Ortogonális mátrix

A ortogonális mátrix (jele általában Q) csakis valós számokkal kitöltött unitér mátrix.

Tulajdonságai

Ezekre a mátrixokra igaz, hogy transzponáltja egyben inverze is:

$Q^{T}Q=QQ^{T}=E.\,\!$

Az ortogonális mátrix determinánsa +1 vagy −1.

Az ortogonális mátrix különleges esete a speciális ortogonális mátrix, ha determinánsa +1:

$\det Q=+1.\,\!$

Ha egy mátrix ortogonális és felcseréljük az oszlopvektorok sorrendjét, akkor az így kapott új mátrix is ortogonális lesz. Gyakorlati alkalmazás során előnyük, hogy a velük való szorzás megőrzi a hosszat, szögeket és a térfogatot.

Példák

A következőkben néhány ortogonális mátrix látható esetleges alkalmazásukkal.

• ${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad {\text{ }}$ (egységnyi transzformáció)

• ${\text{ }}{\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}\qquad {\text{ }}$ (forgatás $\theta$ szöggel)

• ${\text{ }}{\begin{bmatrix}{\text{0,96}}&{\text{-0,28}}\\{\text{0,28}}&\;\;\,{\text{0,96}}\\\end{bmatrix}}\qquad {\text{ }}$ (forgatás 16,26°-kal)

• ${\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}\qquad {\text{ }}$ (tükrözés az x-tengelyre)

• ${\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}\qquad {\text{ }}$ (tengelyek permutációja)

Források

• Wettl Ferenc: Ortogonalizáció – BME, 2016
• Simon Károly: Matematika MSc Építőmérnököknek (2011)