Homogén koordináták

Az olyan koordináta-rendszereket nevezik homogénnek, amelyekben a pontot azonosító rendezett pár (hármas, négyes stb.) elemeit egy nullától különböző számmal megszorozva ugyanazt a pontot azonosító párt (hármast, négyest…) kapjuk.

$(x_{0},x_{1})=(\mu \cdot x_{0},\mu \cdot x_{1})$

A homogén koordináták igazi jelentőségét az adja, hogy használatukkal az ideális térelemek (pont, egyenes, sík) is megadhatók.

Fontosabb típusok

• Projektív koordináták.
• Súlyponti (baricentrikus) koordináták.
• Plücker-féle derékszögű homogén koordináták.

A projektív koordináta-rendszer az általános, a többi ennek speciális esete. (A magyar geometria tankönyvek egy része a nemzetközi terminológiával nem lévén összhangban, a Plücker-féle koordinátákat és csak ezeket nevezik homogénnek! )

Az egyenes (1D-tér) projektív koordinátái

A projektív rendszert az egyenesen kívüli pontból induló két bázis-vektorral - ${\vec {a_{0}}},{\vec {a_{1}}}$ - adjuk meg. A két bázis egy tetszőleges lineáris kombinációja egy olyan ${\vec {p}}=x_{0}{\vec {a_{0}}}+x_{1}{\vec {a_{1}}}$ vektort ad meg, aminek egyenese az adott egyenest egy $P$ pontban metszi.

Definíció: Az $[x_{0};x_{1}]$ rendezett pár elemei a $P$ pont koordinátái.

A definíció következménye: $[\mu x_{0};\mu x_{1}]=[x_{0};x_{1}]$ , mert a $\mu$ szorzó az $x_{0}{\vec {a_{0}}}$ és az $x_{1}{\vec {a_{1}}}$ vektor-komponenseket és ezzel a ${\vec {p}}$ eredőt arányosan nyújtja meg. A vektor egyenese nem változik, ugyanazt a $P$ pontot jelöli ki.

Súlyponti koordinátákat akkor kapunk, ha a bázisvektorok „végpontja” az egyenesre esik.

Az egyenes Plücker-féle koordinátáit az egyenesre merőleges és párhuzamos, egyenlő hosszúságú bázis-pár szolgáltatja.

Egységpont: A bázis-vektorok összege olyan pontot jelöl ki, melynek koordinátái $E[1;1]=[\mu ;\mu ]$

A koordináta-rendszer az egyenes három (különböző) pontjának kijelölésével egyértelműen megadható:

• $R=\{A_{0},A_{1},E\}$ .

A sík (2D-tér) projektív koordinátái

Az egyeneshez hasonlóan a sík koordináta-bázisát is egy külső pontból indítjuk. A különbség csupán a dimenzióban van. A síkbeli $P$ pontot a bázis lineáris kombinációjával adott ${\vec {p}}=x_{0}{\vec {a_{0}}}+x_{1}{\vec {a_{1}}}+x_{2}{\vec {a_{2}}}$ eredő-vektor egyenese döfi ki. A pontkoordináták eszerint:

• $P[\mu x_{0};\mu x_{1};\mu x_{2}]$.

A bázistól függetlenül is (anélkül, hogy a síkból kilépnénk) megadható a koordináta-rendszer a három alappont és az egységpont kitűzésével: $R=\{A_{0},A_{1},A_{2},E\}$. (Kikötés: A négy pont hármasával nem eshet egy egyenesbe!)

A súlyponti és a derékszögű homogén (az ábrán) koordináták ugyanúgy adódnak, mint az egyenesnél.

A 3D-tér projektív koordinátái

A térben a koordináta-rendszert a négy alappontjával (tetraéder) és az egységponttal tűzhetjük ki:

• $R=\{A_{0},A_{1},A_{2},A_{3},E\}$.

A súlyponti rendszer egységpontját az alaptetraéder geometriai súlypontjában kell felvenni. A térbeli Plücker-féle rendszer alappontjai és egységpontja a Descartes-rendszerével esnek egybe.

Rácspontok

Az egyenes projektív rácspontjai azok, amelyeknek koordinátáinak hányadosa egész szám. Mivel a hányados (arány) nem kommutatív, kétféle rácspont-sorozatot kapunk. Az egyik az

$...,[1;-1],[1;0],[1;1],[1;2],[1;3],...$

A másik a reciprok rácsok sorozata

$...,[-1;1],[0;1],[1;1],[2;1],[3;1],...$

A (piros) projektív skála rácspontjai megfelelnek egy centrálisan vetített (kék) számegyenes rácspontjainak. A sík projektív rácspontjai és a rácsvonalak alkotják a Möbius-féle hálót, mely a perspektivikus térábrázolásban játszik szerepet.

Irodalom

• Hajós György: Bevezetés a geometriába - Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.
• Coxeter, H.S.M.: Projektív geometria - Gondolat Kiadó, Budapest, 1986.
• Hack Frigyes: A 3D-grafika geometriai alapjai - ELTE-Mikrológia 43, 2002.