonyát is örökli a kép.

Hasonlóság

Olyan affinitás, ami megtartja a szakaszok arányát és az egyenesek hajlásszögét.

Egybevágóság

Olyan hasonlóság, ahol a szakaszok képének hossza is invariáns, azaz távolságtartó. A legegyszerűbb, triviális egybevágóság identitás.

Elemi (kanonikus) síkbeli transzformációk

Identitás

A P* = P szabállyal adott transzformáció (= minden pontnak önmaga a képe).

Mozgások

• Eltolás (transzláció): Minden PP* szakasz azonos irányú és nagyságú.
• Forgatás (rotáció): C fix, minden más P-re PP* azonos irányú és C közepű körív, azonos középponti szöggel.

(A transzformáció szempontjából közömbös a mozgás pályája.)

Tükrözések (szimmetriák)

Tengelyes tükrözés

Középpontos tükrözés

• Tengelyes tükrözés: Ha P∈t, akkor P*=P, különben PP* ⊥ t és (P*t) = -(Pt).
• Középpontos tükrözés: Ha P=C, akkor P*=P, különben (P*C) = -(PC)

Tengely- / kör-szimmetrikus egy alakzat, ha önmagának a képe.

Középpontos hasonlóság

Homotécia

• Homotécia: Ha P=C, akkor P*=P, különben P* ∈ CP és CP* = k.CP (k≠0)

A hasonlóság aránya k < 0 és k > 0 is lehet,

• ha |k| < 1: kicsinyítés,
• ha 1 < |k|: nagyítás,
• ha k = 1: identitás,
• ha k = -1: tükrözés.

Tengelyes affinitások

Merőleges affinitás

• Merőleges (ortogonális) affinitás: Ha P∈t, akkor P*=P, különben PP* ⊥ t és tP* = k.tP (k≠0)

Az affinitás aránya k < 0 és k > 0 is lehet,

• ha |k| < 1: összenyomás,
• ha 1 < |k|: nyújtás,
• ha k = 1: identitás,
• ha k = -1: tükrözés.

• Párhuzamos affinitás (nyírás, eláció): Ha P∈t, akkor P*=P, különben PP* || t és tP* = k.tP (k≠0)

(A nem-merőleges (klinogonális) affinitás: PP* szakaszok t-vel alkotott szöge azonos. Nem elemi transzf., kompozícióként állítható elő. A)

Projektivitás

Néhány leképezés

• Centrális-axiális kollineáció

A transzformációt a C centrumával, a t tengelyével és egy homológ pontpárral (P→P*) adhatjuk meg.
A leképezés: Ha P∈t és/vagy P=C, akkor P*=P, különben PP*∈C; továbbá ha e||t, akkor e*||t, különben az (ee*)∈t.

! Az euklideszi sík nem minden esetben kompakt erre a megfeleltetésre nézve, azaz nem minden pontjának van képe és nem minden pont kép!!

Az ideális pontokkal kiegészített euklideszi sík (klasszikus projektív sík) azonban igen.

Elemi (kanonikus) térbeli transzformációk

(Részletezés nélkül)

Mozgások

• Egyenes menti eltolás
• Tengely körüli forgatás

Tükrözések

• Pontra
• Egyenesre
• Síkra

(Invariáns alakzatok: gömb-, henger-, sík-szimmetrikusak.)

Hasonlóság

• Homotécia (középpontos kicsinyítés / nagyítás)

Affinitás

• Tengelyes (szűkítés / tágítás)
• Tengely-síkos (lapítás / széthúzás)

Projektivitás

• Centrális-tengelysíkos kollineáció

A transzformációk analízise

Az euklideszi sík transzformációi közül csak azokat vizsgálhatjuk az analitikus geometria eszközeivel, amelyeknek a leképezését

$x^{,}=X(x,y)$

$y^{,}=Y(x,y)$

alakú transzformációs egyenletrendszerrel írhatjuk le.
A sík affin (hasonló, egybevágó) transzformációit

$x^{,}=a_{10}+a_{11}x+a_{12}y$

$y^{,}=a_{20}+a_{21}x+a_{22}y$

homogén lineáris egyenletrendszer definiálja: lineáris transzformációk.

Affin transzformációk

A párhuzamosságot nem örökítő projektív transzformációk analíziséhez homogén koordinátákat kell használni

$x_{0}^{,}=a_{00}x_{0}+a_{01}x_{1}+a_{02}x_{2}$

$x_{1}^{,}=a_{10}x_{0}+a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}$

$x_{2}^{,}=a_{20}x_{0}+a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}$

A kibővített euklideszi (=klasszikus projektív) sík közönséges pontjainak (x₀≠0) kétféle koordinátáinak átszámításai:

$x=x_{1}:x_{0}$

$y=x_{2}:x_{0}$

illetve

$(x_{0},x_{1},x_{2})=(x,y,1)$.

Pont- és bázistranszformáció

Bázistranszformációk

Az analitikus tárgyalásban meg szoktuk különböztetni két értelmezést:

1. Pont-transzformáció: a sík pontjainak képét rögzített koordináta-rendszerben adjuk meg,
2. Bázis-(rendszer-) transzformáció: a pontokat a síkban rögzítve a koordináta-rendszert transzformáljuk.

Ez utóbbi értelmezés szerint a leképezés a koordináta-hálózat képével szemléltethető.

Vetítés (projekció, perspektíva)

Vetítések

Két sík között úgy is megadhatunk egy leképezést, hogy a tárgysík pontjait a képsík pontjaiba vetítjük:

• paralel projekció: párhuzamos egyenesekkel
• centrális projekció: egy (külső) pontra illeszkedő egyenesekkel.

A vetítés által generált leképezés típusa ezen kívül a két sík kölcsönös helyzetétől is függ. (L.: ábra)
A sík vagy a tér önmagára való leképezése:

• perspektív: ha a homológ pontpárokat (PP*) összekötő egyenesek párhuzamosak, vagy centrálisak.

Síkvetületek

Térképek

Különleges alkalmazásoknál használt transzformációk, például a

• térábrázolás (3D-grafika): elfajuló 3D kollineáció, (a tér pontjainak képe egy síkba kerül)

A műszaki gyakorlat a Monge-féle vetületeket és axonometrikus perspektívát, a művészi térábrázolás centrális perspektívát használ.

• térképvetület: a Földfelszín síkba transzformált képe.

A térképvetületek egy része valódi (perspektív) vetítéssel származtatható (valódi vetület), másokat analitikus formulákkal adják meg (képzetes vetület). A vetületek között összetett megfeleltetésekkel is találkozunk. (Pl.: A földgömböt hengerre, kúpra stb. vetítik, majd ezeket a térkép síkjára kiterítik, esetleg a közvetítő felületet ismételten vetítik.)

Források

• Coxeter, H.S.M.: Projektív geometria, Gondolat, Budapest (1986)
• Courant, R. - Robins, H.: Mi a matematika?, Gondolat, Budapest (1966)
• Euklidész (Mayer Gy.): Elemek, Gondolat, Budapest (1983); ISBN 963 281 267 0.
• Hack Frigyes: A 3D-grafika geometriai alapjai, ELTE,Budapest (2002)
• Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest (1960)
• Halmai Erzsébet: Lineáris algebra, Tankönyvkiadó, Budapest (1979)
• Kárteszi Ferenc: Bevezetés a véges geometriákba, Akadémiai Kiadó, Budapest (1972)
• Kárteszi Ferenc: Ábrázoló geometria, Tankönyvkiadó, Budapest (1957)
• Pachné - Frey: Vektor- és tenzoranalízis, Műszaki Könyvkiadó, Budapest (1964)
• Péntek Kálmán: A lineáris algebra alapjai I., Oskar Kiadó, Szombathely (2000)
• Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika Logika algebra kombinatorika, Polygon, Szeged (1994)