Számtani sorozat

A számtani sorozat (más néven aritmetikai sorozat, régies néven számtani vagy aritmetikai haladvány) egy elemi matematikai fogalom, mely a matematika sok részterületén előfordul. Egy legalább három számból álló – akár véges, akár végtelen – sorozatot akkor nevezünk számtani sorozatnak, ha a szomszédos elemek különbsége – differenciája – (a sorozatra jellemző) állandó.

Triviális példák a csupa azonos elemből álló konstans sorozatok, hiszen ezekben két szomszédos elem különbsége mindig 0; a legegyszerűbb nem triviális példák a természetes számok sorozata (0, 1, 2, 3, 4, 5, …) vagy a páros számok sorozata (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …). A számtani sorozat a kontinuum felett értelmezett valós függvények elméletében definiálható egyváltozós lineáris függvény fogalmának diszkrét megfelelője, ahol e függvény értelmezési tartománya a természetes számok halmaza (D{a_n} ∈ N).

Definíciói

Különbségsorozattal

Számtani sorozatoknak nevezzük azokat a sorozatokat, amelyekben (a másodiktól kezdve) bármelyik tag és az azt megelőző tag különbsége állandó, vagyis

$a_{n}-a_{n-1}=d$,   ha $n>1$

A sorozat (fent d-vel jelölt) különbségét, más szóval növekményét differenciának nevezzük, szokásos jelölése általában is d.

Példák a számtani sorozatra:
$-5;-1;3;7;11\dots$, itt a differencia 4, $a_{1}$=–5, $a_{2}$=–1, $a_{3}$=3 stb.
$128;112;96;80;64\dots$, a differencia –16, $a_{1}$=128, $a_{2}$=112, $a_{3}$=96 stb.
$3,41;\ 5,71;\ 8,01;\ 10,31;\ 12,61\dots$, a differencia 2,3.
${\frac {25}{7}};{\frac {14}{7}};{\frac {3}{7}};-{\frac {8}{7}};-{\frac {19}{7}}$, a differencia $-{\frac {11}{7}}$. Ahogy látható, a sorozat elemei és a differencia is lehetnek törtek.

A különbségsorozat fogalma segítségével a számtani sorozat definíciója így hangzik: $a_{1},a_{2},a_{3}\dots a_{n},a_{n+1}\dots$ akkor és csak akkor számtani sorozat, ha $a_{n+1}-a_{n}=d$ állandó, minden olyan $n\in \mathbb {N}$-ra, amelyre van a sorozatnak n-edik tagja (ha esetleg a sorozat véges lenne).

Teljesen formalizálva, (a_n) akkor és csak akkor számtani sorozat, ha létezik olyan C valós szám, amelyre a sorozat két egymást sorrendben követő elemének a különbözete C állandó (a sorozat n indexei pozitív egészek), azaz:

$(\exists C\in \mathbb {R} )(\forall n\in \mathbb {N} ):\Delta a_{n}=a_{n+1}-a_{n}=C$

Rekurzív definíció

A fentiekből következik a számtani sorozat rekurzív képlete:

$a_{n+1}=a_{n}+d,\forall n\in N^{+}$

Ez azt jelenti, hogy a sorozat következő elemét mindig úgy kapjuk, hogy hozzáadjuk az előző taghoz a differenciát. Ez tényleg pontosan azt jelenti, hogy a sorozat szomszédos tagjainak különbsége állandó.

A képletből következően a számtani sorozatok halmaza egy rekurzív sorozat-család, minimális rekurziós rendje 1, rekurziós szabálya(i) pedig a φ_d: R→R; φ_d(x) := x+d függvénycsalád, ahol d a sorozat(ok)ra jellemző állandó.

„Általános taggal”

Az első taggal kifejezve

A sorozat n-edik elemére nem csak rekurzív, hanem explicit képlet is adható. Mivel a sorozat minden lépésben d-vel változik, ezért

$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$.

Bővebben,

• a₂ = a₁+d;
• a₃ = a₂+d = (a₁+d)+d = a₁+2d;
• a₄ = a₃+d = (a₁+2d)+d = a₁+3d;
• s. í. t. …

Hasonlóan haladva és teljes indukcióval bizonyíthatóan,

• a_n = a_n-1+d = (a₁+(n-2)d)+d = a₁+(n-1)d;

A szomszédos tagokkal kifejezve

Ugyanezen okból – a lépésről lépésre d-vel való növekedés miatt – vezethető le az a tulajdonság, amelyről a számtani sorozatok nevüket nyerték. U.is véve a sorozat n-edik (de legalább második) elemét, a megelőző elem d-vel kisebb (a_n-1 = a_n-d), a rákövetkező elem d-vel nagyobb (a_n+1 = a_n+d).

Tehát (összeadva a fenti egyenlőségeket) a_n-1 + a_n+1 = (a_n-d)+(a_n+d) = 2a_n.

Vagyis az n-edik elem a két szomszédos elem számtani közepe („átlaga”):

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$.

De érvényes – hasonló okok miatt – az ennél általánosabb

$a_{n}={\frac {a_{n-i}+a_{n+i}}{2}}$.

egyenlőség is minden i<n-re. Azaz egy sorozat akkor és csak akkor számtani sorozat, ha bármely eleme számtani közepe a sorozatban tőle azonos index-távolságra lévő tagoknak. A fenti gondolatmenet egyébként nem igazolja, hogy bármely, a fenti tulajdonsággal jellemezhető sorozat szükségképp számtani, noha az is igaz, ld. Számtani közép/Számtani sorozatok.

Analitikus szemléletű definíció

Az n-edik tagra vonatkozó képletben csoportosítva az állandó és a változó mennyiségeket:

$a_{n}=dn+(a_{1}-d)$.

Így látható, hogy a számtani sorozatok épp azok a sorozatok, melyek az n független változójuk „lineáris” függvényei, azaz az

f(n) = mn+c

alakú sorozatok, ahol m,c olyan valós állandók, melyekre m=d és c=a₁-d.

Példák

első tag	különbség	a sorozat pár tagja	n-edik tag (n∈N)
0	1	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …	n-1
0	2	0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, …	2n-2
1	0	1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …	1
1	2	1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …	2n-1
101	-20	101, 81, 61, 41, 21, 1, -19, …	-20n+121
-3,11	-1,01	-3,11; -4,12; -5,13; -6,14; -7,15; -8,16;	-1,01n-2,1

• Legyen az (a_n) számtani sorozatban: $a_{1}=0$, a differencia: $d=3$, akkor a sorozat: 0; 3; 6; 9; 12; 15, …, és a sorozatot az a_n = 3n-3 (n∈N) képlet adja meg.
• Az $\textstyle a_{n}={n \choose 1}$ képlettel definiált sorozat is számtani sorozat (a Pascal-háromszög "második ferde sora"), egyébként (a_n) = (n) (itt n∈N⁺).

Összegzési képlet

A sorozat első n tagjának összegét ($S_{n}$) a következő ötlettel határozhatjuk meg. Vegyük az első n tagot, ezek: $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$. Majd írjuk fel ez alá a tagokat fordított sorrendben, vagyis $a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{1}$. Számítsuk ki ennek a 2n darab számnak az összegét. Ez egyrészt a keresett összeg kétszerese, hiszen az első n tag mindegyike pontosan kétszer szerepel. Másrészt pedig az egymás alatt lévő számok összege éppen $a_{1}+a_{n}$. Összesen n egymás alatti pár van, vagyis az összeg éppen $(a_{1}+a_{n})\cdot n$. De ez az általunk keresett összeg (azaz az első n tag összegének) kétszerese, vagyis a helyes eredmény:

$S_{n}={\frac {(a_{1}+a_{n})\cdot n}{2}}$

Ha még azt is felhasználjuk, hogy $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$, akkor

$S_{n}={\frac {[2a_{1}+(n-1)d]\cdot n}{2}}$

Ezt a képletet alkalmazva $a_{1}=1$ és $d=1$ esetben, megkapjuk az első n pozitív egész szám összegét, azaz ${\frac {(n+1)\cdot n}{2}}$-t vagy leegyszerűsítve: ${\frac {n^{2}+n}{2}}$.

E formula lényegében már a XIII. szd.-ban is ismert volt, persze leírása a kornak megfelelően történt; az összegzés módszerét mindenesetre már Leonardo Pisano (ismertebb nevén Fibonacci) is leírta (Liber Abaci; 1202, ch. II.12).

További tulajdonságok

Növekedési tulajdonságok

• A számtani sorozat monoton növekvő, és alulról korlátos, ha $d>0$
• A számtani sorozat monoton csökkenő, és felülről korlátos, ha $d<0$
• A számtani sorozat nemnövekvő, nemcsökkenő, azaz állandó, ha $d=0$

Algebrai tulajdonságok

Két számtani sorozat összege és különbsége, továbbá egy számtani sorozat valós számszorosa (mint például ellentettje) is számtani sorozat.

Konkrétan: ha (a_n) = (a₁+(n-1)d) és (b_n) = (b₁+(n-1)e) két számtani sorozat, akkor ((a+b)_n) = (a_n+b_n) = (a₁+b₁+(n-1)(d+e)) is számtani sorozat, melynek első tagja a tagok első tagjai összege, azaz a₁+b₁, és differenciája a tagok differenciáinak összege, azaz d+e.

Továbbá ha α∈R tetszőleges valós szám, akkor α(a_n) = (αa₁+(n-1)αd) is számtani sorozat, első tagja az eredeti sorozat első tagjának α-szorosa; differenciája az eredeti sorozat differenciájának α-szorosa.

Ez azt jelenti, hogy a valós számtani sorozatok az összeadással kommutatív csoportot, illetve a számmal szorzást is hozzávéve, lineáris teret alkotnak. Tetszőleges csoport elemeiből képezett számtani sorozatokra szintén elmondható ugyanez.

Igazolható, hogy két számtani sorozat szorzata mindig másodrendű számtani sorozat, hiszen ha a_n = a₁+(n-1)d és b_n = b₁+(n-1)e, akkor a_nb_n = [a₁+(n-1)d]·[b₁+(n-1)e] = a₁b₁+(n-1)(d+e)+(n-1)²de = (a₁b₁-d-e+de)+(d+e-2de)n+(de)n², ami megfelel a Másodrendű számtani sorozatok analitikus szemléletű definíciójának, továbbá az ott írtak alapján az is megállapítható, hogy a szorzatsorozat 1). különbségsorozatának differenciája a tényezők differenciáinak kétszeres szorzata; (D=2de) 2). különbségsorozatának első tagja az 1-gyel megnövelt differenciák szorzatánál eggyel kisebb (Δ(ab)₁ = (d+1)(e+1)-1); és . ami a tagonkénti szorzat definíciójának is egyszerű következménye – első tagja természetesen a tényezők első tagjainak szorzata.

Lineáris algebrai leírás

A valós számsorozatok R^N+ halmaza a tagonkénti összeadás és a tagonkénti ellentettképzés műveletével kommutatív csoportot alkotnak (nullelem a (0) := (0,0,0,…) sorozat). A számmal való tagonkénti szorzás műveletét hozzávéve pedig vektorteret kapunk. Ezen a téren belül a számtani sorozatok családja egy kétdimenziós generált alteret alkot, amelyet az {1} := {1,1,1,…} és az (n) := (1,2,3,4,5…) sorozatok generálnak, hiszen tetszőleges n>-0-ra (a_n) = (a₁+(n-1)d) = (a₁+nd-d) = a₁·(1)+d(n)+(-d)·(1). Tehát a számtani sorozatok halmaza a <(0), (n)> generált altér.

Magasabb rendű számtani sorozatok

A sorképzéssel számtani sorozatokra visszavezethető sorozatok magasabb rendű számtani sorozatok. Ezek éppen azok a sorozatok, melyek képzését polinommal lehet leírni. A polinom foka megegyezik a sorozat rendjével.

Összegzési képletek

Képletek a különböző rendű számtani sorozatok részletösszegeinek kiszámítására:

• $\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$
• $\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$
• $\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$

Általános esetre alkalmazható a Faulhaber-képlet:

• $\sum _{i=1}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}$.

ahol $B_{k}$ a $k$-adik Bernoulli-szám.

Tetraéderszámok

A tetraéderszámok harmadrendű számtani sorozatot alkotnak. A sorozat elemei ezzel a harmadfokú polinommal számíthatók ki:

$a_{n}={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}={\frac {1}{6}}\cdot (n^{3}+3n^{2}+2n)$.

A polinomban szereplő legnagyobb hatvány a polinom foka.

Sorozat:

$0\$

$1\$

$4\$

$10\$

$20\$

$35\$

$56\$

$84\$

$...\$

1. különbségsorozat:

$1\$

$3\$

$6\$

$10\$

$15\$

$21\$

$28\$

$...\$

2. különbségsorozat:

$2\$

$3\$

$4\$

$5\$

$6\$

$7\$

$...\$

3. különbségsorozat:

$1\$

$1\$

$1\$

$1\$

$1\$

$...\$

A táblázatból láthatóan a tetraéderszámok első különbségsorozata a háromszögszámok másodrendű számtani sorozata.

Négyzetszámok

A négyzetszámok sorozata másodrendű számtani sorozat:

Sorozat:

$0\$

$1\$

$4\$

$9\$

$16\$

$25\$

$36\$

$49\$

$...\$

1. különbségsorozat:

$1\$

$3\$

$5\$

$7\$

$9\$

$11\$

$13\$

$...\$

2. különbségsorozat:

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$2\$

$...\$

Többdimenziós számtani sorozatok

A számtani sorozatok magasabb dimenziós általánosítása

$a+mb+nc$

ahol $m=1,2,\cdots ,k$, $n=1,2,\cdots ,l$, $a,b,c\in \mathbb {N}$ konstansok. A definíció hasonló más dimenziókban.

Érdekességek

• Már az ókori egyiptomiak is ismerték a számtani és mértani sorozatot. Erről tanúskodik az ún. Rhind-papirusz, amely körülbelül Kr. e. 1750-ből való.

• Egy híres történet, amely a szájhagyomány útján átalakult, arról szól, hogy Gauss általános iskolai tanára, J. G. Büttner diákjait azzal akarta lefoglalni, hogy 1-től 100-ig adják össze az egész számokat. A fiatal Gauss mindenki megdöbbenésére másodpercek alatt előrukkolt a helyes megoldással, megvillantva matematikai éleselméjűségét. Gauss észrevette, hogy a sor ellenkező végein lévő számok párokba állításával azonos összegeket kap: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 stb., ami összesen $50\cdot 101=5050$-et eredményez (lásd az összegzési képletet). Több információ a témában itt található:[1].
• A számtani sorozatok egymás után tetszőleges véges számú prím elemet tartalmazhatnak, ahogy azt Terence Tao és Ben Green bebizonyította. 2015-ben négy ilyen leghosszabb sorozatot ismertek, melyek 26 elemből álltak (AP-26).

43142746595714191 + 23681770·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 és 23# = 223092870 (Benoãt Perichon, 2010. április 12.);

3486107472997423 + 1666981·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (James Fry, 2012. március 16.),

136926916457315893 + 44121555·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (Bryan Little, 2014. február 23.)

161004359399459161 + 47715109·23#·n, ahol 0 ≤ n ≤ 25 (Bryan Little, 2015. február 19.).

Egy tízelemű hasonló sorozat:

$199\$

$409\$

$619\$

$829\$

$1039\$

$1249\$

$1459\$

$1669\$

$1879\$

$2089\$

$210\$

$210\$

$210\$

$210\$

$210\$

$210\$

$210\$

$210\$

$210\$

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Arithmetische Folge című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Irodalom

• Varga Tamás: Matematika lexikon. Műszaki Könyvkiadó, SHL Hungary Kft., Budapest 2001. ISBN 963-16-2819-1; ISBN 963-00-8549-6
• Sain Márton: Nincs királyi út – Matematikatörténet. Gondolat, Budapest 1986. ISBN 963-281-7044

További információk

• Dr. Rókáné Rózsa Anikó írása Archiválva 2006. augusztus 16-i dátummal a Wayback Machine-ben
• Számtani és mértani sorozat definíciója
• Számtani sorozat

Kapcsolódó szócikkek

• On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• általánosított számtani sorozat
• másodrendű számtani sorozat
• mértani sorozat
• Dirichlet-tétel
• Van der Waerden-tétel
• Szemerédi-tétel
• Green–Tao-tétel