Tükrözés (matematika)

Ez a szócikk egy matematikai fogalomról szól. Hasonló címmel lásd még: Tükrözés (egyértelműsítő lap).

Az egybevágósági transzformációk közül többet is tükrözésnek neveznek. Legismertebb a síkbeli tengelyes tükrözés és pontra tükrözés. Néha a térbeli síkra tükrözés is szóba kerül. Az inverziót körre tükrözésnek is szokás nevezni.

Középpontos tükrözés

Az egyenesen értelmezett középpontos tükrözés az egyenes egy P pontját abba a P¹ pontba viszi, ami ugyanolyan távol van a középponttól, mint P, hogy a középpont a PP¹ szakasz felezőpontja legyen.

Legtöbbször ennek síkbeli kiterjesztéséről beszélnek. Ekkor a sík egy P pontjának P¹ képe az a pont, ami a P pontot a középponttal összekötő egyenesen fekszik, hogy a középpont a PP¹ szakasz felezőpontja.

Tulajdonságok

A középpontos tükrözésnek a következő tulajdonságai vannak a síkban:

olyan forgatás, aminek szöge 180 fok
- irányítástartó
megadható középpontjával, vagy egy pont-pont képe párral
van egy fixpontja: a középpontja
invariáns egyenesei a középponton átmenő egyenesek
felírható két tengelyes tükrözés szorzataként, melyek tengelyei merőlegesek egymásra, és a középpontban metszik egymást
a transzformációszorzásban eltolással szorozva középpontos tükrözést ad
két középpontos tükrözés szorzata eltolás

Tengelyes tükrözés

Tengelyes tükrözés az a transzformáció, ami szerint egy P pont képe az a P¹ pont, ami a P pontból a tükrözés tengelyére bocsátott merőlegesen fekszik, és távolsága megegyezik a P pont tengelytől mért távolságával.

Síkban a tengely a PP¹ szakasz felezőmerőlegese. Térben a szakasz felezőmerőleges síkjában helyezkedik el.

Tulajdonságok

A síkban:

irányításváltó
megadható tengelyével vagy pont - pont képe párral
fixegyenese a tengelye
invariáns egyenesei a tengelyre merőleges egyenesek
egy tengelyes tükrözés a tengelyes tükrözések közül csak önmagával vagy rá merőleges tengelyű tükrözéssel cserélhető fel
önmagával vett szorzata identitás
három, egy ponton átmenő tengelyű, vagy párhuzamos tengelyű tükrözés szorzata tengelyes tükrözés
- ebben a szorzatban a két szélső tényező felcserélhető egymással
három, páronként egymást metsző tengelyű tükrözés szorzata csúsztatva tükrözés
két tengelyes tükrözés szorzata
- forgatás, ha a tengelyek metszik egymást
- eltolás, ha párhuzamosak
páros számú tengelyes tükrözés szorzata nem írható fel páratlan számú tengelyes tükrözés szorzataként
a sík összes transzformációja előáll legfeljebb három tengelyes tükrözés szorzataként

A térben:

irányítástartó
180 fokos forgatás a tengely körül
megkapható két merőleges síkra tükrözéssel
önmagával vett szorzata identitás
megadható tengelyével
fixegyenese a tengelye
invariáns egyenesei a tengelyre merőleges egyenesek
egy egyenes képe abban a pontban metszi a tengelyt, amiben az egyenes is metszi
a tengellyel párhuzamos egyenesek képei is párhuzamosak a tengellyel, és tengelytől vett távolságuk megegyezik az eredeti egyenesek tengelytől mért távolságával
három párhuzamos tengelyre vett tükrözés szorzata tengelyes tükrözés

Tengelyes szimmetria

Egy alakzat tengelyesen szimmetrikus a síkban, ha van tengely, amire tükrözve önmagába megy át. Ilyen például az egyenlő szárú háromszög, a húrtrapéz, a deltoid, a rombusz, a téglalap, a kör.

Síkra tükrözés

Síkra tükrözés az a (téren értelmezett) transzformáció, ami szerint egy P pont képe az a P¹ pont, ami a P pontból a tükrözés síkjára bocsátott merőlegesen fekszik, és távolsága megegyezik a P pont tengelytől mért távolságával.

Ekkor a tükrözés síkja a PP¹ szakasz felező merőleges síkja.

Tulajdonságok

Irányításváltó
Egyértelműen megadható a tükrözés síkjával, vagy egy pont-pont képe párral
A tükrözés síkja fix
A tükrözés síkjára merőleges egyenesek, síkok invariánsak
A tükrözés síkjával párhuzamos egyenes, sík képe párhuzamos az eredeti egyenessel, síkkal
A tükrözés síkját metsző egyenes, sík képe ugyanabban a pontban metszi a síkot, mint az eredeti egyenes, sík
- Ekkor a tükrözés síkja az eredeti és a képsíkok szögfelező síkja
Önmagával vett szorzata az identitás
Három közös egyenesen átmenő, vagy párhuzamos síkra vett tükrözés szorzata síkra vett tükrözés, és ebben a szorzatban a két szélső tényező felcserélhető
A tér bármely egybevágósága előáll legfeljebb négy síkra tükrözés szorzataként
Páros számú síkra tükrözés szorzata nem fejezhető ki páratlan számú síkra tükrözés szorzataként
Két síkra tükrözés csak akkor cserélhető fel, ha síkjaik merőlegesek egymásra, vagy megegyeznek

Algebra

Síkban a tengelyes tükrözések, térben a síkra tükrözések generálják a hasonlósági transzformációk csoportját.

Lineáris algebra

A síkban (az origón átmenő) egyenesre, a térben (origón átmenő) síkra tükrözés mátrixa −1 determinánsú ortogonális mátrix.

A síkban az origón átmenő, az x tengely pozitív felével $\vartheta$ szöget bezáró egyenesre tükrözés mátrixa:

\mathrm {Ref} (\vartheta )={\begin{bmatrix}\cos 2\vartheta &\sin 2\vartheta \\\sin 2\vartheta &-\cos 2\vartheta \end{bmatrix}}.

A koordinátasíkokra, koordinátatengelyekre, origóra tükrözés mátrixai a térben:

az YZ koordinátasíkra:

\mathrm {Ref} (YZ)={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.

az X tengelyre:

\mathrm {Ref} (X)={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}.

az origóra:

\mathrm {Ref} (O)={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}.

Általánosítások

Csúsztatva tükrözés: felírható egy tükrözés és egy eltolás szorzataként. Ebben a szorzatban a tényezők felcserélhetők, és választható olyan eltolás és tükrözés, hogy az eltolás iránya párhuzamos legyen a tükrözés tengelyével vagy síkjával. Felírható három tengelyes vagy síkra tükrözés szorzataként. Mátrixa ‒1 determinánsú ortogonális mátrix. A sík minden irányításváltó egybevágósági transzformációja csúsztatva tükrözés.

A tükrözés speciális csúsztatva tükrözésnek tekinthető, ahol a fenti szorzatban az eltolás az identitás.

Forgatva tükrözés: felírható egy síkra tükrözés és egy tengelyes forgatás szorzataként. Ebben a szorzatban a tényezők felcserélhetők, és választható olyan forgatás és tükrözés, hogy a forgatás tengelye merőleges legyen a tükrözés síkjára.

A síkra tükrözés speciális forgatva tükrözésnek tekinthető, ahol a fenti szorzatban a forgatás az identitás.

Kapcsolódó szócikkek

Források